4.1 二元一次不等式 （组）与平面区域
一、引入:
一名刚参加工作的大学生为自己制定的用餐 标准是240元，又知其他费用最少支出180元，而 每月可用来支配的资金为500元，这名新员工可 以如何使用这些钱？
问题：应该用什么不等式模型来刻画呢？
设用餐费x元，其他费用y元，由题意知，满足下面不等式
X+y≤500 x≥240 y≥180
确定平面直角坐标系中 不等式组的解集区域
二、新知探究：
1、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
（1）回忆、思考 回忆：一元一次不等式（组）的解集所表示的图形
——数轴上的区间。
如：不等式组???xx
? ?
3 4
? ?
0 0
的解集为数轴上的一个区间（如图）。
-3≤x≤4
思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集
表示什么图形？
二、新知探究：
（2）探究
特殊：二元一次不等式 x – y < 0 的解集所表示的图形。
作出x – y = 0的图像—— 一条直线，
直线把平面内所有点分成三类: a)在直线x – y = 0上的点
左上方 区域
y
b)在直线x – y = 0左上方区域内 c)在直线x – y = 0右下方区域内
右下方区 域
Ox
二、新知探究：
2、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
（2）探究
验证：在直线上任
取点，例如点P（1，
1），过点做与y轴
y
平行的直线L1 .
x–y=0
(1,1)
O
x
L1
二、新知探究：
2、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
（2）探究
结论
在平面直角坐标系中，以二元 一次不等式x – y > 0的解为坐标 的点都在直线x – y = 0的右下方； 反过来，直线x – y = 0右下方的 点的坐标都满足不等式x – y > 0。
y x – y =0
O
x
二、新知探究：
2、探究二元一次不等式（组）的解注集意表示：的把图直形
（2）探究
结论
线画成虚线以 表示区域不包
括边界
不等式x – y < 0表示直线x – y = 0左上方的平面区域；
不等式x – y > 0表示直线x – y = 0右下方的平面区域；
y
y
O
x
直线叫做这两个区域的边界。
Ox
二、新知探究：
3、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
（3）从特殊到一般情况：
二元一次不等式Ax + By + C＞0在平面直角坐标系中表
示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点组成的平面区域。
（虚线表示区域不包括边界直线）
结论一
y Ax + By + C = 0
二元一次不等式表示相
应直线的某一侧区域
O
x
二、新知探究：
4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入 Ax+By+C所得实数的符号都相同，只需在直线 的某一侧任取一点(x0,y0),根据Ax+By+C的正负 即可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧区域， C≠0时，常把原点作为特殊点。
结论二
直线定界，特殊点定域。
三、例题示范：
例1： 试确定集合 ??x, y? x ? 2y ?3 ? 0? 表示的
平面区域
解：(1)直线定界: 先画直线x + 2y – 3 = 0（画成虚线） (2)特殊点定域:取原点（0，0），代入x + 2y - 3，
因为 0 + 2×0 –3 = -3 < 0
所以，原点不在在x + 2y – 3>0表示的
y
平面区域内，
3
不等式x + 2y – 3 > 0表示的区域如图所 2
示。
3x x+2y―3=0
课堂练习1:
(1)画出不等式 4x―3y≤12 表示的平面区域
(2)画出不等式x≥1 表示的平面区域
y 4x―3y-12=0 x
y
x x=1
三、例题示范：
例2、用平面区域表示不等式组
x ? y ?1? 0
x? y ?0
的解集。
x?2
y
x=2
如：不等式组
?x ??x
? ?
3 4
? ?
0 0
的解集为数轴上的一个
区间（如图）。
-3≤x≤4
0
x
x-y=0
x+y-1=0
课堂练习2：
课本第98页的练习1、3。
1、图中表示的平面区域满足不等式（ B ）
（A） x + y – 1<0 （B） x + y –1>0
（C） x – y – 1 <0 （D） x + y – 1>0
y
1
o
1x
3、本节开头不等式组表示的
y
平面区域是
500
X+y≤500
x≥24 y≥1080
y =180
x + y =500
o
500 x
x =240
小结：
⑴ 二元一次不等式表示平面区域： 直线某一侧所有点组成的平面区域。
⑵ 判定方法： 直线定界，特殊点定域。
⑶ 二元一次不等式组表示平面区域： 各个不等式所表示平面区域的公共部分。
作业:
课本 P98 练习1 第2、4题