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广东省揭阳一中、潮州金山中学2015届高三上学期暑假联考(数学理)


揭阳一中、潮州金山中学 2015 届高三上学期暑假联考 数学(理)试题

一、选择题:(本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是 符合题目要求的.) 1. 若集合 P ? y y ? 0 , P A. ? B. y y ? x , x ? R
2

?

?

Q ? Q ,则集合 Q 不可能是(



?

?

C. y y ? 2 , x ? R
x

?

?

D. y y ? log 2 x, x ? 0 ) 开始

?

?

2.若复数 z 满足 iz ? 2 ,其中 i 为虚数单位,则 z 的虚部为( A. ?2 B. 2 C. ?2i ) D. 2i

1 3.已知 a ? R 且 a ? 0 ,则“ ? 1 ”是 “ a >1”的( a
A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件

输入 x Y ①

x ? 50

N ②

D.既不充分也不必要条件

4.某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费 用为:不超过 50 kg 按 0.53 元/ kg 收费,超过 50 kg 的 部分按 0.85 元/ kg 收费.相应收费系统的流程图如右图所 示,则①处应填( )

输出 y 结束

A. y ? 0.85 x C. y ? 0.53 x
5.在△ABC 中, sin A ? A.3 B.4

B. y ? 50 ? 0.53 ? ( x ? 50) ? 0.85 D. y ? 50 ? 0.53 ? 0.85x
3 , AB ? AC ? 8 ,则△ABC 的面积为( 5
C.6 D. )

12 5

6. 一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长为 1 的等腰直角三角形, 则这个几何体的体积是( )

第 1 页(共 13 页)

A.

1 2

B. 1

C.

3 2

D. 2

7.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为(



A.

1 4

B.

1 5

C.

1 6

D.

1 7

8. 设函数 f ( x) 的定义域为 R , 若存在常数 M ? 0 , 使 | f ( x) |? M | x | 对一切实数 x 均成立, 则称 f ( x) 为 “倍约束函数” .现给出下列函数:① f ( x) ? 2 x ;② f ( x) ? x ? 1 ;③ f ( x) ? sin x ? cos x ;④
2

f ( x) ?

x ; ⑤ f ( x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 奇 函 数 , 且 对 一 切 x1 , x2 均 有 x ? x?3
2

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 | x1 ? x2 | .其中是“倍约束函数”的有(
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个



二、填空题:(本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(9~13 题) 9.不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? 6 的解集是 . .

10.若 (1 ? 2 x)5 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ? a5 x 5 , 则 a3=

11.若等比数列 ?a n ? 的各项均为正数,且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e 5 ,则 ln a1 ? ln a2 ? 12.设 F1 、 F2 分别是椭圆 C :

? ln a20 ?

.

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF1 的中点在 a 2 b2
.

y 轴上,若 ?PF1 F2 ? 30 ,则椭圆的离心率为

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 13.设 x 、 y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 ? x ? 0, y ? 0 ?

z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0 ? 的最大值为 4,则

a ? 2b 的最小值为 ab

.

(二)选做题:(考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分.)

第 2 页(共 13 页)

14. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 已 知 圆 的 极 坐 标 方 程 为 ? ? 2 cos ? , 则 该 圆 的 圆 心 到 直 线

? sin ? ? 2 ? cos ? ? 1 的距离是

.
C A B D

15.(几何证明选讲选做题)如图,已知点 D 在圆 O 直径 AB 的延 长线上,过 D 作圆 O 的切线,切点为 C. 若 CD ? 则圆 O 的面积为 .

3, BD ? 1 ,

O

三、解答题:(本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 16.(本题满分 12 分) 设 a ? (3, ? sin 2 x) , b ? (cos 2 x, 3) , f ( x) ? a ? b (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 的最大值及取最大值时 x 的集合; (Ⅲ)求满足 f (? ) ? ? 3 且 0 ? ? ? ? 的角 ? 的值.

