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贵州省黔东南州2012届高三第一次模拟考试 文科数学试题(2012黔东南一模)


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2012 年月日 15∶00—17∶00

2012 年黔东南州普通高等学校招生第一次适应性考试

文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ3 至 4 页。

第Ⅰ卷
(本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
注意事项
1.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮檫檫干净后, 再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上。 2.答题前认真阅读答题卡上的“注意事项” 。 参考公式: 如果事件 A 、 B 互斥,那么 如果事件 A 、 B 相互独立,那么
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P (B )
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P (B )

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率为 k k n?k Pn ( k ) ? C n p (1 ? p ) ( k ? 0 , 1 , 2 ,? , n ) 球的表面积公式: S ? 4 ? R 2 ( R 为球的半径) 球的体积公式: V ?
4 3

?R

3

( R 为球的半径)

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.在集合 A ? {( x , y ) | x ? 0 , y ? 0 , x ? y ? 4 } 中, x ? 2 y 的最大值是
A .5 B .6
2

C .7

D .8 .

2.已知 f ( x ) ? x ? log
A . 11

x ,则 f ( 2 ) ? f ( 4 ) ?
C .9

B . 10

D .8 .

3. 4 和 9 的等比中项是
A.
13 2

B .? 6

C .6

D .?

6 .

4.在正方体 ABCD ? A 1 B 1 C 1 D 1 中,二面角 D 1 ? AC ? D 的正切值为
A .1 B .2
3 2

C .

2 2

D .
/

2 .
/ /

5.函数 f ( x ) ? x ? mx

? 2 x ? 5 的导数为 f ( x ) , f ( 2 ) ? f ( ? 2 ) ?

A . 28 ? 4 m

B . 38 ? 4 m
2

C . 28

D . 38 .

6.已知向量 a = ( 3 , ? 2 ) ,b = ( x ? 1, 2 ? x ) ,则条件“ x ? 2 ”是条件“a // b”成立的
A .充分不必要条件 B .必要不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件.

7.函数 f ( x ) ? 2 sin( ? x ? ? )( ? ? 0 ) 的图象经过 A ( ?
A .最大值为 3
2 2

?
12

,? 2 ) 、 B (

?
4

, 2 ) 两点,则 ? 的

B .最小值为 3

C .最大值为 6

D .最小值为 6 .

8.圆 C : x ? y ? 8 上的点到直线 y ? x ? 5 的距离为 d ,则 d 的取值范围是
A .(
1 9 , ) 2 2

B .[

1 9 , ] 2 2

C .(

2 2

,

9 2

2

)

D .[

2 2

,

9 2

2

].

9.春节期间,某单位要安排 3 位行政领导从初一至初六值班,每天安排 1 人,每人值班两天, 则共有多少种安排方案?
A . 90 B . 120
C . 150

D . 15 .

10.正三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 3 , AB ? 2 ,则 PA 与平面 PBC 所成角的余弦值为
A.

2 3 9

B .

6 12

C .

7 12

2

D .

2 4



11. f ( x ) ? | x ? 2 | ? x ? 1 ,若 f ( x ) ? m 对任意实数 x 恒成立,则实数 m 的取值范围是
A . ( ?? , 3 ] B . [ 3 , ?? )
2 2

C . ( ?? , 2 ]

D . [ 2 , ?? ) .

12. F 1 、 F 2 是椭圆 C :
? F1 PF 2 ?
A.

x

?

y

4

3

? 1 的左右焦点, P 点在 C 上,且 PF 1

?

PF

2

?

9 4

,则

?
3

B .

?
4

C . arcsin

3 5

D . arccos

3 5



2012 年黔东南州普通高等学校招生第一次适应性考试

文科数学
第Ⅱ卷
(本卷共 10 小题,共 90 分)
注意事项
1.考生不能将答案直接答在试卷上,必须答在答题卡上。 2.答题前认真阅读答题卡上的“注意事项“。

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题卡中横线上. 13. ( x ?
2 x
2

) 展开式中第三项为

6

. .
?

14. 等差数列 { a n } 中, a n ? 0 ,且 ( a 1 ? a 5 )( a 2 ? a 4 ) ? 36 ,则 a 3 ? 15. ? ABC 中,AC ? 3 ,BC ? 4 ,AB ? 5 ,O 是其外接圆的圆心, OA 则
OC ?



