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2019年版高中全程复习方略配套课件:64简单线性规划(北师大版·数学理)语文_图文


第四节 简单线性规划
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三年19考 高考指数:★★★★ 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式(组); 2.了解二元一次不等式(组)的几何意义,能用平面区域表示二 元一次不等式(组); 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能 加以解决.

1.以考查线性目标函数的最值为重点,兼顾考查代数式的几何 意义(如斜率、距离、面积等); 2.多在选择题、填空题中出现,有时也会在解答题中出现,常 与实际问题相联系,列出线性约束条件,求出最优解.

1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)在平面直角坐标系中,直线ax+by+c=0将平面内的所有点分 成三类:一类在直线ax+by+c=0上,另两类分居直线ax+by+c=0 的两侧,其中一侧的半平面的点的坐标满足_a_x_+_b_y_+_c_>_0_,另一 侧的半平面的点的坐标满足_a_x_+_b_y_+_c_<_0_.

(2)二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直线 ax+by+c=0某一侧的_平__面__区__域__且不含边界,作图时边界直线画 成_虚__线___,当我们在坐标系中画不等式ax+by+c≥0所表示的平 面区域时,此区域应包括边界直线,此时边界直线画成_实__线___.

(3)由于对直线ax+by+c=0同一侧的所有点(x,y),把点的坐标 (x,y)代入ax+by+c,所得到实数的符号都_相__同__,所以只需在此 直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从ax0+by0+c的_正__负___即 可判断ax+by+c >0(<0)表示直线哪一侧的平面区域.当c≠0 时,常取__原__点__作为特殊点. (4)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的 _交__集__,因而是各个不等式所表示平面区域的_公__共__部__分_.

【即时应用】 (1)如图所表示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为______.

(2)以下各点①(0,0);②(-1,1);③(-1,3);④(2,-3);⑤(2,2) 在x+y-1≤0所表示的平面区域内的是________. (3)如果点(1,b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0之间, 则b应取的整数值为____________.

【解析】(1)由图可知边界直线过(-1,0)和(0,2)点,故直线方
程为2x-y+2=0,又(0,0)在区域内,故区域应用不等式表示为
2x-y+2≥0.
(2)将各点代入不等式可知(0,0),(-1,1),(2,-3)满足不等式,
故①②④在平面区域内. (3)令x=1,代入6x-8y+1=0,解得y= 7 ;
8
代入3x-4y+5=0,解得y=2. 由题意得 7 <b<2,又b为整数,∴b=1.
8
答案:(1)2x-y+2≥0 (2)①②④ (3)1

2.线性规划的有关概念

名称

意义

约束条件 由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组

目标函数 可行解

关于两个变量x、y的一个线性函数 满足约束条件的解(x,y)

可行域 最优解
二元线性规 划问题

所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在约束条件下求目标函数的最大值或最小 值问题

【即时应用】
(1)思考:可行解和最优解有何关系?最优解是否唯一?
提示:最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解,最优
解不一定唯一,有时只有一个,有时会有多个.
?x ?1
(2)已知变量x,y满足条件 ??y ? 2 , 则z=x+y的最小值为
??x ? y ? 0
________,最大值为_______.

?x ?1

【解析】不等式组

? ?

y

?

2

所表示的平面区域如图所示,

??x ? y ? 0

作出直线x+y=0,可观察知当直线过A点时z最小.



?x ?1 ??x ? y ? 0

得A(1,1),

此时zmin=1+1=2;

当直线过B点时z最大.



?y

? ?

x

? ?

2 y

?

0

得B(2,2),此时zmax=2+2=4.

答案:2 4

?y ?1

(3)若变量x,y满足约束条件 ??x ? y ? 0 , 则z=x-2y的最大值

为________.

??x ? y ? 2 ? 0

?y ?1
【解析】不等式组 ??x ? y ? 0 所表示的平面区域如图所示.
??x ? y ? 2 ? 0

作出直线x-2y=0,可观察出当直线过A点时z取得最大值.



?x ??x

? ?

y?0 y?2?

0



答案:3

?x ?1

??y

?

, ?1

此时zmax=1+2=3.

二元一次不等式(组)表示的平面区域 【方法点睛】 1.二元一次不等式表示的平面区域的画法 在平面直角坐标系中,设有直线Ax+By+C=0(B不为0)及点 P(x0,y0),则 (1)若B>0,Ax0+By0+C>0,则点P在直线的上方,此时不等式 Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0的上方的区域.

(2)若B>0,Ax0+By0+C<0,则点P在直线的下方,此时不等式 Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0的下方的区域. (注:若 B为负,则可先将其变为正) (3)若是二元一次不等式组,则其平面区域是所有平面区域的公 共部分.

2.求平面区域的面积 求平面区域的面积,要先画出不等式组表示的平面区域,然后 根据区域的形状求面积. 【提醒】在画平面区域时,当不等式中有等号时画实线,无等 号时画虚线.

