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2015-2016学年高中数学 2.3.2向量数量积的运算律课时作业 新人教B版必修4


2015-2016 学年高中数学 2.3.2 向量数量积的运算律课时作业 新人 教 B 版必修 4

一、选择题 π 1.若|a|=3,|b|= 3,且 a 与 b 的夹角为 ,则|a+b|=( 6 A.3 C.21 [答案] D π [解析] ∵|a|=3,|b|= 3,a 与 b 的夹角为 , 6 ∴|a+b| =a +2a·b+b
2 2 2

)

B. 3 D. 21

π =9+2×3× 3×cos +3 6 =9+2×3× 3× ∴|a+b|= 21. 1 2.(2015·山东临沂高一期末测试)若向量 a、b 满足|a|=|b|=1,且 a·(a-b)= , 2 则向量 a 与 b 的夹角为( π A. 6 2π C. 3 [答案] B [解析] 设向量 a 与 b 的夹角为 θ , 1 2 ∵a·(a-b)=a -a·b= , 2 1 ∴1-1×1×cosθ = , 2 1 ∴cosθ = ,∵0≤θ ≤π , 2 π ∴θ = . 3 3.设 a、b、c 满足 a+b+c=0,且 a⊥b,|a|=1,|b|=2,则|c| 等于(
2

3 +3=21, 2

) π B. 3 5π D. 6

)
1

A.1 C.4 [答案] D [解析] ∵a+b+c=0,∴c=-a-b,

B.2 D.5

∴c =|c| =(a+b) =|a| +2a·b+|b| =1+4=5,故选 D. 4.已知两个非零向量 a、b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( A.a∥b C.|a|=|b| [答案] B [解析] 本题考查向量的运算. 由题意知|a+b|=|a-b|,∴|a+b| =|a-b| ,即 a +2a·b+b =a -2a·b-b , ∴a·b=0,∴a⊥b. 注意:|a+b| =(a+b) =a +2a·b+b . 5.下列各式中正确命题的个数为( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

)

B.a⊥b D.a+b=a-b

①(λ a)·b=λ (a·b)=a·(λ b),(λ ∈R); ②|a·b|=|a|·|b|; ③(a+b)·c=a·c+b·c; ④(a·b)·c=a·(b·c). A.1 C.3 [答案] B [解析] ①、③正确,②、④错误. 2 2 6.(2015·重庆理,6)若非零向量 a、b 满足|a|= |b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则 3 B.2 D.4

a 与 b 的夹角为(
π A. 4 3π C. 4 [答案] A

) π B. 2 D.π

[解析] 设 a 与 b 的夹角为 θ ,根据题意可知,(a-b)⊥(3a+2b),得(a-b)·(3a +2b)=0, 所以 3|a| -a·b-2|b| =0,3|a| -|a|·|b|cos θ -2|b| =0, 再由|a|=
2 2 2 2

2 2 3

8 2 2 2 2 π |b|得 |b|2- |b| cos θ -2|b|2=0,∴cos θ = ,又∵0≤θ ≤π ,∴θ = . 3 3 2 4
2

二、填空题 7.设 a、b、c 是单位向量,且 a-b=c,则向量 a 与 b 的夹角等于________. [答案] π 3

[解析] ∵a、b、c 是单位向量, ∴|a|=|b|=|c|=1. ∵a-b=c,∴|a-b|=|c|=1, ∴|a-b| =a -2a·b+b =1. ∴1-2×1×1×cos〈a,b〉+1=1, 1 ∴cos〈a,b〉= . 2 又∵0≤〈a,b〉≤π , π ∴〈a,b〉= 3 8.已知两个单位向量 e1、e2 的夹角为 120°,且向量 a=e1+2e2,b=4e1,则 a·b= ________. [答案] 0 [解析] ∵|e1|=|e2|=1,向量 e1 与 e2 的夹角为 120°,
2 2 2

∴a·b=(e1+2e2)·(4e1)=4e2 1+8e1·e2
1 =4+8×1×1×cos120°=4+8×1×1×(- )=0. 2 三、解答题 9.已知|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,c=2a-3b,d=ma+b,若 c⊥d,求 实数 m 的值. [解析] a·b=|a||b|cos60°=1. 因为 c⊥d,所以 c·d=0,即(2a-3b)·(ma+b)=2ma +(2-3m)a·b-3b =2m-12 +2-3m=0,解得 m=-10. 10.已知 a、b 满足|a|= 3,|b|=2,|a+b|= 13,求 a+b 与 a-b 的夹角 θ 的余 弦值. [解析] 由已知|a|= 3,|b|=2,|a+b|= 13, ∴(a+b) =13.即 a +2a·b+b =13, ∴2a·b=6. ∴(a-b) =a -2a·b+b =(a+b) -4a·b=1. 即|a-b|=1,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

3

?a+b?·?a-b? 13 故 cosθ = =- . |a+b||a-b| 13

一、选择题 → → → → → 1.若 O 为△ABC 所在平面内一点,且满足(OB-OC)·(OB+OC-2OA)=0,则△ABC 的形 状为( ) B.直角三角形 D.以上都不对

