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2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件(江苏专用):2-2 转化与化归思想、分类讨论思想


第2讲 转化与化归思想、分类讨论思想

一、转化与化归思想

[思想概述]
转化化归思想的基本内涵是:人们在解决数学问题时, 常常将待解决的数学问题 A,通过某种转化手段,归结为另 一问题B,而问题B是相对较容易解决的或已经有固定解决模 式的问题,且通过问题B的解决可以得到原问题A的解.用框

图可直观地表示为:

转化有等价转化和非等价转化,等价转化前后是充要条件, 所以尽可能使转化具有等价性,等价转化策略就是把未知解

的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思
想方法.通过不断地转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题 转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.在不得已的情 况下,进行不等价转化,应附加限制条件,以保持等价性, 或对所得结论进行必要的验证. 预测2014年高考对转化与化归思想的考查的基本类型和重点 为:(1)常量与变量的转化:如分离变量,求范围等;(2)数与 形的互相转化:如解析几何中的斜率、函数中的单调性等;

(3)数学各分支的转化:函数与立体几何、向量与解析几何等
的转化.

[类型讲解]

类型一 具体与抽象、特殊与一般的转化
【例1】 已知f(θ)=sin2θ+sin2(θ+α)+sin2(θ+β),问是否存 在常数α,β,满足0≤α<β≤π,使得f(θ)为与θ无关的定 值.



由于f(0)=sin2α+sin2β.

?π? f?2?=1+cos2α+cos2β, ? ?

f(-α)=sin2α+sin2(α-β),f(-β)=sin2β+sin2(α-β).
2 2 2 2 ? sin α + sin β = 1 + cos α + cos β, ? 所以有? 2 2 2 2 ? sin α + sin ? α - β ? = sin β + sin ?α-β?, ?

? ?cos 2α+cos 2β=-1, 化简整理得? 2 2 ? ?sin α=sin β,

π 2 又因为0≤α<β≤π,所以得α=3,β=3π.

下面证明f(θ)=sin θ+sin

2

2

? ? π? 2π? 2 ?θ+ ?+sin ?θ+ ?的值与θ无关. 3? 3? ? ?

? ? 2π? 4π?? 1? f(θ)= ?1-cos 2θ+1-cos?2θ+ 3 ?+1-cos?2θ+ 3 ?? 2? ? ? ? ??

π? 1? =2?3-cos 2θ-2cos?2θ+π?cos3? ? ? 1 3 =2[3-cos 2θ+cos 2θ]=2. 所以f(θ)为与θ无关的定值. π 2π 即存在常数α=3,β= 3 ,使得f(θ)为与θ无关的定值.

[规律方法] (1)由于题目中的参数和变量较多,所以直接求解

难以入手,因此对参数θ取特殊值,进行推理求解.
(2)当问题难以入手时,可以先对特殊情况或简单情形进行观 察、分析,发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素, 然后推广到一般情形,并加以证明.

类型二 换元及常量与变量的转化 【例2】 已知f(x)为定义在实数集R上的奇函数,且f(x)在 π [0,+∞)上是增函数.当0≤θ≤ 2 时,是否存在这样的实 数m,使f(cos 2θ-3)+f(4m-2mcos θ)>f(0)对所有的 θ∈
? π? ?0, ? 2? ?

均成立?若存在,求出所有适合条件的实数m;若

不存在,请说明理由.

解 假设存在适合条件的m, 由f(x)是R上的奇函数可得f(0)=0. 又在[0,+∞)上是增函数, 故f(x)在R上为增函数. 由题设条件可得f(cos 2θ-3)+f(4m-2mcos θ)>0. 又由f(x)为奇函数,可得 f(cos 2θ-3)>f(2mcos θ-4m), ∴cos 2θ-3>2mcos θ-4m, 即cos2θ-mcos θ+2m-2>0.

π 令cos θ=t,∵0≤θ≤2, ∴0≤t≤1. 于是问题转化为对一切0≤t≤1, 不等式t2-mt+2m-2>0恒成立.
2 t -2 2 ∴t -2>m(t-2),即m> 恒成立. t -2

t2-2 2 又∵ =(t-2)+ +4≤4-2 2, t -2 t-2 ∴m>4-2 2. ∴存在实数m满足题设的条件,m>4-2 2.

