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2015年长春地区高三数学(理)四模Microsoft Word 文档


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长春市普通高中 2015 届高三质量监测(四) 数学(理科)参考答案及评分参考
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. A 2. A 3. C 4. B 5. A 6. A 7. C 8. D 9. C 10. D 11. C 12. C 简答与提示: 1. 【命题意图】本小题主要考查集合的计算,是一道常规问题. A ? {x |1 ? ln x ? 0} ? {x | 0 ? x ? e} ,则 ? 【试题解析】A U A ? ? e, ?? ? .故选 A. 2. 【命题意图】本小题主要考查复数的几何意义. 【试题解析】A 根据复数的几何意义, 由题意, 可将 z1 , z2 看作夹角为 60? 的单位向量, 从而 | z1 ? z2 |? 1 ,故选 A. 【命题意图】 本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力, 同时考查学生 对算法思想的理解与剖析, 本题特殊利用秦九韶算法, 使学生更加深刻地认识中国优秀 的传统文化. 【试题解析】C 由秦九韶算法, S ? a0 ? x0 (a1 ? x0 (a2 ? a3 x0 )) ,故选 C. 【命题意图】本小题主要考查排列组合在古典概型中的应用,既对抽象概念进行提问, 又贴近生活实际,是数学与生活相联系. 【试题解析】B 5.
P?
5 2 2 A5 C4 A2 2 ? ,故选 B. 7 7 A7

3.

4.

【命题意图】 本小题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用, 对学生的推理 论证能力和数形结合思想提出一定要求. 【试题解析】A 由正弦定理得 c ? 2 3b , a ? 7b ,再由余弦定理可得 cos A ?
3 , 2

6.

7.

故选 A. 【命题意图】 本小题主要考查函数的性质对函数图像的影响, 并通过对函数的性质来判 断函数的图像等问题. 【试题解析】A 判断函数为奇函数,排除 B, C ;又由于当 x ? 0 时,e x 的增加速度快, 故选 A. 【命题意图】 本小题主要考查立体几何中的三视图问题, 并且对考生的空间想象能力及 利用三视图还原几何体的能力进行考查,同时考查简单几何体的体积公式. 【试题解析】C 该几何体可看成以正视图为底面,4 为高的棱柱与半圆柱的组合体, 从而其体积为 4(16 ? 3? ) ? 64 ? 12? ,故选 C. 【命题意图】 本小题主要考查利用三角函数以及解三角形的知识解决实际问题, 对学生 的数形结合思想提出一定要求. 【试题解析】D 在 ?BCD 中,由正弦定理得 BC ?
sin 30? CD ? 15 2 ,在 Rt?ABC 中, sin135?

8.

AB ? BC tan 60? ? 15 6 ,故选 D.

9.

【命题意图】 本小题主要考查对等差数列通项以及变化规律的理解, 还包括前 n 项和的
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理解,理解了等差数列性质以及特点的学生解决此类问题会比较容易. 【试题解析】C 由等差数列的前 n 项和有最大值,可知 d ? 0 ,再由
a11 ? ?1 ,知 a12

a1 1 ? 0, a 1 2 ? 0,从而有 a11 ? a12 ? 0 ,即 S22 ? 0, S 23 ? 0 ,从而使得数列 {S n } 的前 n 项和取

最大值的 n ? 22 ,故选 C. 10. 【命题意图】 本小题主要考查定积分的几何意义以及定积分的基本运算, 对学生的运算 求解能力和数形结合思想提出一定要求. 【试题解析】D 所求封闭图形面积等价于 ? (sin x ? cos x)dx ? (? cos x ? sin x) ? 2 2 , 故选
? ?
4 4 5? 4 5? 4

D. 11. 【命题意图】本小题主要考查双曲线的定义,双曲线离心率的运算,对考生的运算求解 能力和数形结合能力提出较高要求. 【试题解析】C 不妨设点 P 在双曲线右支, F1 , F2 分别为左,右焦点,有 | PF1 | ? | PF2 |? 2a ,由 | PF1 | ? | PF2 |? 8a 2 ,可得 | PF1 |? 4a,| PF2 |? 2a ,由 | F1 F2 |? 2c ? 2a 知, ?PF1 F2 的最小内角为 ?PF1 F2 ? 30? ,从而 ?PF1 F2 为直角三角形, ?F1 F2 P ? 90? ,此时双 曲线离心率 e ? 3 ,故选 C. 12. 【命题意图】 本小题主要考查对数函数的性质和运算, 并对基本不等式的考查也提出很 高要求,本题作为选择的压轴题,属于较难题,对学生的运算求解能力和推理论证能力 提出一定要求. 【试题解析】C 由 f (m) ? f (n) ? 1 可得
2 2 2 , ? ? 1 , f (m ? n) ? 1 ? ln m ? 1 ln n ? 1 ln m ? ln n ? 1

