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【优化指导】2015年高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)课时跟踪检测 新人教A版必修4


【优化指导】 2015 年高中数学 1.4.2 正弦函数、 余弦函数的性质 (二) 课时跟踪检测 新人教 A 版必修 4
难易度及题号 基础 1 2、 5 3 4、 6 中档 7 10、11 9 8 12 稍难

考查知识点及角度 三角函数的单调区间问题 三角函数的最值(值域)问题 比较大小问题 综合问题

1.函数 y=|sin x|的一个单调增区间是(

) B.? D.?

? π π? A.?- , ? ? 4 4?
3π ? ? C.?π , ? 2 ? ? 解析:画出 y=|sin x|的图象即可求解.

?π ,3π ? 4 ? ?4 ? ?3π ,2π ? ? ? 2 ?

故选 C. 答案:C 1 2.设 M 和 m 分别表示函数 y= cos x-1 的最大值和最小值,则 M+m 等于( 3 A. 2 3 2 B.- 3 D.-2 )

4 C.- 3

1 2 1 4 解析:函数的最大值为 M= -1=- ,最小值为 m=- -1=- ,所以 M+m=-2. 3 3 3 3 答案:D 3.下列关系式中正确的是( )

A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10°

C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° 解析:cos 10°=sin 80°,sin 168°=sin 12°.sin 80°>sin 12°>sin 11°, 即 cos 10°>sin 168°>sin 11°. 答案:C 4.下列函数中,周期为 π ,且在? π? ? A.y=sin?2x+ ? 2? ?

?π ,π ?上为减函数的是( ? ?4 2?
π? ? B.y=cos?2x+ ? 2? ?

)

? π? C.y=sin?x+ ? 2? ?

? π? D.y=cos?x+ ? 2? ?

π π 3π 解析: 由于函数周期为 π ,所以排除 C、 D;对于 A, 由 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + , 2 2 2

k∈Z.得其单调减区间为?kπ ,kπ + ?(k∈Z).显然? , ?? ?kπ ,kπ + ?(k∈Z), 2 4 2 2

? ?

π?

?

?π ?

π?

? ? ?

π?

?

故选 A. 答案:A 5.函数 y=sin |x|+sin x 的值域是________.
? ?2sin x, 解析:y=sin |x|+sin x=? ?0, x<0, ?

x≥0,

∴-2≤y≤2. 答案:[-2,2] 6.函数 y=cos x 在区间[-π ,a]上为增函数,则 a 的取值范围是________. 解析:∵y=cos x 在[-π ,0]上为增函数,又在[-π ,a]上递增,∴[-π ,a]? [- π ,0].∴a≤0.又∵a>-π ,∴-π <a≤0. 答案:(-π ,0] 7.求函数 y=1-sin 2x 的单调区间. 解:求函数 y=1-sin 2x 的单调区间,转化为求函数 y=sin 2x 的单调区间,要注意 负号的影响. 由 得 π 3π +2kπ ≤2x≤ +2kπ ,k∈Z, 2 2 π 3π +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 4 4

即函数的单调递增区间是?

?π +kπ ,3π +kπ ?(k∈Z). ? 4 ?4 ?

同理可求得函数的单调递减区间是

?-π +kπ ,π +kπ ?(k∈Z). ? 4 ? 4 ? ?

?π ? ?π ? ?π ? 8.若函数 f(x)=3sin(ω x+φ )对任意的 x 都有 f? +x?=f? -x?,则 f? ?等于 ?3 ? ?3 ? ?3?
( ) A.3 或 0 C.0 B.-3 或 0 D.-3 或 3

?π ? ?π ? 解析:∵f? +x?=f? -x?, ?3 ? ?3 ?
π ∴f(x)关于直线 x= 对称. 3

?π ? ∴f? ?应取得最大值或最小值. ?3?
答案:D π? π? π ? ? 9.若 0<α <β < ,a= 2sin?α + ?,b= 2sin?β + ?,则( 4 4? 4 ? ? ? A.a<b C.ab<1 B.a>b D.ab> 2 )

π π π π π 解析:∵0<α <β < ,∴ <α + <β + < . 4 4 4 4 2

? π? 而正弦函数 y=sin x,x∈?0, ?是增函数, 2? ?
π? π? ? ? ∴sin?α + ?<sin?β + ?. 4? 4? ? ? π? π? ? ? ∴ 2sin?α + ?< 2sin?β + ?,即 a<b. 4 4? ? ? ? 答案:A

?π ? ?π ? 10.函数 y=2sin? -x?-cos? +x?(x∈R)的最小值为________. ?3 ? ?6 ? ?π ? ?π ? π 解析:∵? -x?+? +x?= , ?3 ? ?6 ? 2 ?π ?π ?? ? π? ∴y=2sin? -? +x??-cos?x+ ? 6? ?? ? ?2 ?6 ? π? ? π? ? π? =2cos?x+ ?-cos?x+ ?=cos?x+ ?. 6? 6? 6? ? ? ?
∴ymin=-1. 答案:-1

π? ? 11.设函数 f(x)=acos x+b 的最大值是 1,最小值是-3, 试确定 g(x)=bsin?ax+ ? 3? ? 的最大值. 解:由题意,a≠0.
? ?a+b=1, 当 a>0 时,? ?-a+b=-3, ?

∴?

? ?a=2, ?b=-1. ?

π? ? 此时 g(x)=-sin?2x+ ?,其最大值为 1. 3? ?
?a+b=-3, ? 当 a<0 时,? ? ?-a+b=1,

∴?

?a=-2, ? ? ?b=-1.

π? ? 此时 g(x)=-sin?-2x+ ?,其最大值为 1. 3? ? π? ? 综上知,g(x)=bsin?ax+ ?的最大值为 1. 3? ?

? π π? 12.已知 ω 是正数,函数 f(x)=2sin ω x 在区间?- , ?上是增函数,求 ω 的取 ? 3 4?
值范围. π π 解:由- +2kπ ≤ω x≤ +2kπ (k∈Z)得 2 2 - π 2kπ π 2kπ + ≤x≤ + (k∈Z). 2ω ω 2ω ω

∴f(x)的单调递增区间是

?- π +2kπ , π +2kπ ?(k∈Z). ? 2ω ω 2ω ω ? ? ? ? π π ? ? π 2kπ , π +2kπ ? 据题意,?- , ?? ?- + ω 2ω ω ? ? 3 4 ? ? 2ω ?
(k∈Z). - ≤- , 2ω 3 ? ? π 从而有? π ≥ , 2ω 4 ? ?ω >0, π π

3 解得 0<ω ≤ . 2

? 3? 故 ω 的取值范围是?0, ?. ? 2?

在研究正弦、余弦函数的性质时,要充分借助正弦、余弦曲线,注意数形结合思想方法

的运用. 1.求函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)单调区间的方法是:把 ω x+φ 看成一个 π π 整体, 由 2kπ - ≤ω x+φ ≤2kπ + (k∈Z)解出 x 的范围, 所得区间即为增区间, 由 2kπ 2 2 π 3 + ≤ω x+φ ≤2kπ + π (k∈Z)解出 x 的范围,所得区间即为减区间.若 ω <0,先利用 2 2 诱导公式把 ω 转化为正数后,再利用上述整体思想求出相应的单调区间. 2.比较三角函数值的大小,先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角 函数值的大小比较,再利用单调性作出判断. 3.求三角函数值域或最值的常用求法 将 y 表示成以 sin x(或 cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用 函数的单调性等来确定 y 的范围.


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