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2011年四川省 高考数学 理科 试卷


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数 学(理工类)
本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。第一部分 1 至 2 页,第二部分 3 至 4 页,共 4 页.考生作 答时,须将答案答在答题卡上及试题卷,草稿纸上答题无效,满分 150 分,考试时间 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公 式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式 P(A+B) =P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 在 n 次独立重复试验中事 件 A 恰好发生 k 次的概率
Pn ( k ) ? C n p (1 ? p )
k k n?k

(11 四川理 5)函数, f ( x ) 在点 x ? x 0 处有定义是 f ( x ) 在点 x ? x 0 处连续的 (A)充分而不必要的条件 不必要的条件 (B)必要而不充分的条件
2 2 2

(C)充要条件

(D)既不充分也

(11 四川理 6)在 ? ABC 中. sin ? sin B ? sin C ? sin B sin C .则 A 的取值范围是 (A)(0,

?
6

]

(B)[

?
6

, ? ) (c)(0,

?
3

]

(D) [

?
3

,? )

s ? 4? R 其中 R 表示球的半 径 球的体积公式 4 2 v? ?R 3 其中 R 表示球的半径
2

1 x (11 四川理 7)已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? ( ) ? 1 ,则 f ( x ) 的反 2 函数的图像大致是

( k ? 0,1, 2,...n )

第一部分(选择题

共 60 分)

注意事项: 1.选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。 2.本部分共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 ,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (11 四川理 1)有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 1l [31.5,35.5) 12 [35.5.39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计,数据落在[31.5,43.5)的概率约是 1 1 1 2 (A) (B) (C) (D) 6 3 2 3 1 (11 四川理 2)复数 ? i ? = i 1 (A) ? 2i (B) i (C)0 (D) 2i 2 (11 四川理 3) l1 , l 2 , l 3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 (A) l1 ? l 2 , l 2 ? l3 ? l1 ? l3 (B) l1 ? l 2 , l 2 ? l3 ? l1 ? l3 [来源:Zxxk.Com] (C) l 2 ? l3 ? l3 ? l1 , l 2 , l 3 共面

(11 四川理 8)数列 ? a n ? 的首项为 3 , ? b n ? 为等差数列且 bn ? a n ?1 ? a n ( n ? N *) .若则
b3 ? ? 2 , b10 ? 12 ,则 a 8 ?

(A)0 (B)3 (C)8 (D)11 (11 四川理 9)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车.某天需运往 A 地至 少 72 吨的货 物,派用的每辆车虚满载且只 运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡 车虚配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数,可 得最大利润 (A)4650 元 (B)4700 元 (C)4900 元 (D)5000 元 2 (11 四川理 10)在抛物线 y ? x ? ax ? 5( a ? 0) 上取横坐标为 x1 ? ? 4 , x2 ? 2 的两点,过这两 点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5 x 2 ? 5 y 2 ? 36 相切,则抛 物线顶点的坐标为 (A) ( ? 2, ? 9) (B) (0, ? 5) (C) (2, ? 9) (D) (1, ? 6) (11 四川理 11)已知定义在 ? 0, ?? ? 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? 3 f ( x ? 2) ,当 x ? ? 0,2
2

? 时,

f ( x ) ? ? x ? 2 x .设 f ( x ) 在 ? 2 n ? 2, 2 n ? 上的最大值为 a n ( n ? N *) ,且 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,则 lim S n ?
n? ?

(A)3

(B )

5 2

(C)2

(D)

3 2

(D) l1 , l 2 , l 3 共点 ? l1 , l 2 , l 3 共面

(11 四川理 12)在集合 ?1, 2, 3, 4, 5? 中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向 量 ? ? ( a , b ) .从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有 作成的平行四边形的个数为 n ,其中面积不超过 4 的平行四边形的个数为 m ,则 ...
m n ?