16.在一个球的球面上有 P 、 A 、 B 、 C 、 D 五个点,且 P ? ABCD 是所有棱长均为 2 的 正四棱锥,则这个球的表面积为 . 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 在 ? ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边依次为 a 、 b 、 c ,且 A ? (Ⅰ)求
b c ? c b ? a
2

?
3



的值;

bc

2 2 2 (Ⅱ)当 ? ABC 的面积为 4 3 ,且 a ? b ? c ? 48 时,求 a .

18. (本小题满分 12 分) 某项试验在甲、乙两地各自独立地试验两次,已知在甲、乙两地每次试验成功的概率依 次为
2 3



3 4

;不成功的概率依次为

1 3



1 4



(Ⅰ)求以上的四次试验中,至少有一次试验成功的概率; (Ⅱ)在以上的四次试验中,求恰有两次试验成功的概率.

P

D
19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,
PA ? AB ? BC ? 2 , ? DAC ? ? ABC ? 90 , AD ?
0

A

2 .

(Ⅰ)证明: AD ? PC ; (Ⅱ)求 PD 与平面 PBC 所成角的大小. 20.(本小题满分 12 分)
n n

B

C

数列 { a n } 中, a 1 ? 1 , a n ? 1 ? 3 a n ? 2 , b n ? a n ? 2 ( n ? N *) . (Ⅰ)证明:数列 { b n } 是等比数列,并求 a n ;

(Ⅱ)求数列 {

an bn

} 的前 n 项和 S n .

21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? mx
3 2

? nx ? m ? 1 ,当 x ? ? 1 时取得极值,且函数 y ? f ( x ) 在点

(1, f (1)) 处的切线的斜率为 4 .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)O 是坐标原点, A 点是 x 轴上横坐标为 2 的点,B 点是曲线 y ? f ( x )( 0 ? x ? 上但不在 x 轴上的动点,求 ? AOB 面积的最大值.
4 5 )

22.(本小题满分 12 分) 已知双曲线 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的右焦点为 F 2 , F 2 在 C 的两条渐近线上的

射影分别为 P 、 Q , O 是坐标原点,且四边形 OPF 2 Q 是边长为 2 的正方形. (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)过 F 2 的直线 l 交 C 于 A 、B 两点,线段 AB 的中点为 M ,问 | MA |? | MB |? | MO | 是否能成立?若成立,求直线 l 的方程;若不成立,请说明理由.

文科数学参考答案
题号 答案 1 D 2 C 14. 3 ; 3 B 15.
7 4

4 D ;

5 C

6 A

7 B

8 D

9 A

10 C

11 A

12 D

13. 60 ;

16. 8 ? .

注:文科选择题及填空题与理科相同或相似,可参考理科相应解答的提示 17.解: (Ⅰ)余弦定理得 cos A ?
? b c ? c b ? a
2

b

2

?c

2

?a

2

?

1 2

???2 分

2 bc

?

b

2

?c

2

?a

2

? 1 ???5 分

bc

bc

(Ⅱ)由(1)知 b 2 ? c 2 ? a 2 ? ac 又由 ? ABC 面积为 3 ? 故 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 16 ①
1 2 bc sin A ? 4 3 ? bc ? 16

???6 分 ???8 分

又a

2

?b

2

?c

2

? 48 ②
2

由①、②两式得 a

???10 分 ? 16 ,又 a ? 0 ? a ? 4 18.解(Ⅰ)设至少有一次试验成功的概率为 p 1 ,依题意得
p 1 ? 1 ? (1 ? 2 3 3 ) (1 ?
2

3 4

)

2

?

143 144

??6 分

(Ⅱ) 设恰有两次试验成功的概率 p 2 ,依题意得
p2 ? C2
1

1 3

?

2 3

C2

1

1 4

?

2 2 1 2 1 2 3 2 37 ?( ) ?( ) ?( ) ( ) ? 4 3 4 3 4 144

??12 分

P

z

19.证明: (Ⅰ)由 PA ? 平面 ABCD 知 AC 为 PC 在平面 ABCD 的射影, 由 ? DAC ? 90 0 知, AD ? AC 故 AD ? PC (三垂线定理) ???5 分 解:(Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系 A ? xyz ???6 分 由已知可得 PD
? ( ? 1,1, ? 2 )

D A
y

? 设平面 PBC 的法向量为 n ,由 ? n ? BC 1

? n ? ? ? n ? PB ? 0 ?