17. (本题满分 12 分) 某市 A, B, C , D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示: 中学 人数

A

B

C
20

D

30

40

10

为了了解参加考试的学生的学习状况,该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生 当中随机抽取 50 名参加问卷调查. (Ⅰ)问 A, B, C , D 四所中学各抽取多少名学生? (Ⅱ)在参加问卷调查的 50 名学生中,从来自 A, C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生,用 ? 表示抽 得 A 中学的学生人数,求 ? 的分布列,数学期望和方差.

第 3 页(共 13 页)

18.(本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中, AB // CD , AB ? AD , AB ? 4, AD ? 2 2, CD ? 2 ,

PA ? 平面 ABCD , PA ? 4 .
(Ⅰ)求证: BD ? 平面 PAC ;

PQ (Ⅱ)设点 Q 为线段 PB 上一点,且直线 QC 与平面 PAC 所成角的正弦值为 3 ,求 的值.
3

PB

19.

第 4 页(共 13 页)

(本题满分 14分) 若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意正整数 n 都有 6 S n ? 1 ? 2an 记 bn ? log 1 an .
2

(Ⅰ)求 a1 , a2 的值; (Ⅱ)求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅲ)令 cn ?

5 n ?1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,证明:对于任意的 n ? N * ,都有 Tn ? . 2 2 64 (n ? 2) (bn ? 1)

20.(本题满分 14 分) 如图,已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ,以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T : ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

( x ? 2) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 TM ? TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程; (Ⅲ)设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点,且直线 MP , NP 分别与 x 轴交于点 R, S , O 为坐标原 点,求证: OR ? OS 为定值.

21. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x)= ln( x ? 1) ?

ax x , (a ? R ) ; g ( x) ? (1 ? k ) ? kx ? 1 , k ? (?1, ??) . x ?1
第 5 页(共 13 页)

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ? [0,1] 时,求函数 g ( x) 的最大值;
n 1 1 ? ln( n ? 1) ? (n ? N * ) ? ? k ? 1 k k ?1 k ?1 n

(Ⅲ)求证:

第 6 页(共 13 页)

理科数学参考答案

(Ⅱ)当 2 x ?

?
6

? 2k? , k ? Z ,即 x ? k? ?

?
12

, k ? Z 时, f ( x) 有最大值 2 3 ,
………9 分

此时,所求 x 的集合为 {x | x ? k? ?

?
12

, k ? Z} .

(Ⅲ)由 f (? ) ? ? 3 得 2 3 cos(2? ? 又 由

0 ?? ??
7? . 12



??

?
4

? 1 ) ? ? 3 得 cos(2? ? ) ? ? …10 分 6 6 2 ? ? ? ? 2? 4? , 故 2? ? ? ? 2? ? ? 2? ? 或 6 6 6 6 3 3
……12 分

?









17. 解: (Ⅰ)由题意知,四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为 100 名, 抽取的样本容量与总体个数的比值为 .

∴ 应从

四所中学抽取的学生人数分别为

. ……… 4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 50 名学生中,来自 A, C 两所中学的学生人数分别为 15,10 . 依题意得, ? 的可能取值为 0,1, 2 , …………5 分

P(? ? 0) ?

2 1 1 2 C10 C15 C10 C15 3 1 7 ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? , , .… 8 分 2 2 2 C25 20 C25 2 C25 20

第 7 页(共 13 页)

∴ ? 的分布列为:

3 20

E? ? 0 ?

3 1 7 6 ? 1? ? 2 ? ? 20 2 20 5 …

10 分

6 3 6 1 6 7 23 …… 12 分 D? ? (0 ? ) 2 ? ? (1 ? ) 2 ? ? (2 ? ) 2 ? ? 5 20 5 2 5 20 50 18. (Ⅰ)证明:因为 AP ? 平面 ABCD , AB ? AD ,所以以 A 为坐标原点,
AB, AD, AP 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐
标系, 则 B (4, 0, 0) ,P (0, 0, 4) ,D (0, 2 2, 0) ,C (2, 2 2, 0) . ???? 2分 所以 BD ? (?4, 2 2, 0) , AC ? (2, 2 2, 0) , AP ? (0, 0, 4) , 所以 BD ? AC ? (?4) ? 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 0 ? 0 ? 0 ,
A C D y z P