A.正三角形 C.等腰三角形 [答案] C → → → → → [解析] 由(OB-OC)·(OB+OC-2OA)=0 → → → 得CB·(AB+AC)=0

→ → → → → → → 又∵CB=AB-AC,∴(AB-AC)·(AB+AC)=0 → 2 → 2 即|AB| -|AC| =0 → → ∴|AB|=|AC|,∴△ABC 为等腰三角形. 2.(2014·全国大纲理,4)若向量 a、b 满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b| =( ) A.2 C.1 [答案] B [解析] 本题考查了平面向量的数量积的运算, 由已知(2a+b)·b=0, 即 2a·b+b·b =0,(a+b)·a=0,所以|a| +a·b=0,2a·b+|b| =0,又|a|=1 所以|b|= 2. 3.(2015·陕西理,7)对任意向量 a、b,下列关系式中不恒成立 的是( .... A.|a·b|≤|a||b| C.(a+b) =|a+b| [答案] B [解析] A 项, |a·b|=||a||b|cos α =||a||b|cos α
2
2 2 2

B. 2 D. 2 2

)

B.|a-b|≤||a|-|b|| D.(a+b)·(a-b)=a -b
2 2

|(α

为 a、 b 夹角), 因为 cos α ≤1, 所以|a·b|

|≤|a||b|,故 A 项不符合题意;B 项,两边平方得 a2+b2-2a·b≤a2+
2

b2-2|a||b|,即|a||b|≤a·b=|a||b|cos α (α 为 a、b 夹角),当 α 不为 0 时,此式不
成立,应该为|a||b|≥a·b,故 B 项符合题意;C 项,由向量的运算性质可知,(a+b) =

|a+b|2 恒成立,故 C 项不符合题意;D 项,由向量的数量积运算可知,(a+b)·(a-b)= a2-b2 恒成立,故 D 项不符合题意.故选 B.
4

4.已知|a|=|b|=1,a⊥b,(2a+3b)⊥(ka-4b),则 k 等于( A.-6 C.3 [答案] B [解析] (2a+3b)·(ka-4b)=0, 2k|a| -8a·b+3ka·b-12|b| =0. ∵|a|=|b|=1,a·b=0,∴2k-12=0,k=6. 二、填空题
2 2

)

B.6 D.-3

5.已知向量 a、b 的夹角为 45°,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________. [答案] 3 2 [解析] ∵|2a-b|= 4a +b -4a·b= 10,|a|=1, ∴4+b -4×1×|b|·cos45°=10. 即|b| -2 2|b|-6=0. ∴|b|=3 2,或|b|=- 2(舍去). 6.关于平面向量 a、b、c,有下列三个命题: ①若 a·b=a·c,则 b=c. ②若 a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则 k=-3. ③非零向量 a 和 b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 60°. 其中真命题的序号为________.(写出所有真命题的序号) [答案] ② [解析] ①a·b=a·c 时,a·(b-c)=0, ∴a⊥(b-c)不一定有 b=c,∴①错. ②a=(1,k),b=(-2,6),由 a∥b 知,1×6-(-2k)=0,∴k=-3,故②对. 也可以由 a∥b,∴存在实数 λ ,使 a=λ b, 即(1,k)=λ (-2,6)=(-2λ ,6λ ),
?-2λ =1 ? ∴? ?6λ =k ?
2 2 2 2

,∴k=-3.

③非零向量 a、b 满足|a|=|b|=|a-b|,则三向量 a、b、a-b 构成正三角形如图.

由向量加法的平行四边形法则知,a+b 平分∠BAC, ∴a+b 与 a 夹角为 30°,③错.
5

三、解答题 7. 已知|a|=3, |b|=2, a 与 b 的夹角为 60°, c=a+2b, d=ma-6b(m∈R). 若 c∥d, 求|c+d|. [解析] ∵c∥d,∴存在惟一实数 λ 使得 c=λ d, 即 a+2b=λ (ma-6b),
? ?λ m=1 ∴? ?-6λ =2 ?

1 ? ?λ =- 3 ,解得? ? ?m=-3

.

∴d=-3a-6b,∴c+d=-2a-4b,

∴|c+d|2=|-2a-4b|2=|2a+4b|2=4a2+16a·b+16b2
=4×9+16×3×2×cos60°+16×4=148, ∴|c+d|=2 37. 8.已知|a|=1,|b|= 2. (1)若 a∥b,求 a·b; (2)若 a、b 的夹角为 60°,求|a+b|; (3)若 a-b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角. [解析] (1)当<a,b>=0°时,a·b= 2,当<a,b>=180°时,a·b=- 2. (2)|a+b| =|a| +2a·b+|b| =3+ 2,|a+b|= 3+ 2. (3)由(a-b)·a=0 得 a =a·b,
2 2 2 2

a·b 2 cos<a,b>= = ,<a,b>=45°. |a||b| 2
9.(2015·山东潍坊高一期末测试)已知向量|a|=1,|b|=2. π (1)若 a 与 b 的夹角为 ,求|a+2b|; 3 (2)若(2a-b)·(3a+b)=3,求 a 与 b 的夹角. [解析] (1)|a+2b| =a +4a·b+4b π =1+4×1×2×cos +4×4 3 =1+4+16=21, ∴|a+2b|= 21. (2)∵(2a-b)·(3a+b)=3, ∴6a -3a·b+2a·b-b =3, ∴6a -a·b-b =3, ∴6-1×2×cos〈a,b〉-4=3,
2 2 2 2 2 2 2

6

1 ∴cos〈a,b〉=- . 2 ∵0≤〈a,b〉≤π , 2π ∴〈a,b〉= . 3

7


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