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北京市朝阳区2014届高三第一次综合练习 数学文试题 Word版含答案


北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试(文史类)
2014.3 (考试时间 120 分钟 满分 150 分)

本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. (1)已知集合 A ? {x ? N | 0 ? x ? 3} , B ? {x | 2x?1 ? 1} ,则 A ? B ? (A) ? (B) ?1? (C) ?2? (D) ?1, 2?

(2)已知 i 为虚数单位,复数 (A) ? 1 ? i

2i 的值是 1? i
(C) ? 1 ? i (D)1 ? i

(B) 1 ? i

? x ? y ≤ 3, ? (3)若 x, y 满足约束条件 ? y ≤ x ? 1, 则函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 ? x ? 3 y ≥ 3, ?
(A) ?1 (B) 0 (C) 3 (D) 6 (4)在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次.设命题 p 是“甲落地站稳”, q 是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为 (A) p ? q (B) p ? ? ?q ? (C) ? ?p ? ? ? ?q ? (D) ? ?p ? ? ? ?q ? 开始 (5)执行如右图所示的程序框图,则输出 S 的值是 ( ) S=1,i=1 S=S+i i=i+2


(A)10 (B)17 (C)26 (D)28

i >7? 是

输出 S 结束

(6)函数 f ( x) ?
y
π

sin x 的图象大致为 x2 ? 1
y
y o
π 2

y
π 2



o

x



o

π

x

-

π 2

x

-

o

π 2

x

(A)

(B)

(C)
?

(D)

(7)已知 AB 和 AC 是平面内两个单位向量,它们的夹角为 60 ,则 2 AB ? AC 与 CA 的 夹角是 (A) 30
?

??? ?

??? ?

??? ? ????

??? ?

(B) 60

?

(C) 90

?

(D) 120

?

? ( 8 )如图,梯形 ABCD 中, AD ? BC , AD ? AB ? 1 , AD ? AB , ?BCD ? 45 , 将

?ABD 沿对角线 BD 折起.设折起后点 A 的位置为 A? ,并且平面 A?BD ? 平面 BCD .给出
下面四个命题: ① A?D ? BC ; ②三棱锥 A? ? BCD 的体积为 ③ CD ? 平面 A?BD ;

A

D

2 ; 2

B
其中正确命题的序号是 (A)①②

C

④平面 A?BC ? 平面 A?DC .

(B)③④

(C)①③

(D)②④

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上.

(9)抛物线 y 2 ? 8x 的准线方程是

.

(10)在一次选秀比赛中,五位评委为一位表演者打分,若去掉一个最低分后平均分为 90 分,去掉一个最高分后平均分为 86 分.那么最高分比最低分高 分. (11) 在 ?ABC 中, 已知 b ? 4 , c ? 2 , ?A ? 60 , 则a ? a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边.
?



?C ?

.

(12)一个空间几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 ;表面积为 .

1 1 正视图 1 侧视图

俯视图

(13)已知直线 y ? x ? m 与曲线 x2 ? y 2 ? 4 交于不同的两点 A, B ,若 | AB |≥ 2 3 ,则实 数 m 的取值范围是 . (14)将 1,2,3,…,9 这 9 个正整数分别写在三张卡片上,要求每一张卡片上的任意两 数之差都不在这张卡片上.现在第一张卡片上已经写有 1 和 5,第二张卡片上写有 2,第 三张卡片上写有 3, 则 6 应该写在第 张卡片上; 第三张卡片上的所有数组成的集合是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 3cos2 x . (Ⅰ)求 f (0) 的值及函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)求函数 f ?x ? 在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. 2 (16) (本小题满分 13 分) 某单位从一所学校招收某类特殊人才.对 20 位已经选拔入围的学生进行运动协调能力 和逻辑思维能力的测试,其测试结果如下表:
逻辑思维 运动 协调能力 能力

? π? ? ?

一般

良好

优秀

一般 良好 优秀

2 4 1

2

1 1

b
3

a

例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是 4 人. 由于部分数据丢失, 只 知道从这 20 位参加测试的学生中随机抽取一位,抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为

1 . 5
(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ) 从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取 2 位, 求其中至少有一位逻辑思维能力优秀 的学生的概率. (17) (本题满分 14 分) 在四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 为菱形,O 为 AC 1 1 与 B1D1 交点,已知 AA 1 ? AB ? 1 , ?BAD ? 60 .
?

(Ⅰ)求证: A1C1 ? 平面 B1BDD1 ; (Ⅱ)求证: AO ∥平面 BC 1 D ; ( Ⅲ ) 设 点 M 在 ?BC1D 内 ( 含 边 界 ) , 且 A1

D1 O B1

C1

OM ? B1D1 , 说明满足条件的点 M 的轨
迹,并求 OM 的最小值. A

D B

C

(18) (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? ax ? 1 , a ? R ,记 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在 x ? e 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 F ( x) 的单调区间; (Ⅲ)当 a ? 0 时,若函数 F ( x) 没有零点,求 a 的取值范围.