而 (ln m ? 1) ? (ln n ? 1) =
2 2 ln n ? 1 ln m ? 1 ? ) ? 4 ? 2( ? ) ? 8 , 当 且 仅 当 m ? n ? e3 ln m ? 1 ln n ? 1 ln m ? 1 ln n ? 1 2 5 时取“=” ,从而 ln m ? ln n ? 1 ? 7 , f (m ? n) ? 1 ? ? ,故选 C. 7 7 [(ln m ? 1) ? (ln n ? 1)] ? (

二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 5 65 5? 13. 14. ( ,5) 15. ②④⑤ 16. ? 2 4 6 简答与提示: 13. 【命题意图】本小题主要考查三角函数的对称,图像的平移以及三角函数最值的求取, 属于基本试题. 【试题解析】函数 g ( x) 的解析式为 g ( x) ? sin 2 x ,其图象向右平移 ? 个单位后对应解析式 为 y ? sin(2 x ? 2? ) ,从而 ?2? ?

?
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? 2k? ,即 ? ? ?

?
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? k? (k ?Z ,k ? ?1) ,所以 ?min ?

5? . 6

14. 【命题意图】本小题是线性规划的简单应用,对可行域的求取、对目标函数的理解都是 考生必须掌握的基本技能. 【试题解析】令 z ? xy ,由可行域可知其在第一象限, 故 z ? xy 可看成从点 P( x, y ) 向 x 轴, y 轴引垂线段,所围成矩形的面积, 故其可能取最大值的位置应在线段 2 x ? y ? 10(2 ? x ? 4) 上, 5 5 z ? x(10 ? 2 x) ? ?2 x 2 ? 10 x(2 ? x ? 4) ,当 x ? , y ? 5 时 z 取最大值,此时 P( ,5) 2 2 15. 【命题意图】 本小题通过统计学基本定义问题考查学生的统计学的思想, 是一道中档难 度的综合试题. 【试题解析】由统计学的相关定义可知,②④⑤的说法正确. 16. 【命题意图】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题,对考生的空间想象能力与 运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求,本题是一道综合题,属于较难题. 【试题解析】 取 AB , CD 中点分别为 E , F , 连接 EF , AF , BF , 由题意知 AF ? BF , AF ? BF ,
6

EF ? 2 ,易知三棱锥的外接球球心 O 在线段 EF 上,连接 OA, OC ,有 65 65 R 2 ? AE 2 ? OE 2 , R 2 ? CF 2 ? OF 2 ,求得 R 2 ? ,所以其表面积为 ? . 4 16 三、解答题 17. (本小题满分12分) 【命题意图】 本小题主要考查利用数学归纳法解决有关于数列的问题, 虽存在着一定的 难度,但是是考试大纲规定考查内容,属于一道中档题,对考生的运算求解能力,化归 与转化能力提出一定要求.

【试题解析】解:(1) 因为 an ? S n ? S n?1 (n ? 2) ,所以 S n ?

1 2 ? S n ?1 n ?1 猜想: S n ? ? n?2
此整理得 S n ? ?

1 ? 2 ? S n ? S n ?1 ,由 Sn 2 3 4 ,于是有: S1 ? ? , S 2 ? ? , S 3 ? ? , 3 4 5

2 ,猜想成立. 3 k ?1 ② 假设 n ? k 时猜想成立,即 S k ? ? , k?2 1 1 k ?2 k ?1 那么 Sk ?1 ? ? ?? ?? ?? k ?1 2 ? Sk k ?3 (k ? 1) ? 2 2? k ?2 ? 所以当 n ? k ? 1 时猜想成立,由①②可知,猜想对任何 n ? N 都成立. (6 分) 1 1 1 1 ?? ( ? ) ,于是: (2) 由(1) bn ? ? n(n ? 2) 2 n n?2
证明:① 当 n ? 1 时, S1 ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 Tn ? ? [(1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? ( ? ? ? ? ? ? ? )] ? ? ( ? ? ) 2 2 3 n 3 4 5 n?2 2 2 n ?1 n ? 2
因为



3 1 1 3 3 ? ? ? ,所以 Tn ? ? . 2 n ?1 n ? 2 2 4

(12 分)

18. 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识,其中包括概率的求法、离散型随 机变量的数学期望以及方差. 本题主要考查学生的数据处理能力和运算求解能力. 【试题解析】解:(1) 根据统计数据出现好天的概率为 0.4, 则连续两天出现“好天”的概率为 0.4 ? 0.4 ? 0.16 . (4 分) (2) X 的所有可能取值为 45,70,95,120.