?x ? y ? 5 ? 0
【例1】已知不等式组 ??x ? y ? 0
??x ? 3
(1)画出该不等式组所表示的平面区域;
(2)设该平面区域为S,则求当a从-3到6连续变化时,x-y=a扫过
S中的那部分区域的面积.
【解题指南】(1)先画出各个不等式对应的直线(画成实线),再
通过测试点确定区域.
(2)通过直线变动确定扫过的图形形状再求面积.

【规范解答】(1)不等式x-y+5≥0

y

表示直线x-y+5=0上的点及右下方
x +y=0
的点的集合,x+y≥0表示直线
B(? 5 , 5 )
x+y=0上的点及右上方的点的集合, 2 2
-5 O
x≤3表示直线x=3上及其左方的点 x -y+5=0

的集合.不等式组表示的平面区域

即为图示的三角形区域.

A(3,8)

x=3

3

x

C(3,-3)

(2)由题意可知x-y=a扫过S的部分区域如图所示:

x+y=0

y x=3
D(3,6)

E(?

3 2

,

3) 2

o
x-y=-3

x-y=-6
x
C(3,-3)

∴DC=9,△CDE的边CD上的高为3+ 3 = 9 ,

22

∴所求区域的面积=

1 2

×9×

9 2

=

81. 4

【反思·感悟】1.作平面区域时要“直线定界,测试点定域”, 当不等式无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线,若 直线不过原点,测试点常选取原点. 2.求平面区域的面积,要先确定区域,若是规则图形可直接求, 若不规则可通过分割求解.

简单的线性规划问题 【方法点睛】 1.利用线性规划求目标函数最值的步骤 (1)画出约束条件对应的可行域;(2)将目标函数视为动直线, 并将其平移经过可行域,找到最优解对应的点;(3)将最优解 代入目标函数,求出最大值或最小值.

2.目标函数最值问题分析 (1)线性目标函数的最值一般在可行域的顶点处或边界上取得, 特别地对最优整数解可视情况而定. (2)目标函数通常具有相应的几何意义,如截距、斜率、距离等.

?x ? y ? 3 ? 0
【例2】已知实数x,y满足 ??x ? y ?1 ? 0 .
??x ? 2
(1)若z=x-2y,求z的最大值和最小值;
(2)若z=x2+y2,求z的最大值和最小值;
(3)若z= y ,求z的最大值和最小值.
x

【解题指南】(1)作出可行域与直线x-2y=0,观察确定最优解; (2)由几何意义可确定z=x2+y2为可行域内的点到原点的距离的 平方,以此求解; (3)由几何意义可知所求为可行域内的点与原点连线的斜率的 最值,以此求解.

?x ? y ?3 ? 0
【规范解答】不等式组 ??x ? y ?1 ? 0 表示的平面区域如图所示,
??x ? 2
图中的阴影部分即为可行域.

由 ???xx

? ?

y y

?3? ?1?

0 0

,得A(1,2);



?x ??x

? ?

y 2

?

3

?

0,得B(2,1);



?x ??x

? ?

y 2

?1

?

0

,得M(2,3).

(1)由z=x-2y得y= 1 x- 1 z,
22
由图可知,当直线y= 1 x- 1 z经过点B(2,1)时,z取得最大值,
22
经过点M(2,3)时,z取得最小值.

∴zmax=2-2×1=0,zmin=2-2×3=-4. (2)过原点(0,0)作直线l垂直于直线x+y-3=0,垂足为N,则直线l

的方程为y=x,



?x ??y

? ?

y x

?

3

?

0

,得N(

3, 3
22

),点N(

3, 3
22

)在线段AB上,也在

可行域内.

观察图可知,可行域内点M到原点的距离最大,点N到原点的距离 最小.

又|OM|= 13 ,|ON|= 9 ,
2

即 9 ≤ x2 ? y2 ≤ 13 ,∴ 9 ≤x2+y2≤13.

2

2

∴z的最大值为13,最小值为 9 .
2

(3)由图可得,原点与可行域内的点A的连线的斜率值最大,与点
B的连线的斜率值最小,
又kOA=2,kOB= 1 ,∴ 1≤ y ≤2.
2 2x
∴z的最大值为2,最小值为 1 .
2

【反思·感悟】1.求目标函数的最值,关键是确定可行域,将 目标函数对应的直线平行移动,最先通过或最后通过的点便是 最优解. 2.对于目标函数具有明确的几何意义时,其关键是确定其几何 意义是什么,如本例(2)中是与原点距离的平方而非距离,忽视 这一点则极易致错.

线性规划的实际应用 【方法点睛】 1.线性规划的实际应用问题的解法 线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之 间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的 目标函数,转化为简单的线性规划问题.

2.求解步骤 (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表 示的平行直线系中过原点的那一条直线l; (2)平移——将l平行移动,以确定最优解的对应点A的位置; (3)求值——解方程组求出点A的坐标(即最优解),代入目标函 数,即可求出最值.

