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山东省滨州市2013届高三第一次(3月)模拟考试:数学(理)


保密★启用前

试卷类型:

A

2013 年高考模拟考试

理 科





2013.3

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结束后 将答题卡交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科 类填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用 涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 参考公式: 锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高; 3

如果事件 A, B 互斥,那么 P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B )

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是 符合题目要求的. (1)已知全集 U ? 1,2,3,4? ,集合 A ? ?1, 2? , B ? ?2, 4? ,则 (? U B) ? B ? (A) ?1, 2? (2) i为虚数单位,则 (B) ?2,3, 4? (C) ?3, 4? (D) ?1, 2,3, 4?

?

2 ? 1- i
(D) -1- i

(A) 1+ i (B) -1+ i (C) 1- i (3)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (A)

1 3 1 (C) 2 3 (D) 2
(B) (4)右图是 2013 年在某大学自主招生面试环节中,七位评委为某考生打出的
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分数的茎叶图,则去年一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 (A)84,4.84 (B)84,1.6 (C)85,1.6 (D)85,4 (5)已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( x, 6) ,且 a ∥ b ,则 x 的值为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (6)执行如图所示的程序框图,若输出结果为 3,则可输入的实数 x 值的个数 为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (7)已知不等式 x ? 2 ? x ≤ a 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是 (A) a <2 (B) a ≤2 (C) a >2 (D) a ≥2

(8)已知 ?an ? 为等差数列,若 a3 ? a4 ? a8 ? 9, 则S9 ? (A)24 (C)15 (B)27 (D)54

(9)函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A >0, ? <

π 的图象如图所示,为 2

了得到 g ( x) ? sin 3 x 的图象,只需将 f ( x) 的图象

π 个单位长度 4 π (B)向左平移 个单位长度 4 π (C)向右平移 个单位长度 12 π (D)向左平移 个单位长度 12
(A)向右平移 ( 10 )圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,若曲线 C 上存在点 P 满足 PF1 ∶ F1 F2 ∶

PF2
=4∶3∶2,则曲线 C 的离心率为

2 3 或 3 2 1 (C) 或2 2
(A)

2 或2 3 1 3 (D) 或 2 2
(B)

(11)2013 年第 12 届全国运动会将在沈阳举行,某校 4 名大学生申请当 A,B,C 三个比赛 项目的志愿者,组委会接受了他们的申请,每个比赛项目至少分配一人,每人只能服 务一个比赛项目,若甲要求不去服务 A 比赛项目,则不同的安排方案共有 (A)20 种 (B)24 种 (C)30 种 (D)36 种

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?log 1 ( x ? 1), x ? ? ?0,1? , ? 2 (12)定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ≥0 时, f ( x) ? ? 则关于 x ?1? | x ? 3 |, x ? ? ?1, ?? ? , ?
的函数 F ( x) ? f ( x) ? a (0< a <1)的所有零点之和为 (A)1- 2
a

(B) 2 ? 1
a

(C)1 ? 2

?a

(D) 2

?a

?1

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x (万元) 销售额 y (万元)
?? ? ?

3 25

4 30

5 40

6 45

? 根据上表可得回归方程 y ? bx ? a 中的 b 为 7.据此模型预报广告费用为 10 万元时销

售额为 (14)设 a ?

(万元).

?

?

0

sin xdx,则二项式(a x ?

1 6 ) 的展开式中的常数项等于 x

.

? x ? 2 y ? 0, ? (15)设实数 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 0, ,则目标函数 z ? x ? y 的最大值 ? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0, ?
为 . (16)定义平面向量的一种运算: a ? b ?| a | ? | b | sin a , b ,则下列命题: ① a ? b ? b ? a ;② ? (a ? b) ? (? a ) ? b ;③ (a ? b) ? c ? (a ? c ) ? (b ? c ) ; ④若 a = ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则a ? b ?| x1 y2 ? x2 y1 | . 其中真命题是 (写出所有真命题的序号). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17) (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ( 3 cos

x x x x , cos ), n ? (sin , cos ), 函数 f ( x) ? m ? n . 4 4 4 4

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(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)在锐角 ? ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,且满足 a cos C ?

1 c ? b, 求 2

f (2 B) 的取值范围.
(18) (本小题满分 12 分) 在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回 的随 ... 机抽取两张卡片,记第一次抽取卡片的标号为 x ,第二次抽取卡片的标号为 y .设 O 为坐标 原点,点 P 的坐标为 ( x ? 2, x ? y ), 记 ? ?| OP |2 . (Ⅰ)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”的概率; (Ⅱ)求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

??? ?

(19) (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? 底面 ABCD, ?DAB 为直角,AB ∥

CD , AD ? CD ? 2 AB, E , F 分别为 PC , CD 的中点.
(Ⅰ)求证: CD ? 平面 BEF ; (Ⅱ)设 PA ? kAB (k > 0 ,且二面角 E ? BD ? C 的大小为 30? ,求此时 k 的值. (20) (本小题满分 12 分) 某产品在不做广告宣传且每千克获利 a 元的前提下,可卖出 b 千克.若做广告宣传, 广告费为 n ( n ? N* )千元时比广告费为( n ? 1 )千元时多卖出

b 千克. 2n (Ⅰ)当广告费分别为 1 千元和 2 千元时,用 b 表示销售量 s ; (Ⅱ)试写出销售量 s 与 n 的函数关系式;
(Ⅲ) 当 a ? 50, b ? 200 时, 要使厂家获利最大, 销售量 s 和广告费 n 分别应为多少?

(21) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设直线 x ? my ? 1 与椭圆 C 交于 R ,Q 两点, 直线 A1 R 与 A2Q 交于点 S .试问: 当 m 变化时,点 S 是否恒在一条直线上?若是,请写出这条直线的方程,并证明你的结论; 若不是,请说明理由.
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3 ,长轴的左、右端点分别为 A1 (?2, 0), A2 (2, 0) . 2

(22) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1(k ? R ) , (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ)证明:

ln 2 ln 3 ln n n(n ? 1) < ( n ? N , n >1). ? ??? 3 4 n ?1 4

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