BD ? AP ? (?4) ? 0 ? 2 2 ? 0 ? 0 ? 4 ? 0 .
所以 BD ? AC , BD ? AP . 因为 AP 4分

B x

AC ? A , AC ? 平面 PAC , PA ? 平面 PAC ,
???????6 分

所以 BD ? 平面 PAC . (Ⅱ) 解: 设

PQ ,Q ( x, y, z ) , 线 QC 与平面 PAC 所成角为 ? .所以 PQ ? ? PB . 所 ? ?(其中 0 ? ? ? 1 ) PB

? x ? 4? , ? 以 ( x, y, z ? 4) ? ? (4, 0, ?4) .? ? y ? 0, ? z ? ?4? ? 4, ?
即 Q (4? , 0, - 4? + 4) ? CQ ? (4? ? 2, ?2 2, ?4? ? 4) . ?????9 分 由(Ⅰ)知平面 PAC 的一个法向量为 BD ? (?4, 2 2, 0) . 因为 sin ? ? cos ? CQ, BD ? ?

CQ ? BD CQ ? BD



?????12 分



3 ?4(4? ? 2) ? 8 ? . 3 2 6 ? (4? ? 2) 2 ? 8 ? (?4? ? 4) 2

A O

D

7 PQ 7 解得 ? ? ? [0,1] .所以 ? . 12 PB 12
B

C

????14 分

第 8 页(共 13 页)

法 2: (Ⅰ) 依题意: Rt ?BAD ∽ Rt ?ADC , 所以 ?ABD ? ?DAC ,又因为 ?ABD ? ?ADB ? 900 , 所以 ?ADB ? ?DAC ? 900 ,所以 BD ? AC 又因为 PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面ABCD , 所以 BD ? AP 因为 AP …..4 分 …..2 分

AC ? A , AC ? 平面 PAC , PA ? 平面 PAC ,
???6 分

所以 BD ? 平面 PAC .

(Ⅱ)解:设

PQ , Q ( x, y, z ) ,直线 QC 与平面 PAC 所成角为 ? . ? ? ( 0 ? ? ? 1) PB

记 AC 交 BD 于 O ,连结 PO .过 Q 作 QE 平行于 BD ,交 PO 于 E . 连结 CE 、 CQ . 由(Ⅰ)知, BD ? 平面 PAC ,? QE ? 平面 PAC ,

? ?QCE 即为 CQ 与平面 PAC 所成角.? sin ?QCE ?

QE 3 ? CQ 3

①.

??8 分



PQ QE ,则 ? k ( 0 ? k ? 1) ?k. PB BO

在 Rt?ACD 中,? CD ? 2 , AD ? 2 2 ,? AC ? 2 3 . 易证 ?ACD ∽ ?BAO ,?

4 BO AB BO ,即 , ? ? AC AD 2 3 2 2
②.

? BO ?

4 6 4 6 ,? QE ? k 3 3

在 Rt?PAB 中,? PA ? 4 , AB ? 4 ,? PB ? 4 2 ,

? PQ ? 4 2k .
在 Rt?PAC 中,? PA ? 4 , AC ? 2 3 ,? PC ? 2 7 . 根据余弦定理有:

PB 2 ? PC 2 ? BC 2 PQ 2 ? PC 2 ? CQ 2 ? , 2 PB ? PC 2 PQ ? PC
第 9 页(共 13 页)

????12 分



(4 2 ) 2 ? (2 7 ) 2 ? (2 3 ) 2 2? 4 2 ? 2 7
2 2

?

(4 2k ) 2 ? (2 7 ) 2 ? CQ 2 2 ? 2 7 ? 4 2k
③.



解得 CQ ? 32k ? 48k ? 28 将②,③代入①,解得 k ?

7 . 12 1 . 8

???14 分 ????1 分

19 解: (Ⅰ)由 6 S1 ? 1 ? 2a1 ,得 6a1 ? 1 ? 2a1 ,解得 a1 ?

