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龙泉中学2013届高三周练理科数学试卷(29)


龙泉中学 2013 届高三周练理科数学试卷(29)

20. (本大题满分 12 分) 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为 直角梯形. (1) 求证:BN 丄平面 C1B1N; (2) 设 M 为 AB 中点,在 BC 边上找一点 P,使 MP//平面 CNB1,并求 的值.

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本大题满分 12 分) 已知Δ ABC 的面积 S 满足 (1) 求θ 的取值范围; (2) 求函数 f (? ) ? 3sin 2 ? ? 2 3 sin ? . cos? ? cos2 ? 的最大值及最小值

3 3 ? S ? ,且 2 2





的夹角为θ

21.(本大题满分 13 分) 已知椭圆 C1:

x2 y2 3 ,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 2 a b 3

2 6.
(1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 设椭圆 C1 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l2 垂直 l1 于点 P,线 18. (本大题满分 12 分) 已知数列{ an },如果数列{ bn }满足 b1 ? a1 ,bn ? an ? an?1 , n ? 2, n ? N * ,则称数列{ bn }是数列{ an }的“生 成数列” (1)若数列{ an }的通项为 an ? n ,写出数列{ an }的“生成数列”{ bn }的通项公式; (2)若数列{ cn }的通项为 cn ? 2n ? b (其中 b 是常数),试问数列{ cn }的“生成数列” { qn }是否是等差数 列,请说明理由; (3)已知数列{ dn }的通项为 dn ? 2n ? n ,求数列{ dn }的“生成数列” { pn }的前 n 项和 Tn ;. 22. (本大题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (3) 设 O 为坐标原点,取 C2 上不同于 O 的点 S,以 OS 为直径作圆与 C2 相交另外一点 R, 求该圆的面积最小时点 S 的坐标.

1 ? ln x x 1 3

(1) 若函数 f ( x ) 区间 (a, a ? )( a ? 0) 上存在极值点,求实数 a 的取 值范围; 19. (本大题满分 12 分) 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费, 太少又难以满足乘客 需求, 为此, 某市公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人, 将他们的候车时间作为样本分成 5 组, 如右表所示(单位:min). (1) 求这 15 名乘客的平均候车时间; (2) 估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (3) 若从右表第三、四组的 6 人中选 2 人作进一步的问卷调查,求抽到 的两人恰好来自不同组的概率. (2) 当 x ? 1 时,不等式 f ( x ) ?

k 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1
2

(3)求证: [(n ? 1)!]2 ? (n ? 1)e n?2? n?1 (n? N * ,e 为自然对数的底数,e = 2.71828??).

龙泉中学 2013 届高三周练理科数学试卷(29)参考答案
2013 年 3 月襄阳市高中调研统一测试高三数学(理科)参考答案及评分标准 一.选择题:ACDBA 二.填空题:11.(Ⅰ ) BCCDD
2 5 5

19.(1)解:

1 (2.5 ? 2 ? 7.5 ? 6 ?12.5 ?4 ?17.5 ?2 ?22.5 ? ?10.5min 1) 15

2分

(Ⅱ 2 10 )

12.

2013 2014

13. 15. 2 2

31 32
16.2

2 14.(Ⅰ 3 ? 2n ? 3 (Ⅱ 9 ? 9 ? ( )n ) ) 3
三.解答题:

???? ???? ???? ???? 17.(1)解:因为 AB ? BC ? 3 , AB 与 BC 的夹角为 ? ???? 所以 | AB | ? | BC | ? cos ? ? 3 ???? ???? 1 ???? 1 ???? 3 S ? | AB | ? | BC | ? sin(? ? ? ) ? | AB | ? | BC | ? sin ? ? ? tan ? 2 2 2 3 3 3 3 3 3 ≤ S ≤ ,所以 ≤ tan ? ≤ ,即 ≤ tan ? ≤ 1 , 又 2 2 2 2 2 3

2分 4分

2?6 8 4分 ? 15 15 8 所以候车时间少于 10 分钟的人数为 60 ? 6分 ? 32 人. 15 (2)解:将第三组乘客编号为 a1,a2,a3,a4,第四组乘客编号为 b1,b2,从 6 人中任选两人有包含以下基本 事件: (a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2), (a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2), (a3,a4),(a3,b1),(a3,b2), (a4,b1),(a4,b2), (b1,b2), 10 分 8 其中两人恰好来自不同组包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 . 12 分 15
(2)解:候车时间少于 10 分钟的概率为 20.方法一(1)证:∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形 ∴BB1C1C 是矩形,AB⊥BC,AB⊥BB1, BC⊥BB1 由三视图中的数据知:AB = BC = 4,BB1 = CC1 = 8,AN = 4 2分 C C1 ∵AB⊥BC,BC⊥BB1,∴BC⊥平面 ANBB1 ∵B1C1∥ BC,∴B1C1⊥平面 ANBB1 因此 B1C1⊥BN 4分 Q 在直角梯形 B1BAN 中,过 N 作 NE∥ 交 BB1 于 E, AB P B E B1 则 B1E = BB1-AN = 4 故△NEB1 是等腰直角三角形,∠B1NE = 45° 又 AB = 4,AN = 4,∴∠ANB = 45° 因此∠BNB1 = 90° ,即 BN⊥B1N 又 B1N ∩B1C1 = B1,∴BN⊥ 平面 C1B1N. 6分 A 8分 M N R

? 又 ? ? [0, ] ,所以 ? ? [ , ] . 6 4 (2)解: f (? ) ? 3sin 2 ? ? 2 3 sin ? ? cos ? ? cos2 ? ? 3 sin 2? ? cos 2? ? 2
? 2sin(2? ?
因为

?

