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无锡一中2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题


江苏无锡一中 2012—2013 学年度下学期期中考试

高一数学试题
命题人:薛菁 一.填空题(每小题 5 分) 1. 函数 y ? log2 (3x ? x2 ) 的定义域是___________. 2. 数列 1, 2,3,2, 的一个通项公式为 an ? ____________. - ? 3. 已知直线方程为 3x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则直线的倾斜角为___________. 4. 若 A 为不等式组 ?
?x ? 0 表示的平面区域,则当 ?y ? 0 ?y ? x ? 2 ?

审核人:蒋敏利

a 从 -2 连续变化到 1 时,动直线 x+y=a

扫过 A 中的那部分区域的面积为 . 5. 已知数列 ?an ? 是等差数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? a11 ? 50 ,又 S5 ? 45 ,则 a2 等于 _______. 6. 若等比数列 {an } 满足 an an?1 ? 16n ,则公比为____________. 7. 在 ?ABC 中, ?A ? 60? , AB ? AC ? 10 ,面积 S ? 4 3 ,则 BC =________________. 8. 一家饮料厂生产甲乙两种果汁饮料,甲种饮料每 3 份苹果汁加 1 份橙汁,乙种饮料每 2 份苹果汁加 2 份橙汁,该厂每天能获得的原料是苹果汁 200 升,橙汁 100 升,又厂方的利 润是每生产 1 升甲种饮料得 3 元, 生产 1 升乙种饮料得 4 元, 则该厂能获得的最大利润是 ___________元. 9. 已 知 方 程 x2 ? mx ? 8 x2 ? nx ? 8 ? 0 的 四 个 根 组 成 一 个 首 项 为 1 的 等 比 数 列 , 则 mn=________.

?

??

?

10. 隔河可以看到两个目标 A、B,但不能到达,在岸边选取相距 3 km 的 C、D 两点,并测 得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°。A、B、C、D 在同一个平面内, 则两目标 A、B 间的距离为___________km. 11.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则 an 的最小值为__________.
n

12.已知三个不等式① x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ② x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 ③ 2 x 2 ? 9 x ? m ? 0 要使同时满足① 和②的所有 x 的值都满足③,则实数 m 的取值范围是______________ 13. 三位同学合作学习, 对问题“已知不等式 xy ? ax ? 2 y 对于 x ? [1, 2], y ?[2,3] 恒成立, 求 a 的取值范围”提出了各自的解题思路。甲说:“可视 x 为变量, y 为常量来分析”;乙
2 2

说:“不等式两边同除以 x ,再作分析”;丙说:“把字母 a 单独放在一边,再作分析”。 参考上述三个同学的解题思路,或自己独立探索,可求出实数 a 的取值范围是________. 14. 已 知 : f (x) 是 定 义 在 R 上 的 不 恒 为 零 的 函 数 , 且 对 任 意 a 、 b ? R , 满 足 :
n 二.解答题 15. (本题 13 分)求经过直线 l1 : 3x ? 2 y ?1 ? 0 和 l2 : 5x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点,
?n f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) ,且 f ?2? ? 2, an ? f ?2 ? ,则数列{an}的通项公式 an=_____.

2

(1)且平行于直线 l3 : 3x ? 5 y ? 6 ? 0 的直线 l 的方程; (2)且垂直于直线 l3 : 3x ? 5 y ? 6 ? 0 的直线 l 的方程.

1

16. (本题 15 分)已知数列 ?an ? 为等差数列, ?bn ?为等比数列,并且满足 a1 ? a2 ? 5,

a5 ? a6 ? 29,以及 b7 ? a22 (1)求 a22 的值; (2)设 b8 ? 64m(m ? 0) ,求数列 ?bn ?的子数列 b7 , b8 , b9 , b10 , b11 ,?的前 n 项和 Sn .
(3)在(2)的条件下,若 m ? 2 ,求数列 ? 1 (an ? 2)bn ? 的前 n 项和 Tn ? ? ?3 ? 17 . (本题 15 分)△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b2+c2-a2+bc=0. (1)求角 A 的大小; (2)若 a= 3 ,求 bc 的最大值; a sin( 30 ? ? C ) (3)求 的值. b?c

18. (本题 15 分)如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花园 AMPN , 要求 B 在 AM 上,D 在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知 AB=3 米,AD=2 米, (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 AN 的长应在什么范围内? (2)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求最小面积; (3)若 AN 的长度不少于 6 米,则当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求 出最小面积。

1 19. (本题 16 分)已知点(1, )是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等 3 比数列 {an } 的前 n 项和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足

Sn - S n?1 = S n + S n?1 ( n ? 2 ).
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1 前 n 项和为 T ,问: T > 1000 的最小正整数 n 是多少? } n n 2013 bn bn?1

20. (本题 16 分)已知函数 f ?x? ? 2 , x ? R. a (1)若存在 x ? ?? 1,1? ,使得 f ? x ? ? ? 2 成立,求实数 a 的取值范围; f ?x ?
x

(2)解关于 x 的不等式 f ?2 x ? ? ?a ? 1? f ?x ? ? a ;

2

(3) f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x1 ? f ?x2 ?,f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x3 ? ? f ?x1 ? f ?x2 ? f ?x3 ? , x3 的最 若 求 大值.

3

参考答案
一、填空题 1. ?0,3? 8. 1000 2. an ? ?? 1? 9. -14
n ?1

n
5

3. 150 11.

?

4.

7 4

5. 5

6. 4

7. 2 13 14. an ? ?

10.