??? ??? ??? ? ? ? (11 四川理 4)如图,正六边形 ABCDEF 中, BA ? CD ? EF = ??? ? ???? ??? ? (A) 0 (B) BE (C) AD (D) CF

(A)

4

(B)

1

15 3 5 3 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

( C)

2

(D)

2

(11 四川理 13)计算 (lg (11 四川理 14)双曲线 准线的距离是
x

1 4
2

? lg 25) ?100 ? y
2

?

1 2

=

.

64 .

36

=1上 一 点 P 到 双 曲 线 右 焦 点 的 距 离 是 4, 那 么 点 P 到左

(11 四川理 18)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点 的收费标准是每车每次租不超过两小时免费,超过两小时的收费标准为 2 元(不足 1 小时的 部分按 1 小时计算) 。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时 1 1 1 1 还车的概率分别为 , ;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 , ;两人租车时 4 2 2 4 间都不会超过四小时。 (Ⅰ)求出甲、乙所付租车费用相同的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期望 E ? ;

(11 四川理 15) 如图, 半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大 是,求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 . (11 四川理 16) 函数 f ( x ) 的定义域为 A , x1 , x 2 ? A 且 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 时总有 若
x1 ? x 2 ,则称 f ( x ) 为单函数,例如,函数 f ( x ) ? 2 x ? 1( x ? R ) 是单函数.下列

命题: ① 函数 f ( x ) ? x 2 ( x ? R ) 是单函数; ② 若 f ( x ) 为单函数, x1 , x 2 ? A 且 x1 ? x 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ; ③ 若 f :A ? B 为单函数,则对于任意 b ? B ,它至多有一个原象; ④ 函数 f ( x ) 在某区间上具有单调性,则 f ( x ) 一定是单函数. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号) 三、解答题 7 3 (11 四川理 17)已知函数 f ( x ) ? sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ), x ? R 4 4 (1)求 f ( x ) 的最小正周期和最小值; (2)已知 cos( ? ? a ) ?
4 5 , cos( ? ? ? ) ? ? 4 5 , (0 ? ? ? ? ?

(11 四川理 19)(本小题共 l2 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中. ? BAC ? 90 ? , AB ? AC ? AA1 ? 1 . D 是棱 CC1 上 的一点, P 是 AD 的延长线与 A1C1 的延长线的交点,且 PB1 // 平 面 BDA . (I)求证: CD ? C1 D ; (II)求二面角 A ? A1 D ? B 的平面角的余弦值;
2

?
2

) ,求证: [ f ( ? )] ? 2 ? 0

(Ⅲ)求点 C 到平面 B1 DP 的距离.

(11 四川理 20)(本小题共 12 分) 1 1 2 2 n ?1 n ?1 n n * ? nC n d ]( n ? N ) 设 d 为非零实数, a n ? ( C n d ? 2 C n d ? ? ? ( n ? 1) C n d n (1)写出 a1 , a 2 , a3 并判断 { a n } 是否为等比数列。若是,给出证明;若不是,说明理由; (II)设 bn ? nda n ( n ? N ) ,求数列 {b n } 的前 n 项和 S n .
*

(11 四川理 22)(本小题共 l4 分) 2 1 已知 函数 f ( x ) ? x ? , h ( x ) ? x 3 2 (I)设函数 F ( x ) ? f ( x ) ? h ( x ) ,求 F ( x ) 的单调区间与极值; (Ⅱ)设 a ? R ,解关于 x 的方程 log 4 [
100

3 2

f ( x ? 1) ?
1 6

3 4

] ? log 2 h ( a ? x ) ? log 2 (4 ? x )

(Ⅲ)试比较 f (100) h (100) ? ? h ( k ) 与
k ?1

的大小.

(11 四川理 21)(本小题共 l2 分)[来源:学,科,网 Z,X,X,K] 椭圆有两顶点 A(-1,0)、B(1 ,0),过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点, 并与 x 轴交于点 P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. 3 2 时,求直线 l 的方程; (I)当| CD | = 2 ??? ???? ? (II)当点 P 异于 A、B 两点时,求证: O P ? O Q 为定值。


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