? 0

???10 分 (1, 0 ,1 ) ???11 分

则 cos

? n , PD ??

PD ? n | PD || n |

? ?

3 2

Bx

C

则 PD 与平面 PBC 所成的角为 20.解: (Ⅰ)
b n ?1 bn ?

?
3


n ?1 n

???12 分
? 3a n ? 2
n

a n ?1 ? 2 an ? 2

?2
n

m ?1

an ? 2

?

3( a n ? 2 )
n

an ? 2

n

? 3 ???3 分

又 b 1 ? 3 ,知 { b n } 是以 3 为首项、3 为公比的等比数列
? b n ? 3 ,即 a n ? 2
n n

???4 分

? 3

n

? an ? 3

n

? 2 ( n ? N *) .
n

???6 分
n

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

an bn

?

3

?2 3
n

n

2 n ? 1? ( ) 3

???8 分

2

故S

n

?

a1 b1

?

a2 b2

? ??? ?

an bn

? n?

3

2 n [1 ? ( ) ] 3 2 1? 3

???10 分

2 n ? n ? 2?( ) ? 2 . 3

???12 分

21.解: (Ⅰ)由已知得 f / ( x ) ? 3 x 2 ? 2 mx ? n 由已知得 ?
?3 ? 2m ? n ? 0 ? m ?1 . ? ? ?3 ? 2 m ? n ? 4 ?n ? ?1

???1 分

故 f (x) ? x 3 ? x 2 ? x (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f / ( x ) ? 3 x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1)( 3 x ? 1) 知 f ( x ) 在 ( 0 , ) 上为减函数,在 ( , ) 上为增函数
3 3 5 1 1 4

???5 分

???7 分
4

要使 ? OAB 的面积最大,由 O 、 A 两点在 x 轴上且 | OA |? 2 知,只需在 ( 0 , ] 上, | f ( x B ) | 的值最大,
5

由 f ( x ) 在区间 ( 0 , ] 上的单调性知,只有当 x ?
5

4

1 3

或x ?

4 5

时, | f ( x B ) | 的值最大???9 分 ???10 分 ???12 分

而 | f ( ) |?
3

5 4 44 ? | f ( ) |? 27 5 125 4 1 44 44 故当 x ? 时, ? OAB 的面积最大,且最大值为 ? 2 ? ? 5 2 125 125

1

22.解: (Ⅰ)依题意知 C 的两条渐近线相互垂直,且 F 2 到其中一条渐近线的距离为 2 ,
b ?b ? (? ) ? ?1 ? ?a ? 2 ?a a ? ? ? ? bc ?b ? 2 ? 2 ? ? a2 ?b2 ?

故双曲线 C 的方程为

x

2

?

y

2

? 1.

???5 分 ???7 分 ???8 分

4

4

(Ⅱ)这样的直线不存在,证明如下: 当直线 l 的斜率不存在时,结论不成立 由 | MA |? | MB |? | MO | 知 OA ? OB
? y ? k(x ? 2 2 ) 2 2 ? (1 ? k ) x ? 4 ? 2 2 ? x ? y ? 4
2 ? 4 2k ? x1 ? x 2 ? 2 则? k ?1 ? 2 ? x x ? 8k ? 4 2 ? 1 2 k ?1 ?

当直线 l 斜率存在时,设其方程为 y ? k ( x ? 2 2 ) ,并设 A ( x 1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ???9 分
2k x ? 8k
2 2

? 4 ? 0(k

2

? 1 ? 0)

???10 分

故 OA
? (k

? OB ? ( x 1 , y 1 )( x 2 , y 2 ) ? ( k
2

2

? 1) x 1 x 2 ? 2 2 k ( x 1 ? x 2 ) ? 8 k
2

2

? 0 ???11 分

? 1)( 8 k k
2

2

? 4)

?1

?

16 k k
2

4

?1

? 8k

2

? 0 ? k

2

? ? 1 这不可能

综上可知,不存在这样的直线.

???12 分


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