6 S 2 ? 1 ? 2a2 ,得 6 ? a1 ? a2 ? ? 1 ? 2a2 ,解得 a2 ?
(Ⅱ)由 6 S n ? 1 ? 2an ??①,

1 . 32

????3 分

当 n ? 2 时,有 6 S n ?1 ? 1 ? 2an ?1 ??②, ①-②得:

????4 分 ????5分

an 1 ? , an ?1 4

1 1 ? 数列 ?an ? 是首项 a1 ? ,公比 q ? 的等比数列 8 4

????6分

1 ?1? ? an ? a1q n ?1 ? ? ? ? 8 ?4?

n ?1

?1? ?? ? ?2?
2 n ?1

2 n ?1



????7分

?1? ? bn ? log 1 an ? log 1 ? ? 2 2 ?2?

? 2n ? 1 .

????8分

(Ⅲ)证明:由(2)有 cn ?

n ?1 1 ?1 1 ? ? ? 2? . ????10 分 2 2 (n ? 2) (2n) 16 ? n ( n ? 2) 2 ? ?

Tn ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?…? ? ? 2? 12 分 ? 2 2 16 ? 3 2 4 3 5 ( n ? 1) ( n ? 1) n ( n ? 2) 2 ? ?

?
?

1 1 1 1 [1 ? 2 ? ? ] ????13 分 2 16 2 ( n ? 1) ( n ? 2) 2
1 1 5 . (1 ? 2 ) ? 16 2 64
????14 分

20.解: (Ⅰ)依题意,得 a ? 2 , e ?

c 3 2 2 ,? c ? 3 , b ? a ? c ? 1 ; ? a 2
?????3 分

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 4

(Ⅱ)点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x1 ,? y1 ) , 不妨设 y1 ? 0 .

第 10 页(共 13 页)

由于点 M 在椭圆 C 上,所以 y1

2

x ? 1? 1 . 4

2

(*)

?????4 分

由已知 T (?2, 0) ,则 TM ? ( x1 ? 2, y1 ) , TN ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ,

? TM ? TN ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ? ( x1 ? 2) 2 ? y1
2

2

? ( x1 ? 2) 2 ? (1 ?

x1 5 2 5 8 1 ) ? x1 ? 4 x1 ? 3 ? ( x1 ? ) 2 ? .???6 分 4 4 4 5 5

8 1 时, TM ? TN 取得最小值为 ? . 5 5 3 8 3 13 由(*)式, y1 ? ,故 M ( ? , ) ,又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r 2 ? . 5 5 5 25 13 故圆 T 的方程为: ( x ? 2) 2 ? y 2 ? . ???????8 分 25
由于 ? 2 ? x1 ? 2 ,故当 x1 ? ? (Ⅲ) 设 P ( x 0 , y 0 ) ,则直线 MP 的方程为: y ? y 0 ?

y 0 ? y1 ( x ? x0 ) , x0 ? x1
????10 分

令 y ? 0 ,得 x R ?
2 2

x1 y 0 ? x0 y1 x y ? x0 y1 , 同理: x S ? 1 0 , y 0 ? y1 y 0 ? y1
2 2

故 xR ? xS ?

x1 y 0 ? x0 y1 y 0 ? y1
2 2

(**)
2 2
2 2

??????11 分

又点 M 与点 P 在椭圆上,故 x 0 ? 4(1 ? y 0 ) , x1 ? 4(1 ? y1 ) ,?????12 分 代入(**)式,得: x R ? x S ?

4(1 ? y1 ) y 0 ? 4(1 ? y 0 ) y1 y 0 ? y1
2 2

2

2

2

2

?

4( y 0 ? y1 ) y 0 ? y1
2 2

2

2

? 4.