[ 规律方法 ] (1) 本题正确求解的关键有三点:①去对应法则

“f”,②将“cos θ”用“t”代换,将较复杂的三角函数不等式
化为二次不等式,③分离参数,转化为求最值. (2)在求解过程中,①切记注意t∈[0,1],②分离参数注意不等 式的性质,不要弄错不等号的方向.对于形式较复杂的式子, 我们常通过更换某个 ( 或某部分 ) 变量的方法转化为相对简单

易解的问题.

类型三 【例3】

命题的等价转化与化归 (2013· 盐城模拟)如图所示,在正三棱柱A1B1C1-ABC 2 BB1,设B1D∩BC1=F,求

中,点D是BC的中点,BC= 证: (1)A1C∥平面AB1D; (2)BC1⊥平面AB1D.

证明 (1)连接A1B,设A1B与AB1交于E,连接DE. ∵点D是BC中点,点E是A1B中点, ∴DE∥A1C, ∵A1C?平面AB1D, DE?平面AB1D, ∴A1C∥平面AB1D. (2)∵△ABC是正三角形,点D是BC的中点, ∴AD⊥BC. ∵平面ABC⊥平面B1BCC1,

平面ABC∩平面B1BCC1=BC,AD?平面ABC, ∴AD⊥平面B1BCC1, ∵BC1?平面B1BCC1,∴AD⊥BC1. ∵点D是BC的中点,BC= 2 2BB1,∴BD= BB1. 2

BD CC1 2 ∵ = = ,∴Rt△B1BD∽Rt△BCC1. BB1 BC 2 ∴∠BDB1∠=BC1C. ∴∠FBD+∠BDF=∠C1BC+∠BC1C=90° , ∴BC1⊥B1D.∵B1D∩AD=D,∴BC1⊥平面AB1D.

[规律方法] (1)根据问题的特点转化命题,使原问题转化为与

之相关,易于解决的新问题,是我们解决数学问题的常用思
路. (2)本题把立体几何问题转化为平面几何问题,三维降为二维, 难度降低,易于解答.

二、分类讨论思想

[思想概述]
分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解 ( 或分 割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解 决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合,分类标准等 于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性

问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问
题难度. 分类讨论的常见类型:

(1) 由数学概念引起的分类讨论:有的概念本身就是分类的,
如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等. (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的定理、 公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如 等比数列的前n项和公式、函数的单调性等.

(3)由数学运算和字母参数变化引起分类;如偶次方根非负,
对数的底数与真数的限制,方程 (不等式 )的运算与根的大小 比较,含参数的取值不同会导致所得结果不同等.

(4)由图形的不确定性引起的分类:有的图形的形状、位置关

系需讨论,如二次函数图象的开口方向,点、线、面的位置
关系,曲线系方程中的参数与曲线类型等. 分类讨论思想,在近年高考试题中频繁出现,涉及各种题型, 已成为高考的热点.考查的重点是含参数函数性质、不等式 (方程)问题,与等比数列的前n项和有关的计算推理,点、线、

面的位置以及直线与圆锥曲线的位置关系不定问题等.

[类型讲解] 类型一 【例1】 数学概念与运算引起的分类讨论
2 ? ?sin?πx ?,-1<x<0, 函数f(x)= ? x-1 ? ?e ,x≥0.

若f(1)+f(a)=2,则a

的所有可能值为________.

解析 f(1)=e0=1,即f(1)=1. 由f(1)+f(a)=2,得f(a)=1. 当a≥0时,f(a)=1=ea-1,∴a=1. 当-1<a<0时,f(a)=sin(πa2)=1, π ∴πa =2kπ+2(k∈Z).
2

1 1 2 ∴a =2k+2(k∈Z),k只取0,此时a =2,
2

2 ∵-1<a<0,∴a=- 2 . 2 答案 1,- 2

[规律方法] (1)分段函数在自变量不同取值范围内,对应关系

不同,必需进行讨论.由数学定义引发的分类讨论一般由概
念内涵所决定,解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内 涵与外延. (2)在数学运算中,有时需对不同的情况作出解释,就需要进 行讨论,如解二次不等式涉及到两根的大小等.