P( X ? 45) ? (0.6)3 ? 0.216 1 P( X ? 70) ? C3 ? 0.4 ? (0.6)2 ? 0.432
2 P( X ? 95) ? C3 ? (0.4)2 ? 0.6 ? 0.288

P( X ? 120) ? (0.4)3 ? 0.064 45 70 95 120 X 0.216 0.432 0.288 0.064 P E( X ) ? 45 ? 0.216 ? 70 ? 0.432 ? 95 ? 0.288 ? 120 ? 0.064 ? 75

D( X ) ? (45 ? 75)2 ? 0.216 ? (70 ? 75)2 ? 0.432 ? (95 ? 75)2 ? 0.288 ? (120 ? 75)2 ? 0.064 ? 450
(12 分) 19. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面的平行关系、二面 角的求法及空间向量在立体几何中的应用 . 本小题对考生的空间想象能力与运算求解

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能力有较高要求. 【试题解析】解:(1) 证明:

? DB1 AF 1 AD ? EF ? 平面ABB1 A1 ? ? ,即 ? ? 1 ? 1 . ? ? EF // BD ,则 BB1 AE 2 DB1 平面BC1 D 平面ABB1 A1 =BD ? ? EF // 平面BC1 D
(2) 取 AB 中点 M ,可知 CM ? AB , DM ? 平面ABC . 以 M 为原点,以 CM 方向为 x 轴,以 AB 方向为 y 轴,以 MD 方向 为 z 轴,建立如图所示坐标系. (6 分)
z A1 D C1

E (0, ?1,1) , B(0,1, 0) , D(0,0, 2) , C1 (? 3,0,2)
平面 EBC1 中, EB ? (0, 2, ?1) , EC1 ? (? 3,1,1) , n1 ? ( 3,1,2) 平面 DBC1 中, DB ? (0,1, ?2) , DC1 ? (? 3,0,0) , n2 ? (0, 2,1)

B1

E

C

cos ? ?

| n1 ? n2 | 4 10 . ? ? 5 | n1 | ? | n2 | 8? 5
10 . 5

A

F

M x

B

y

即二面角 E ? BC1 ? D 的余弦值为

(12 分)

20. 【命题意图】本小题主要考查抛物线的性质,直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉 及到抛物线标准方程的求取,直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中定值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求. 【试题解析】解:(1) 由 HP ? HF ? FP ? FH 可得:

| HP | ? | HF | cos PHF ?| FP | ? | FH | cos PFH ,
即 | HP | cos PHF ?| FP | cos PFH , 可 知 点 P 为 线 段 HF 中 垂 线 上 的 点 , 即

| PH |?| PF | ,故动点 P 的轨迹 C 为以 F 为焦点的抛物线,其方程为 y 2 ? 4x .
(4 分)

4 4 (2) 设直线 MA 的斜率为 k (k ? 0) ,易得 A( 2 , ) ,可求得切线 NA 的方程为 k k
4 y ? 4? k x? 4 k 2 ,化简整理得 y ? k x ? 2 2 k 2


1 1 ,故直线 MB 的方程为 y ? ? x . k k 2 联立直线 MB 和抛物线方程解得 B(4k , ?4k ) ,
因为 MA ? MB ,所以 kOB ? ? 所以切线 NB 的方程为 ?4ky ? 4 ? ①-②得 ( ?

1 x ? 4k 2 x ? 2k ,化简整理得 y ? ? 2k 2



1 1 ) x ? 2( ? k ) ? 0 ,所以 x ? ?4 (定值). 2k k 故点 N 的轨迹为 x ? ?4 是垂直 x 轴的一条定直线.
(3) 由(1)有 N ( ?4,

k 2

(8 分)

2 k ?1 ? 2k ) ,所以 k NM ? , k AB k 2k
2

2p k ? k . ? 2 2 p 2 pk 2 ? 2 1 ? k k ?2 pk ?