21 2

12. m ? 9

13. a ? ?1

1 2n

二、解答题 15. (1) 3x ? 5 y ? 13 ? 0

求出交点 ?- 1,2? 3 分;两个斜率各 2 分,两条直线方程各 3 分。

(2) 5 x ? 3 y ? 1 ? 0

16. 每问 5 分 (1) a22 ? 64

求出 a1和d 得 3 分

(2) S n ? ? 64(1 ? m n )

? ?

64n, m ? 1 , m ? 0且m ? 1
得分 2+2+1

? 1? m ? (3) Tn ? 1 ? ?n ? 1?2n
17. (1)∵ cosA= 又∵ A ? ?0,? ? ∴ A=120° .

化简通项的 1 分,错位相减过程 2 分,结果 2 分

b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc 1 = =- , 2bc 2 2bc

3分 4分 5分 6分 8分 10 分

(2)由 a= 3 ,得 b2+c2=3-bc, 又∵ 2+c2≥2bc(当且仅当 c=b 时取等号) b , ∴ 3-bc≥2bc 即当且仅当 c=b=1 时, bc 取得最大值为 1.
a b c ? ? ? 2R, sin A sin B sin C a sin(30? ? C ) 2R sin A sin(30? ? C ) ∴ ? b?c 2R sin B ? 2R sin C sin A sin(30? ? C ) = sin B ? sin C

(3)由正弦定理得:

11 分

3 1 3 ( cos C ? sin C ) 2 2 2 = sin( 60? ? C ) ? sin C

13 分

3 3 cos C ? sin C ) 4 4 = 3 3 cosC ? sin C 2 2 1 = . 2

15 分 1 分 ∴

18. 解: (1)设 AN ? x 米, ?x ? 2? , 则 ND ? x ? 2 ∵

ND AN ? DC AM

x?2 x ? 3 AM

4

AM ? ∴


3x x?2
∴3x ? 8)(x ? 8) ? 0 (

2分 4分 5分

3x ? x ? 32 3 2 ∴ x ? 32x ? 64 ? 0 x?2 8 2 ∴ ? x? 或x ?8 3

(2)

3x 2 3( x ? 2) 2 ? 12( x ? 2) ? 12 ? x?2 x?2 2 3( x ? 2) ? 12( x ? 2) ? 12 12 ? ? 3( x ? 2) ? ? 12 x?2 x?2 ? 2 36 ? 12 ? 24 此时 x ? 4 S AMPN ?

8分 9分 10 分

12 ? 12 ( x ? 6) x?2 12 ? 12 令 x ? 2 ? t (t ? 4) , f (t ) ? 3t ? t 12 ? 12 在 ?4,??? 上递增 ∵f (t ) ? 3t ? 12 分 t ∴f (t ) min ? f (4) ? 27 此时 x ? 6 14 分 8 答: (1) 2 ? AN ? 或 AN ? 8 (2)当 AN 的长度是 4 米时,矩形 AMPN 的面积最小, 3 最小面积为 24 平方米; (3)当 AN 的长度是 6 米时,矩形 AMPN 的面积最小,最小面积 S (3)∵ AMPN ? 3( x ? 2) ?
为 27 平方米。 19.(1) Q f ?1? ? a ? 15 分

1 , 3

?1? ? f ? x? ? ? ? ? 3?

x

1分

1 a1 ? f ?1? ? c ? ? c , 3 2 2 a2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1? ? c ? ? ? , a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? . ? ? ? ? ? ? ? ? 9 27

4 2 a2 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27 n ?1 n a 1 2?1? ?1? n? N* ; 又公比 q ? 2 ? ,所以 an ? ? ? ? ? ?2 ? ? a1 3 3? 3? ? 3?
Q Sn ? Sn?1 ?

4分

5分

?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?
7分 8分

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn ?1 ? 1; 数列
n

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
5

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

当 n ? 1 b1 ? S1 ? 1 , 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;?bn ? 2n ? 1 ( n ? N );
2 2

9分
*

10 分

(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? (2n ? 1) ? ? 2n ? 1? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7
12 分

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1? 1 ? n ; ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1 n 1000 1000 1000 ? 由 Tn ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 77. 2n ? 1 2013 13 2013 a ?1 ? x 20. (1)令 t ? 2 ? ? ,2? ,即 t ? ? 2 成立 t ?2 ? a ? ?t 2 ? 2t y ? ?t 2 ? 2t 的最小值为 0,当 t ? 2 时取得 ?a ? 0
2x

14 分 16 分 1分 4分 5分

(2) 2

? ?a ? 1?x ? a , x ?t ? 1??t ? a? ? 0 令 t ? 2 ? ?0, ?? 6分 ? a ? t ? 0且t ? 1 ?x ? 0 ① ? ?1 7分 a ? t ? ?a或0 ? t ? 1 ② ? ?1 8分 ? x ? log2 ?? a ?或x ? 0 a t ? ?a或t ? 1 ③ ? ?1 ?t ? 1 ?x ? 0 ⅰa ? 0 9分 ? ? 0 ? t ? ?a或t ? 1 ⅱ 1? a ? 0 10 分 ? x ? log2 ?? a ?或x ? 0
综上,略。 11 分
x x x

(3)令 a ? 2 1 , b ? 2 2 , c ? 2 3 则 a ? b ? ab, a ? b ? c ? abc, (a, b, c ? 0)

ab ? a ? b ? 2 ab ? ab ? 4 a?b ab 1 1 4 c? ? ?1? ?1? ? ab ? 1 ab ? 1 ab ? 1 3 3 4 4 2 x3 ? , x3 的最小值为 log 2 3 3

13 分 15 分 16 分

6


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