(19) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 (1, ) ,一个焦点为 ( 3,0) . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) 与 x 轴交于点 P ,与椭圆 C 交于 A, B 两点,线段 AB 的 垂直平分线与 x 轴交于点 Q ,求

| AB | 的取值范围. | PQ |

(20) (本小题满分 13 分) 已知 {an } 是公差不等于 0 的等差数列, {bn } 是等比数列 (n ? N? ) ,且 a1 ? b1 ? 0 . (Ⅰ)若 a3 ? b3 ,比较 a2 与 b2 的大小关系; (Ⅱ)若 a2 ? b2 , a4 ? b4 . (ⅰ)判断 b10 是否为数列 {an } 中的某一项,并请说明理由; (ⅱ)若 bm 是数列 {an } 中的某一项,写出正整数 m 的集合(不必说明理由).

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试答案(文史类)
2014.3 一、选择题 题号 答案 二、填空题 题号 答案 9 10 16 11 12 13 14 二; ?3,4,9? 1 C 2 C 3 D 4 D 5 B 6 A 7 C 8 B

x ? ?2

2 3 ; 30?

1 ;3? 2 2

? ? 2, 2 ? ? ?

三、解答题 15. 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 所以, f (0) ? ? 3 .

π 3

π π π ? 2kπ ≤ 2 x ? ≤ ? 2kπ , k ? Z , 2 3 2 π 5π ? kπ ≤ x ≤ ? kπ , k ? Z 得? 12 12
由? 所以 f ( x) 的单调递增区间是 ? kπ ? (Ⅱ)因为 0 ≤ x ≤ 所以 ?

? ?

π 5π ? , kπ ? ? , k ? Z . 12 12 ?

……………………8 分

π , 2

π π 2π ≤ 2x ? ≤ 3 3 3 . π π 所以,当 2 x ? ? ? ,即 x ? 0 时, f ( x ) 取得最小值 ? 3 ; 3 3 π π 5π 当 2x ? ? 即 x ? 时, f ( x ) 取得最大值 2 . ……………………13 分 3 2 12
16. 解: (I)由题意可知,逻辑思维能力优秀的学生共有 (2 ? a) 人. 设事件 A :从 20 位学生中随机抽取一位,逻辑思维能力优秀的学生, 则 P ( A) ?

2?a 1 ? . 20 5

解得 a ? 2 . 所以 b ? 4 . ……………………………………………………5 分

(Ⅱ)由题意可知,运动协调能力为优秀的学生共有 6 位,分别记为

其中 M 5 和 M 6 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生. M1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , M 6 . 从中任意抽取 2 位,可表示为 M1M 2 , M1M 3 , M1M 4 , M1M 5 , M1M 6 , M 2 M 3 , M 2 M 4 ,

M 2 M 5 , M 2 M 6 , M 3M 4 , M 3M 5 , M 3M 6 , M 4 M5 , M 4 M 6 , M5M 6 ,共15 种可能.
设事件 B :从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取 2 位,其中至少有一位逻辑思维能力 优秀的学生. 事件 B 包括 M1M 5 , M1M 6 , M 2 M 5 , M 2 M 6 , M 3 M 5 , M 3 M 6 , M 4 M5 , M 4 M 6 , M5 M 6 ,共 9 种 可能.所以 P ( B ) ?

9 3 ? . 15 5

所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为

3 . ……………………………13 分 5

17. 解: (Ⅰ)依题意, 因为四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? 底面 ABCD , 所以 BB1 ? 底面 A1B1C1D1 . 又 A1C1 ? 底面 A1B1C1D1 , 所以 BB1 ? AC 1 1. 因为 A1B1C1D1 为菱形, 所以 AC 1 1 ?B 1D 1 .而 BB 1?B 1D 1 ?B 1, 所以 A1C1 ? 平面 B1BDD1 . ………………4 分 (Ⅱ)连接 AC ,交 BD 于点 E ,连接 C1E . 依题意, AA1 ∥ CC1 , 且 AA1 ? CC1 , AA1 ? AC , 所以 A 1 ACC1 为矩形. 所以 OC1 ∥ AE . A D E B A1 D1 O B1 M C C1

1 1 A1C1 , AE ? AC , AC 1 1 ? AC , 2 2 所以 OC1 = AE ,所以 AOC1E 为平行四边形, 则 AO ∥ C1E .
又 OC1 ? 又 AO ? 平面 BC1D , C1E ? 平面 BC1D , 所以 AO ∥平面 BC 1 D . ……………………………………………………………9 分 (Ⅲ)在 ?BC1D 内,满足 OM ? B1D1 的点 M 的轨迹是线段 C1E ,包括端点. 分析如下:连接 OE ,则 BD ? OE . 由于 BD ∥ B1D1 ,故欲使 OM ? B1D1 ,只需 OM ? BD ,从而需 ME ? BD . 又在 ?BC1D 中, C1D ? C1B ,又 E 为 BD 中点,所以 BD ? C1E . 故 M 点一定在线段 C1E 上. 当 OM ? C1E 时, OM 取最小值. 在直角三角形 OC1E 中, OE ? 1 , OC1 ?