?

6分

?

?
6

≤? ≤

?
4

,所以

?

6 6

)?2 ≤ 2? ?

8分

?
6



?
3



10 分

从而当 ? ?

?
6

时, f (? ) 的最小值为 3,当 ? ?

?
4

时, f (? ) 的最大值为 3 ? 2 .

12 分 2分 4分 6分

18.(1)解:当 n≥2 时,bn = an + an-1 = 2n-1 当 n = 1 时,b1 = a1 = 1 适合上式, ∴bn = 2n-1
n ?1 ?2 ? b (2)解: qn ? ? 4n ? 2b ? 2 n ≥ 2 ? 当 b = 0 时,qn = 4n-2, 由于 qn + 1-qn = 4,所以此时数 列{cn}的“生成数列”{qn}是等差数列 当 b≠0 时,由于 q1 = c1 = 2 + b ,q2 = 6 + 2b ,q3 = 10 + 2b 此时 q2-q1≠q3-q2 所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}不是等差数列. ,

(2)解:过 M 作 MR∥ 1,交 NB1 于 R,则 MR ? BB

8?4 ?6 2
C

z C1

8分 9分

过 P 作 PQ∥ 1,交 CB1 于 Q,则 PQ∥ BB MR, PQ PC PQ a ? ? ? ? PQ ? 2a 设 PC = a,则 BB1 BC 8 4 由 PQ = MR 得:2a = 6,a = 3 此时,PMRQ 是平行四边形,∴PM∥ RQ, ∵RQ?平面 CNB1,MP ? 平面 CNB1, BP 4 ? 3 1 ∴MP∥ 平面 CNB1, ? ? . PC 3 3

B A x

10 分

B1 y

N

12 分

n ?1 ?3 (3)解: pn ? ? n ?1 ?3 ? 2 ? 2n ? 1 n ? 1

当 n > 1 时, Tn ? 3 ? (3 ? 2 ? 3) ? (3 ? 22 ? 5) ? ? ? (3 ? 2n?1 ? 2n ? 1) = 3 ? 3(2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n?1 ) ? (3 ? 5 ? 7 ? ? ? 2n ? 1) ? 3 ? 2n ? n2 ? 4 又 n = 1 时,T1 = 3,适合上式,∴ Tn ? 3 ? 2 ? n ? 4 .
n 2

11 分 12 分

方法二 (1)证:∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形, ∴BA、BC、BB1 两两互相垂直 2分 以 BA、BB1、BC 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 A(4,0,0),N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4),B(0,0,0) 4分 ????? ????? B1 N ? (4, 4, , B1C1 ? (0, , ? 0) 0 4)

???? ????? ∵ BN ? B1 N ? (4, , ? (4, 4, ? 0 , 4 0) ? 0) ???? ????? BN ? B1C1 ? (4, , ? (0, , ? 0 4 0) 0 4) ∴BN⊥ 1N,BN⊥ 1C1,又 B1N ∩B1C1 = B1 B B ∴BN⊥ 平面 C1B1N

所以所求圆的面积的最小时,点 S 的坐标为(16,± 8). 6分
1 ? x ? ?1 ? ln x ? ? 1 ln x ?? 2 , 22.(1)解:函数 f (x)定义域为(0,+∞), f ?( x) ? x 2 x x 由 f ?( x) ? 0 得:x = 1,当 0 < x <1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x > 1 时, f ?( x) ? 0 ,

13 分

8分 ???? ? (2)解:设 P(0,0,a)为 BC 上一点,∵M 为 AB 的中点,∴M(2,0,0),故 MP ? (?2, , ) 0 a 设平面 CNB1 的一个法向量为 n = (x,y,z),则有 ???? ? ???? ? ? 4) ? ( x ,y,z ) ? (?4, 4, ? 0 ??4 x ? 4 y ? 4 z ? 0 ?x ? y ? a ? ? ? ? n ? NC , ? NB1 ,∴ ? n ( x ,y,z ) ? (?4, , ? 0 4 0) ?4 x ? 4 y ? 0 ? ? ?x ? y ∴平面 CNB1 的一个法向量为 n = (1,1,2) 10 分 ???? ? ???? ? 要使 MP∥ 平面 CNB1,只需 n ? MP ,于是 n ? MP ? 0 ,即(-2,0,a)·(1,1,2) = 0 解得:a = 1 BP 1 ∵MP ? 平面 CNB1,∴MP∥平面 CNB1,此时 PB = a = 1,∴ 12 分 ? PC 3 21.(1)解:由 e ? 由题意可知
6 3 b ,得 a2 ? 3c2 ,又 c 2 ? a 2 ? b 2 ,解得 a ? 2 3

