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湖北省监利县第一中学高中数学人教版必修五知识点复习3.2 一元二次不等式的解法(无答案)


一元二次不等式的解法 二次函 x y -3 6 -2 0 -1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 3 0 4 6 数 y=x2-x -6 的对应 值表与图象 如下: 由对应值表及函数图象(如图 2.3-1)可知 当 x=-2,或 x=3 时,y=0,即 x2-x=6=0; 当 x<-2,或 x>3 时,y>0,即 x2-x-6>0; 当-2<x<3 时,y<0,即 x2-x-6<0. 这就是说,如果抛物线 y= x2-x-6 与 x 轴的交点是(-2, 0)与(3,0),那么 一元二次方程 x2-x-6=0 的解就是 x1=-2,x2=3; 同样,结合抛物线与 x 轴的相关位置,可以得到 一元二次不等式 x2-x-6>0 的解是 x<-2,或 x >3; 一元 的解是 -2<x<3. 上例 表明:由抛物 线与 x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集. 那么,怎样解一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)呢? 我们可以用类似于上面例子的方法,借助于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象来解 一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0). 为了方便起见,我们先来研究二次项系数 a>0 时的一元二次不等式的解. 我们知道,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0),设△=b2-4ac,它的解的情形按照△ 二次不等式 x2-x-6<0 >0,△=0,△<0 分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解 和没有实数解,相应地,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴分别有两个公共点、一个公 共点和没有公共点(如图 2.3-2 所示),因此,我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次 不等式 ax2+bx+c>0(a>0)与 ax2+bx+c<0(a>0)的解. (1)当 Δ>0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴有两个公共点(x1,0)和(x2,0),方 程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根 x1 和 x2(x1<x2),由图 2.3-2①可知 不等式 ax2+bx+c>0 的解为 x<x1,或 x>x2; 不等式 ax2+bx+c<0 的解为 x1<x<x2. (2)当 Δ=0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴有且仅有一个公共点,方程 ax2 b +bx+c=0 有两个相等的实数根 x1=x2=- ,由图 2.3-2②可知 2a 不等式 ax2+bx+c>0 的解为 b x≠- ; 2a 不等式 ax2+bx+c<0 无解. (1) 如果△<0,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴没有公共点,方程 ax2+bx+ c=0 没有实数了; (2) ‘x2+bx+c<0 无解. 今后,我们在解一元二次不等式时,如果二次项系数大于零,可以利用上面的结论直接 求解;如果二次项系数小于零,则可以先在不等式两边同乘以-1,将不等式变成二次项系 数大于零的形式,再利用上面的结论去解不等式. 例 3 解不等式: x ? 6 x ? 9 ? 0 , x ? x ? 4 ? 0 2 2 例 4 已知不等式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解是 x ? 2, 或 x ? 3 求不等式 2 bx2 ? ax ? c ? 0 的解. 例 5 解关于 x 的一元二次不等式 x2 ? ax ? 1 ? 0(a 为实数).

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