3 7 , C1 E ? , 2 2

OC1 ? OE 21 . …………………………………………………………………14 分 ? C1E 7 1 1 18.解:(I) f ?( x) ? ,则函数 f ( x ) 在 x ? e 处的切线的斜率为 k ? . x e 又 f (e) ? 1 , 1 1 所以函数 f ( x ) 在 x ? e 处的切线方程为 y ? 1 ? ( x ? e) ,即 y ? x ………………4 分 e e 1 1 ? ax (Ⅱ) F ( x) ? ln x ? ax ? 1 , F ?( x) ? ? a ? , ( x ? 0 ). x x
所以 OM min ? ①当 a ≤ 0 时, F ?( x) ? 0 , F ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增; ②当 a ? 0 时,令 F ?( x) ? 0 ,解得 x ?

1 1 ;令 F ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . a a

综上所述,当 a ≤ 0 时,函数 F ( x) 的增区间是 (0, ??) ; 当 a ? 0 时,函数 F ( x) 的增区间是 (0, ) ,减区间是 ( , ??) . ………………9 分

1 a

1 a

(Ⅲ)依题意,函数 F ( x) 没有零点,即 F ( x) ? ln x ? ax ? 1 ? 0 无解.

1 1 a a 1 1 1 由于 F (1) ? ?a ? 1 ? 0 ,只需 F ( ) ? ln ? a ? ? 1 ? ? ln a ? 2 ? 0 , a a a
解得 a ? e ?2 . 所以实数 a 的取值范围为 (

由(Ⅱ)知,当 a ? 0 时,函数 F ( x) 在区间 (0, ) 上为增函数,区间 ( , ??) 上为减函数,

1 , ?? ) . …………………………………………………13 分 e2

? a 2 ? b2 =3, ? 19. 解: (Ⅰ)由题意得 ? 1 解得 a =2 , b ? 1 . 3 ? 2 ? 2 ? 1, ? a 4b
所以椭圆 C 的方程是

x2 ? y2 ? 1 . 4

……………………………………4 分

? y ? k ( x ? 1), ? 2 2 2 2 (Ⅱ)由 ? x 2 得 (1 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 . 2 ? ? y ? 1, ? 4
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 4 x x ? , , 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ?

?2k . 1 ? 4k 2

所以线段 AB 的中点坐标为 (

4k 2 ?k , ), 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
?k 1 4k 2 ? ? ( x ? ). 1 ? 4k 2 k 1 ? 4k 2

所以线段 AB 的垂直平分线方程为 y ?

于是,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 Q (

3k 2 , 0) ,又点 P(1, 0) , 1 ? 4k 2

所以 PQ ? 1 ?

3k 2 1? k 2 . ? 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2
2

4 (1 ? k 2 )(1 ? 3k 2 ) 8k 2 2 4k 2 ? 4 又 AB ? (1 ? k )[( . ) ? 4? ] ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
4 (1 ? k 2 )(1 ? 3k 2 ) | AB | 1 ? 3k 2 2 1 ? 4k 2 ? ? 4 ? 4 3? 于是, . 2 2 1? k | PQ | 1? k 1? k 2 1 ? 4k 2
因为 k ? 0 ,所以 1 ? 3 ?

2 ? 3. 1? k 2
………………………………14 分

所以

| AB | 的取值范围为 (4, 4 3) . | PQ |

20. 解:记 {an } 的 a1 ? b1 ? a , {an } 公差为 d , {bn } 公比为 q ,由 d ? 0 ,得 q ? 1 (Ⅰ) b3 ? b1q ? 0 , a2 ?
2

a1 ? a3 b1 ? b3 2 , b2 ? b1b3 , b2 ? ? b1b3 , ? 2 2

当 b2 ? ? b1b3 时,显然 a2 ? b2 ; 当 b2 ? b1b3 时,由平均值不等式

b1 ? b3 ,所以

b1 ? b3 ? b1b3 即 a2 ? b2 . 2

b1 ? b3 ≥ b1b3 ,当且仅当 b1 ? b3 时取等号,而 2

综上所述, a2 ? b2 .

………………………………………………………5 分
3 3

(Ⅱ) (ⅰ)因为 a2 ? b2 , a4 ? b4 ,所以 a ? d ? aq, a ? 3 d ? aq , 得 q ? 1 ? 3(q ? 1), 所以

q2 ? q ?1 ? 3, q ? 1或 q ? ?2 .因为 q ? 1 ,所以 q ? ?2 , d ? a(q ?1) ? ?3a .
9 9 令 ak ? b10 ,即 a1 ? (k ?1)d ? b1q , a ? 3(k ? 1)a ? a(?2) , k ? 172 ,所以 b10 是 {an } 中

的一项. (ⅱ)假设 bm ? ak ,则 a1 ? (k ?1)d ? b1q
m?1

, a ? 3(k ? 1)a ? a(?2)m?1 , 4 ? 3k ? (?2)

m?1

当 m ? 1, 或 m ? 2 n , ( n ? N? )时, k ? N? . 正整数 m 的集合是 m m = 1 或 m = 2n, n ? N

?

?

?.

…………………………13 分


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