所以 OR ? OS ? x R ? x S ? x R ? x S ? 4 为定值. 21.解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 ( ?1, ??) , f ?( x)= 令 f ?( x)=0 ? x ? a ? 1 , ⅰ)当 a ? 1 ? ?1 ? a ? 0 时: 在区间 (?1, ??) 上, f ?( x)>0 恒成立,故 f ( x) 的增区间为 (?1, ??) ; ⅱ)当 a ? 1 ? ?1 ? a ? 0 时: 在区间 (?1, a ? 1) 上, f ?( x)<0 恒成立,故 f ( x) 的减区间为 (?1, a ? 1) ;

????14 分

1 a( x ? 1) ? ax x ? 1 ? a ? ? , …1 分 2 2 x ?1 ? x ? 1? ? x ? 1?

……2 分

……3 分 ……4 分

在区间 (a ? 1, ??) 上, f ?( x)>0 恒成立,故 f ( x) 的增区间为 (a ? 1, ??) .
第 11 页(共 13 页)

(Ⅱ)ⅰ) k ? 0 时, g ( x) ? 0 ,所以 g ( x) max ? 0 ;

……5 分

ⅱ) k ? 0 时,易知 g ?( x) ? (1 ? k ) x ln(1 ? k ) ? k ,于是: g ?(1) ? (1 ? k )ln(1 ? k ) ? k , g ?(0) ? ln(1 ? k ) ? k , 由(Ⅰ)可知 g ?(1) ? 0 , 下证 g ?(0) ? 0 ,即证明不等式 ln(1 ? x) ? x ? 0 在 x ? (?1, 0) (法一)由上可知:不等式 ln( x ? 1) ?

(0, ??) 上恒成立.

x 在 x ? (?1, 0) (0, ??) 上恒成立,若 x ? (?1, 0) (0, ??) ,则 x ?1

?

1 x x 1 ) ? ln(1 ? ) ? ? 1? (?1, 0) (0, ??) ,故 ln( x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
?

x x ? 1 ? ? x , 即 当 x ? ( ?1, 0) (0, ?? ) 时 , ln( 1 ) ? ? x , 从 而 ln( x ? 1) ? x , 故 当 ? x x ?1 ? ?1 x ?1
x ? ( ?1, 0) (0, ?? ) 时, ln(1 ? x) ? x ? 0 恒成立,即 g ?(0) ? 0 .
(法二)令 G ( x) ? ln(1 ? x) ? x , x ? (?1, ??) ,则 G?( x) ? 表2: ……7 分

1 ?x ,列表 2 如下: ?1 ? 1? x 1? x

x

(?1, 0)

0

(0, ??)

G?( x) G ( x)
由表 2 可知:当 x ? (?1, 0)

?
递减

0
极小值

?
递增

(0, ??) 时, G ( x) ? G (0) ? 0 ,
……7 分

故 ln(1 ? x) ? x ? 0 恒成立,即 g ?(0) ? 0 .

x 由 于 g ?(1) ? 0 , 且 g ?(0) ? 0 , 故 函 数 g ?( x) ? (1 ? k ) ln(1 ? k ) ? k 区 间 (0,1) 内 必 存 在 零

点.
x

……8 分

又当 k ? (0, ??) 时, ln(1 ? k ) ? 0 ,指数函数 y ? (1 ? k ) 为增函数 ? g ?( x) 为增函数, 同理当 k ? (?1, 0) 时, ln(1 ? k ) ? 0 ,指数函数 y ? (1 ? k ) 为减函数 ? g ?( x) 也为增函数,
x

于是,当 k ? (?1, 0)

(0, ??) 时, g ?( x) ? (1 ? k ) x ln(1 ? k ) ? k 必为增函数,

从而函数 g ?( x) 在区间 (0,1) 内必存在唯一零点,不妨记为 x0 ,则 g ?( x0 )=0 , 易知当 x ? (0, x0 ) 时, g ?( x) ? 0 ,此时 g ( x) 单调递减; 当 x ? ( x0 ,1) 时, g ?( x) ? 0 ,此时 g ( x) 单调递增,
第 12 页(共 13 页)

又易知 g (0) ? g (1) ? 0 ,故 g ( x) max ? 0 ;

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