∴f (x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 函数 f (x)在 x = 1 处取得唯一的极值 ?a ? 0 2 2 ? 由题意得 ? ? a ? 1 ,故所求实数 a 的取值范围为 ( , 1) 1 ? a ?1? a ? 3 3 ? 3 ? (2)解: 当 x≥1 时,不等式 f ( x) ≥ 令 g ( x) ?

2分 4分



1分 2分 3分 4分

1 ? 2a ? 2b ? 2 6 ,即 ab ? 6 2 由①②得: a ? 3 , ? 2 b



( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ≥1) ,由题意,k≤g (x)在[1,+∞)恒成立 x x[( x ? 1)(1 ? ln x)]? ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ? x ? x ? ln x g ?( x) ? ? x2 x2 1 令 h( x) ? x ? ln x ( x ≥1) ,则 h?( x) ? 1 ? ≥ 0 ,当且仅当 x = 1 时取等号 x 所以 h( x) ? x ? ln x 在[1,+∞)上单调递增,h (x)≥h(1) = 1 > 0
因此 g ?( x ) ?

( x ? 1)(1 ? ln x) k 1 ? ln x k 化为: ,即 k ≤ ≥ x ?1 x x ?1 x
5分 6分

7分

x2 y 2 所以椭圆 C1 的方程是 ? ?1 3 2
(2)解:∵点 M 在线段 PF2 的垂直平分线上,∴| MP | = | MF2 |, 故动点 M 到定直线 l1:x =-1 的距离等于它到定点 F2(1,0)的距离, 因此动点 M 的轨迹 C2 是以 l1 为准线,F2 为焦点的抛物线, 所以点 M 的轨迹 C2 的方程为 y 2 ? 4 x

x ? ln x h ? x ? ? 2 ? 0 ,∴g (x)在[1,+∞)上单调递增, g ( x)min ? g (1) ? 2 x2 x 因此,k≤2,即实数 k 的取值范围为(-∞,2]

8分

6分 7分

???? ??? ? (3)解:因为以 OS 为直径的圆与 C2 相交于点 R,所以∠ ORS = 90° ,即 OR ? SR ? 0 8分 ??? ? ???? 2 设 S(x1,y1) ,R(x2,y2) ,则 y12 ? 4 x1 ,y2 ? 4x2 , SR ? ( x2 ? x1 , 2 ? y1 ) , ? ( x2 , 2 ) y OR y ???? ??? ? 所以 OR ? SR ? x2 ( x2 ? x1 ) ? y2 ( y2 ? y1 ) ? 0

2 2 y2 ( y2 ? y12 ) ? y2 ( y2 ? y1 ) ? 0 16

∵y1≠y2,y2≠0,∴ y1 ? ?( y2 ?
2 故 y12 ? y2 ?

16 ) y2

10 分

2 恒成立, x ?1 1 ? ln x 2 2 2 即 ,整理得: ln x ≥1 ? ≥ ?1? x x ?1 x ?1 x 2 1 1 ? 1 ? 2( ? ) 令 x = k(k + 1),k∈ *,则有 ln[ k ( k ? 1)] ? 1 ? N k (k ? 1) k k ?1 分别令 k = 1,2,3,…,n,则有 1 1 1 1 1 ln(1 ? 2) ? 1 ? 2(1 ? ), ? 3) ? 1 ? 2( ? ) ,…, ln[n(n ? 1)] ? 1 ? 2( ? ln(2 ) 2 2 3 n n ?1 将这 n 个不等式左右两边分别相加,得 1 2 ln[1 ? 22 ? 32 ? ? ? n2 (n ? 1)] ? n ? 2(1 ? )?n?2? n ?1 n ?1
(3) 由(2)知,当 x≥1 时,不等式 f ( x) ≥ 故 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n (n ? 1) ? e
2 2 2 2 n ? 2? 2 n ?1

10 分

12 分

256 256 2 ? 32 ≥ 2 y2 ? 2 ? 32 ? 64 , 2 y2 y2
256 ,即 y2 ? ?4 时等号成立 2 y2

,从而 [(n ? 1)!] ? (n ? 1)e
2

n ? 2?

2 n ?1

14 分

2 当且仅当 y2 ?

12 分
y14 ? 16 y12 ? 1 ( y12 ? 8)2 ? 64 4

圆的直径 | OS |? x12 ? y12 ?

y14 1 ? y12 ? 16 4

因为 y12 ≥ 64 ,所以当 y12 = 64 ,即 y1 ? ?8 时, | OS |min ? 8 5


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