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内蒙古乌兰察布市集宁区2016


内蒙古乌兰察布市集宁区 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 理
本试卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟 第一卷(选择题 共 60 分) 分,共 60 分)

一. 选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的。每小题 5 1. 设 a,b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式正确的是( A.b -a >0 B.a +b <0
3 3

) D.b+a>0 ) 。

C.a -b <0

2

2

2. 已知点 P 的极坐标是 (1, ? ) ,则过点 P 且垂直极轴的直线方程是( A.

? ?1

B.

? ? cos?

C.

? ??

1 cos ?

D.

??

1 cos ?

3. 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻但不排在两端, 不同的排法共有( A.1440 种 ) B.960 种 C.720 种 D.480 种 )

4. 在同一坐标系中,将曲线 y ? 2 sin 3x 变为曲线 y ? sin x 的伸缩变换是(

? x ? 3x ' ? ( A)? 1 ' ?y ? y 2 ?

? x ' ? 3x ? ( B) ? ' 1 ?y ? y 2 ?


' ? ? x ? 3x (C ) ? ' ? ?y ? 2y

' ? ? x ? 3x ( D)? ' ? ?y ? 2y

5. 设有一个回归方程为y=3-5x,则变量 x 增加一个单位时( A.y 平均增加 3 个单位 C.y 平均增加 5 个单位 B.y 平均减少 5 个单位 D.y 平均减少 3 个单位

)

6. 若 ( 2 ? x)10 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ??? a10 x10 , 则(a0 ? a2 ??? a10 )2 ? (a1 ? a3 ??? a9 )2 的 值 为 ( A.0 ) B.2 C.-1 D.1

7. 从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=( 1 A. 8 2 B. 5 1 C. 4 ) 1 D. 2 )

1 (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=( 8. 若函数 f(x)=x+ x-2 A.1+ 2 B.1+ 3 C.3 D.4

9.某地市高三理科学生有 15000 名,在一次调研测试中,数学成绩 ? 服从正态分布 N (100, ? ) ,
2

已知 P (80 ? ? ? 100) ? 0.40 , 若按成绩分层抽样的方式取 100 份试卷进行分析, 则应从 120 分
1

以上的试卷中抽取( A. 5 份 10. 2
2 015

) C. 15 份 ) C.7 D.8 D. 20 份

B. 10 份

被 9 除所得的余数是 ( B.5

A.4

11. 箱子里有 5 个黄球,4 个白球,每次随机取出一个球,若取出黄球,则放回箱中 重新取球,若取出白球,则停止取球,那么在 4 次取球之后停止取球的概率为( A. 3 × 1 5 4
5? × 4 B. ? ? ? 9 ?9?
3 1?5? × 4 C. C4 ? ? 9 ?9? 3

)
3

1?4? ×5 D. C4 ? ? 9 ?9?

? ?x=-2+cos θ , 12.P(x,y)是曲线? (0≤θ <π ,θ 是参数)上的动点, ?y=sin θ ?

y 则 的取值范围是( x A.?-

)

? ?

3 ? ,0? 3 ?

B.?-

? ?

3 3? , ? 3 3?

C.?0,

? ?

3? ? 3?

D.?-∞,-

? ?

3? ? 3?

第二卷(非选择题

共 90 分)

二.填空题(本大题共四小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上) 13. 若?x-

? ?

x ?
2

a?6

? 展开式的常数项为 60,则常数 a 的值为________.

14. 3 名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、航模四个课外兴趣小组,每人选报一种,则不同 的报名种数有 .

15.设 a, b, c 均为正数,且 a ? 2b ? 3c ? 2 ,则

1 2 3 ? ? 的最小值是________, a b c

16. 对任意实数 x ,| x-1|-| x+3|< a 恒成立,则 a 的取值范围是 三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(12 分)已知 a,b,c 都是正实数,a+b+c=1。 1 2 2 2 (1)求证:a +b +c ≥ 3 (2) 求证

1 1 1 ? ? ≥9 a b c

18.(12 分)设函数 f(x)=|x-a|+3x,其中 a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥3x+2 的解集;
2

(2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤-1},求 a 的值. 19.(12 分)袋中装有大小相同的 4 个红球和 6 个白球,从中取出 4 个球. (1)若取出的球必须是两种颜色,则有多少种不同的取法? (2)若取出的红球个数不少于白球个数,则有多少种不同的取法? (3)取出一个红球记 2 分,取出一个白球记 1 分,若取 4 球的总分 不低于 5 分,则有多少种不同的取法? 20.(12 分)第 17 届亚运会于 2014 年 9 月 19 日至 10 月 4 日在韩国仁川进行,为了搞好接待工作, 组委会招募了 16 名男志愿者和 14 名女志愿者,调查发现,男、女志愿者中分别有 10 人和 6 人喜爱运动,其余人不喜爱运动. (1)根据以上数据完成以下 2×2 列联表: 喜爱运 动 男 女 总计 10 6 不喜爱运动 总计 16 14 30

(2)根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为性别与喜爱运动 有关? (3)如果从喜欢运动的女志愿者中(其中恰有 4 人会外语),抽取 2 名负责翻译工作,那么抽出的 志愿者中至少有 1 人能胜任翻译工作的概率是多少?

n?ad-bc? 2 参考公式:K = ,其中 n= a+b+c+d. ?a+b??c+d??a+c??b+d?
参考数据:

2

P(K2≥k0) k0

0.40 0.708

0.25 1.323

0.10 2.706

0.010 6.635

21.(12 分)甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动,在本次海选中有 合格和不合格两个等级.若海选合格记 1 分,海选不合格记 0 分.假设甲、乙、丙海选合格的
2 3 1 概率分别为 , , ,他们海选合格与不合格是相互独立的. 3 4 2

(1)求在这次海选中,这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率; (2)记在这次海选中,甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量 ? ,求随机变量

? 的分布列和数学期望 E? .
22.(10 分)平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C:(x-1) +y =1.直线 l 经过
2 2

3

π 点 P(m,0),且倾斜角为 ,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立 6 极坐标系. (1)写出曲线 C 的极坐标方程与直线 l 的参数方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,且|PA|·|PB|=1,求实数 m 的值.

高二年级(理科)数学答案 二. 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.D 2.C 3.B 4.B 5.B 6.D 7.C 8.C 9.B 10.B 11.B 12.A 二.填空题(20 分) 13.a=4 14. 4
3

15.18 16.a<4

17.12 分。共两部分,每部分 6 分。利用重要不等式证明略。 18.(12 分) 解 (1)当 a=1 时,f(x)≥3x+2 可化为|x-1|≥2. 由此可得 x≥3 或 x≤-1. 故不等式 f(x)≥3x+2 的解集为{x|x≥3 或 x≤-1}.-------6 分 (2)由 f(x)≤0 得|x-a|+3x≤0.
? ?x≥a 此不等式化为不等式组? ?x-a+3x≤0 ? ? ?x<a 或? ?a-x+3x≤0, ?

x≥a ? ? 即? a x≤ ? ? 4

x<a ? ? 或? a x≤- . ? 2 ? .

? ? a? 因为 a>0,所以不等式组的解集为?x?x≤- ? 2 ? ? ?

a 由题设可得- =-1,故 a=2.---------6 分 2 19.(12 分) (每小问 4 分) 解 (1)分三类:3 红 1 白,2 红 2 白,1 红 3 白这三类,由分类加法计数原理有:C4C6+C4C6+ C4C6=194(种). (2)分三类:4 红,3 红 1 白,2 红 2 白,由分类加法计数原理共有:C4+C4C6 +C4C6=115(种). (3)由题意知,取 4 球的总分不低于 5,只要取出的 4 个球中至少一个红球即可.因此共有取法:
4 3 1 2 2 1 3 3 1 2 2

4

C4C6+C4C6+C4C6+C4=195(种). 20.(12 分)第一问 3 分,第二问 4 分,第三问 5 分)

1 3

2 2

3 1

4

(1) 喜爱运动 男 女 总计 10 6 16 不喜爱运动 6 8 14 总计 16 14 30

(2)假设:是否喜爱运动与性别无关,由已知数据可 求得

K2=

30×?10×8-6×6? ≈1.1 575<2.706. ?10+6??6+8??10+6??6+8?

2

因此,在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下不能判断喜爱运动与性别有关. (3)喜欢运动的女志愿者有 6 人, 设喜欢运动的女志愿者分别为 A、B、C、D、E、F,其中 A、 B、C、D 会外语,则从这 6 人中任 取 2 人有 AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共 15 种取法, 其中两人都不会外语的只有 EF 这 1 种取法. 1 14 故抽出的志愿者中至少有 1 人能胜任翻译工作的概率是 P=1- = . 15 15

21.(12 分)(第一问 4 分,第二问 8 分) 【解析】 试题分析:概率与统计类解答题是高考常考的题型,以排列组合和概率统计等知识为工具,主要考 查对概率事件的判断及其概率的计算,随机变量概率分布列的性质及其应用:对于(1) ,从所求事 件的对立事件的概率入手即 P( E) ? 1 ? P( ABC) ;对于(2) ,根据 ? 的所有可能取值:0,1,2,3; 分别求出相应事件的概率P,列出分布列,运用数学期望计算公式求解即可. (1)记“甲海选合格”为事件A, “乙海选合格”为事件B, “丙海选合格”为事件C, “甲、乙、 丙至少有一名海选合格”为事件E.

1 1 1 23 P( E ) ? 1 ? P( ABC ) ? 1 ? ? ? ? . 3 4 2 24
(2) ? 的所有可能取值为 0,1,2,3. P(? ? 0) ? P( ABC ) ?

1 ; 24

5

P(? ? 1) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ?

6 1 ? ; 24 4 11 P(? ? 2) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? ; 24 6 1 P(? ? 3) ? P( ABC ) ? ? . 24 4

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 24

1 4

11 24

1 4

E? ? 0 ?

1 1 11 1 23 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 24 4 24 4 12
2 2 2 2 2

22.(10 分) (第一问 5 分,第二问 5 分) 解(1)曲线 C 的直角坐标方程为:(x-1) +y =1,即 x +y =2x,即 ρ =2ρ cos θ , 所以曲线 C 的极坐标方程为:ρ =2cos θ . 3 ? ?x=m+ 2 t, 直线 l 的参数方程为? (t 为参数). 1 ? ?y=2t (2)设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2,将直线 l 的参数方程代入 x +y =2x 中, 得 t +( 3m- 3)t+m -2m=0,所以 t1t2=m -2m, 由题意得|m -2m |=1,解得 m=1 或 m=1+ 2或 m=1- 2
2 2 2 2 2 2

6


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