8

1 (定值). (12 分) 2 21. 【命题意图】 本小题主要考查函数与导数的综合应用能力, 具体涉及到用导数来描述函 数的极值等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用,对考生的逻辑推理能力与 运算求解有较高要求.
故 k NM ? k AB ? ?

1 ? 1 ? ln x ln x ?? 2 . 2 x x 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ;当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减. 所以, x ? 1 为极大值点, 1 1 1 所以 a ? 1 ? a ? ,故 ? a ? 1 ,即实数 a 的取值范围为 ( ,1) . (4 分) 2 2 2 ( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1)(1 ? ln x) (2)当 x ? 1 时, k ? ,令 g ( x) ? , x x 1 [1 ? ln x ? 1 ? ]x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) x ? ln x x 则 g ?( x) ? .再令 h( x) ? x ? ln x , ? 2 x x2 则 h?( x) ? 1 ? 1 ? 0 ,所以 h( x) ? h(1) ? 1,所以 g ?( x) ? 0 ,
【试题解析】解:(1)函数的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?
x 所以 g ( x) 为单调增函数,所以 g ( x) ? g (1) ? 2 ,故 k ? 2 .

(8 分)

1 ? ln x 2 2x x ?1 2 2 ? ?1 ? ? 1? ? 1? . , ln x ? x x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x 2 2 令 x ? n(n ? 1) ,则 ln n(n ? 1) ? 1 ? ,所以 ln(1? 2) ? 1 ? , 1? 2 n(n ? 1) 2 2 ,所以 ln(2 ? 3) ? 1 ? , , ln n( n ? 1) ? 1 ? 2?3 n(n ? 1) 2 ln[1? 22 ? 32 ? ? n 2 ? (n ? 1)] ? n ? 2 ? ? n?2 , n ?1 所以 1? 22 ? 32 ? n2 ? (n ? 1) ? en?2
(3) 由(2)知,当 x ? 1 时, 所以 [(n ? 1)!]2 ? (n ? 1)en?2 (n ? N* ) . (12 分) 22. 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到圆的切线的性质,切割线定 理等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力. 【试题解析】解: (1) 取 BD 中点为 F ,连结 OF ,由题意知, OF / / AC , OF ? AC AC 为圆 O 的切线, BC 为割线 ? CA2 ? CD ? CB ,由 AC ? 2 3, CD ? 2 ,? BC ? 6, BD ? 4, BF ? 2 在 Rt?OBF 中,由勾股定理得, r ? OB ? OF 2 ? BF 2 ? 4 . (5 分) (2) 由(1)知, OA / / BD, OA ? BD 所以四边形 OADB 为平行四边形,又因为 E 为 AB 的中点, 所以 OD 与 AB 交于点 E ,所以 O, E , D 三点共线. (5 分) 23. 【命题意图】 本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识, 具体涉及到参数方程与 普通方程的转化、 极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、 平面内直线与曲线的位置关 系、 利用三角函数相关知识解决点线距离问题等内容. 本小题考查考生的方程思想与数 形结合思想,对运算求解能力有一定要求. 【试题解析】解:(1) 由题意知, C1 的普通方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 C2 的直角坐标方程为 y ? x ? 1 . (5 分) (2) 设 P(1 ? cos 2? ,sin 2? ) ,则 P 到 C2 的距离 d ?
2 ? | 2 ? 2 cos(2? ? ) | ,当 2 4
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? 3? cos(2? ? ) ? ?1 ,即 2? ? ? 2k? (k ? Z ) 时, d 取最小值 2 ? 1 , 4 4 2 2 此时 P 点坐标为 (1 ? (10 分) , ). 2 2 24. 【命题意图】 本小题主要考查含绝对值不等式求解的相关知识以及不等式证明的相关知 识. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力. 【试题解析】解:(1) 由 f ( x) ? 6 ,得 a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a(a ? 6) ,即其解集为
(5 分) (2) 原不等式等价于,存在实数 n ,使得 m ? f ( n) ? f (?n) ?| 1 ? 2n | ? | 1 ? 2n | ? 2 恒成立, 即 m ?|1 ? 2n | ? |1 ? 2n | ?2min ,而由绝对值三角不等式, |1 ? 2n | ? |1 ? 2n |? 2 , 从而实数 m ? 4 . (10 分)
{x | a ? 3 ? x ? 3} ,由题意知 f ( x) ? 6 的解集为 {x | ?2 ? x ? 3} ,所以 a ? 1 .

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