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高中数学北师大版必修4学案:2.3.1 数乘向量 含解析


§ 3 3.1 从速度的倍数到数乘向量 数乘向量 1.理解向量的数乘运算及其几何意义.(重点) 2.理解向量共线定理,并应用其解决相关问题.(难点) 3.会利用向量共线定理判断三点共线及线线平行.(易混点) [基础· 初探] 教材整理 数乘向量 阅读教材 P82~P84“例 3”以上部分,完成下列问题. 1.数乘向量及运算律 (1)向量数乘的定义 一般地,实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λa.它的长度和方向规定如 下: ①|λa|=|λ||a|; ②当 λ>0 时,λa 与 a 的方向相同;当 λ<0 时,λa 与 a 的方向相反;当 λ= 0 时,λa=0. (2)向量数乘的运算律 设 a,b 为向量,λ,μ 为实数,则向量数乘满足: ①结合律:λ(μa)=(λμ)a; ②分配律:(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb. 2.共线向量定理 (1)判定定理 a 是一个非零向量,若存在一个实数 λ,使得 b=λa,则向量 b 与非零向量 a 共线. (2)性质定理 若向量 b 与非零向量 a 共线,则存在一个实数 λ,使得 b=λa. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)实数 λ 与向量 a 的积还是向量.( ) ) ) (2)实数 λ 与向量 a 的和 λ+a 与差 λ-a 都是向量.( (3)对于非零向量 a,向量-6a 与向量 2a 方向相反.( (4)向量-8a 的模是向量 4a 的模的 2 倍.( ) ) (5)若 b=λa(a≠0),则 a 与 b 方向相同或相反.( (6)若 a∥b,则存在 λ∈R,使得 b=λa.( ) 【解析】 由数乘向量的意义知,(1)正确,(2)错误,(3)正确,(4)正确;(5) 当 b=0 时,不能判断方向相同或相反,因而(5)错误;(6)当 a=0,b≠0 时,就 不存在实数 λ,使 b=λa,故(6)错误. 【答案】 [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)× 疑问 1:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问 2:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问 3:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ [小组合作型] 向量的线 性运算 计算: ? 1 ? ? ? (1)3(6a+b)-9?a+ b?; 3 ? ? ? ? ?1 1 ? 3 ? 1? ? ? ?? ? ? (2) ??3a+2b?-?a+ b??-2? a+ b?; 2 ?? 8 ? 2? ? ?2 (3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a. 【精彩点拨】 【自主解答】 根据向量加法、减法、数乘的运算法则进行运算. (1)原式=18a+3b-9a-3b=9a. 3 ? 1? 3 ? ? (2)原式= ?2a+ b?-a- b 2 ? 2? 4 3 3 =a+ b-a- b=0. 4 4 (3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a =b-c. 1.向量数乘的运算类似于代数多项式的运算,主要是“合并同类项”“提 取公因式”,这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看成向量的系数. 2.向量也可以通过列方程来解,把所求向量当做未知量,利用解代数方程 的方法求解. [再练一题] 1.化简: (1)5(3a-2b)+4(2b-3a); 1 1 1 (2) (a+2b)+ (3a-2b)- (a-b). 3 4 2 【解】 (1)5(3a-2b)+4(2b-3a)=15a-10b+8b-12a=3a-2b. ? 1 3 1? ?2 1 1? 1 1 1 7 2 ? ? ? ? (2) (a+2b)+ (3a-2b)- (a-b)=? + - ?a+? - + ?b= a+ b. 3 4 2 12 3 ?3 4 2? ?3 2 2? 向量共线定理 及应用 已知 e1,e2 是不共线的向量,a=3e1+4e2,b=6e1-8e0,判断 a 与 b 是否共线? 【精彩点拨】 利用向量共线定理进行判断. 【自主解答】 若 a 与 b 共线,则存在 λ∈R.使 a=λb,即 3e1+4e2=λ(6e1 -8e2), 所以(3-6λ)e1+(4+8λ)e2=0. ? ?3-6λ=0, 因为 e1 与 e2 不共线,所以? ? ?4+8λ=0, 所以 a 与 b 不共线. 所以 λ 不存在. 1.本题充分利用了向量共线定理,即 b 与 a(a≠0)共线?b=λa,因此用它 既可以证明点共线或线共线问题,也可以根据共线求参数的值. 2.向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相 表示,从而判断共线. [再练一题] → → → 2.设 e1,e2 是两个不共线向量,已知AB=2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD= 2e1-e2. (1)求证:A,B,D 三点共线. → (2)若BF=3e1-ke2,且 B,D,F 三点共线,求 k 的值. 【解】 (1)证明:由已知得 → → → BD=CD-CB =(2e1-e2)-(e1+3e2) =e1-4e2. → ∵AB=2e1-8e2, → → → →

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