【例3】某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位 的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位 的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位 的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营 养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个 单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要 满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多 少个单位的午餐和晚餐?

【解题指南】设出午餐和晚餐的单位个数,列出不等式组和费 用关系式,利用线性规划求解. 【规范解答】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单 位和y个单位,所花的费用为z元, 则依题意得z=2.5x+4y,且x,y满足

?x ? 0, x ? N

?x ? 0, x ? N

????1y2?x

0, y ? N ? 8y ? 64

,



????3yx??02, yy

? ?

N 16

.

??6x ? 6y ? 42

??x ? y ? 7

??6x ?10y ? 54

??3x ? 5y ? 27

作出线性约束条件所表示的

可行域,如图中阴影部分的

整数点,

y

10

9 8D
7

6

C

5

4 B
3

2

1

A

O

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
x+y=7 3x+5y=27

3x+2y=16 2.5x+4y=0

让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移,由此可知 z=2.5x+4y在B(4,3)处取得最小值. 因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可 满足要求.

【反思·感悟】解线性规划的实际应用问题,关键是正确理解 题意,最好将题目中的已知条件用表格形式呈现,来明确它们 之间的关系,这样能方便写出线性约束条件及目标函数.

【易错误区】忽视题目中的个别约束条件而致误
?y ? x
【典例】(2011·湖南高考)设m>1,在约束条件 ??y ? mx 下,
??x ? y ? 1
目标函数z=x+my的最大值小于2,则m的取值范围为( )

(A)(1,1+ 2 ) (C)(1,3)

(B)(1+ 2 ,+∞) (D)(3,+∞)

【解题指南】由已知条件作出可行域,注意已知中m>1的条件 准确作出平面区域,而后作出目标函数直线,求解. 【规范解答】选A.由约束条件画出可行域如图所示.

变换目标函数为 y ? ? 1 x ? z ,由于m>1,
mm
所以-1<- 1 <0,不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分
m
所示,根据目标函数的几何意义,只有直线y ? ? 1 x ? z 在y轴上
mm
的截距最大时,目标函数取得最大值.显然在点A处取得最大值,



y ? mx, x ? y ?1 ,得

A( 1 , m ), 所以目标函数的最大值是
1? m 1? m

1 ? m2 <2, 即m2-2m-1<0,解得1- 2<m<1+ 2 ,又m>1,
1? m 1? m

故m的取值范围是(1,1+ 2 ).

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以
得到以下误区警示与备考建议:
误 解答本题时有两点误区: 区 (1)忽视条件m>1,不能正确画出可行域; 警 (2)找错最值点,不能正确解出最值点坐标,从而代入 示 求解失误.

备 解决含参数的线性规划问题,要对以下问题高度关注: 考 (1)解题时要看清题目,不能忽视或漏掉参数的范围;
建 (2)对于题目中最值条件的确定至关重要,且不能计算 议 出错.

?x ? y ?1
1.(2011·安徽高考)设变量x,y满足 ??x ? y ? 1, 则x+2y的最大值
??x ? 0
和最小值分别为( )

(A)1,-1

(B)2,-2

(C)1,-2

(D)2,-1

【解析】选B.x+y=1,x-y=1,x=0三条直线两两相交的交点分别

为(0,1),(0,-1),(1,0),画出可行域(图略)可知,分别在点

(0,1),(0,-1)得到最大值2,最小值-2.

2.(2011·福建高考)已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,
?x ? y ? 2
y)为平面区域 ??x ? 1 上的一个动点,则 OA OM 的取值范
??y ? 2
围是( )

(A)[-1,0] (C)[0,2]

(B)[0,1] (D)[-1,2]

【解析】选C.由题意,不等式组 域如图所示:

?x ? y ? 2 ??x ? 1 ??y ? 2

表示的平面区

由数量积的坐标运算易得:
OA OM =-x+y,令-x+y=z,即y=x+z,易知目标函数y=x+z, 过点B(1,1)时,zmin=0,目标函数y=x+z过点C(0,2)时,zmax=2, 故 OA OM 的取值范围是[0,2].

?x ? 2y ? 5>0
3.(2011·浙江高考)设实数x、y满足不等式组 ??2x ? y ? 7>0,
??x ? 0, y ? 0

若x、y为整数,则3x+4y的最小值是( )

(A)14

(B)16

(C)17

(D)19

【解析】选B.作出可行域如图.
x+2y-5=0与2x+y-7=0的交点为A(3,1),通过直线平移可知(3,1) 即为最优点,因为x+2y-5>0与2x+y-7>0不包括边界,区域中不 含(3,1),所以当直线移至(4,1)时3x+4y取得最小值16.

4.(2011·陕西高考)如图,点(x,y)在四边 形ABCD内部和边界上运动,那么2x-y的 最小值为______. 【解析】目标函数z=2x-y,移动直线2x-y=0,当直线移动到过点 A的位置时,z的值最小,此时z=2×1-1=1. 答案:1


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