类型二

由图形或图象位置不同引起分类讨论

x2 y2 【例2】 设F1,F2为椭圆 + =1的两个焦点,P为椭圆上一 9 4 点.已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且 |PF1| |PF1|>|PF2|,求|PF |的值. 2

解 若∠PF2F1=90° . 则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2, 又∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 5, 14 4 解得|PF1|= ,|PF2|= , 3 3 |PF1| 7 ∴|PF |=2. 2 若∠F1PF2=90° ,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2, ∴|PF1|2+(6-|PF1|)2=20, ∴|PF1|=4,|PF2|=2, |PF1| ∴|PF |=2. 2 |PF1| 7 综上知, = 或2. |PF2| 2

[规律方法] (1)本题中直角顶点的位置不定,影响边长关系,

需按直角顶点不同的位置进行讨论.
(2)涉及几何问题时,由于几何元素的形状、位置变化的不确 定性,需要根据图形的特征进行分类讨论.

类型三 由定理、性质、公式等引起的分类讨论

【例3】 已知等差数列{an}的前3项和为6,前8项和为-4.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=(4-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{bn}的前n项 和Sn.

解 (1)设数列{an}的公差为d,由已知,得
? ?3a1+3d=6, ? ? ?8a1+28d=-4, ? ?a1=3, 解得? ? ?d=-1.

故an=3-(n-1)=4-n. (2)由(1)可得bn=n· qn 1,于是


Sn=1· q0+2· q1+3· q2+…+n· qn-1. 若q≠1,将上式两边同乘q,得 qSn=1· q1+2· q2+…+(n-1)· qn 1+n· qn.


两式相减,得(q-1)Sn=nqn-1-q1-q2-…-qn
n n+1 n q - 1 nq - ? n + 1 ? q +1 n =nq - = . q-1 q-1

-1

nqn 1-?n+1?qn+1 于是,Sn= . 2 ?q-1?


n?n+1? 若q=1,则Sn=1+2+3+…+n= 2 . ? ?n?n+1? ?q=1?, 2 ? 所以,Sn=? n+1 n nq - ? n + 1 ? q +1 ? ?q≠1?. 2 ? ?q-1? ?

[规律方法] (1)利用等比数列的前n项和公式时,需要分公比

q=1和q≠1两种情况进行讨论,这是由等比数列的前n项和公
式决定的.一般地,在应用带有限制条件的公式时要小心, 根据题目条件确定是否进行分类讨论. (2)由性质、定理、公式等引起的讨论,主要是应用的范围受 限时,存在多种可能性.

类型四

由字母参数引起的分类讨论

【例4】 已知函数f(x)=x3+x2-ax(a∈R). (1)当a=0时,求与直线x-y-10=0平行,且与曲线y=f(x)相 切的直线方程; f?x? (2)求函数g(x)= x -aln x(x>1)的单调递增区间.

2 2 解 (1)设切点为T(x0,x3 + x ) , f ′ ( x ) = 3 x +2x. 0 0

1 2 由题意得3x0+2x0=1,解得x0=-1或 . 3 ∴切线的方程为x-y+1=0或27x-27y-5=0. a (2)g(x)=x +x-a-aln x(x>1),由g′(x)=2x+1-x >0得
2

2x2+x-a>0.令φ(x)=2x2+x-a(x>1), 由于φ(x)在(1,+∞)上是增函数.∴φ(x)>φ(1)=3-a.

①当 a≤3 时,φ(x)>0,则 g′(x)>0. ∴g(x)的单调增区间为(1,+∞), ②当 a>3 时,φ(1)<0.∴φ(x)的一个零点小于 1,另一个零点大于 1.由 φ(x)=0. 得 x1= -1- 1+8a -1+ 1+8a <1,x2= >1. 4 4 4
? 1+8a ? ,+∞?. ?

?-1+ ∴φ(x)>0(x>1)的解集为? ? ? ?-1+ ∴g(x)的单调增区间为? ? ?

4

? 1+8a ? ,+∞?. ?

综合①②得,当 a≤3 时,函数 g(x)的单调递增区间为(1,+∞); 当 a>3 时,函数 g(x)的单调递增区间为 -1+ 4 1+8a ,+∞ .

[规律方法] 利用分类讨论策略解题的关键是分类标准的确定,

分类讨论时要注意根据具体的问题情境确立分类的标准,做
到不重不漏,分类解决问题后要根据问题的要求进行合理的 整合.如本题利用二次函数的性质,求出g′(x)的下界值,从 而找到分类标准,突破解题瓶颈,优化了解题过程.


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