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高一数学 第三章 数列:§3.3.2等差数列前n项和(2)课件


等差数列前n项的和(2)

复习公式
1 、当知道首项a1和末项a n时用 n( a1 ? an ) Sn ? 2 2、当知道首项a1和公比d时用 n( n ? 1) S n ? na1 ? d 2 S n ,n, a1 ,a n ,d知三求二

例题讲授
例1、已知一个有限项等差数列,前5项的和是34, 后五项的和是146,所有项的和是234,求第7项.

分析:根据等差数列的性质,有
若m ? n ? p ? q, 则am ? an ? ap ? aq .

所以,前五项的和与后五项的和的和 就是首相与末项和的五倍.

例题讲授
解:a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 34 , ① an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? an?4 ? 146, ② ①+② 5(a1 ? an ) ? 180 ? a1 ? an ? 36,
n(a1 ? an ) Sn ? ? 234 ? n ? 13. 2 a1 ? a13
? a7 ? 2 ? 18.
例1、已知一个有限项等差数列,前5项的和是34, 后五项的和是146,所有项的和是234,求第7项.

例题讲授
例2、已知一个等差数列前12项的和是354,前 12项中偶数与奇数之比为32:27,求公差.

分析: 方法一:直接套用公式; 方法二:利用奇数项与偶数项的关 系.

例题讲授
例2、已知一个等差数列前12项的和是354,前 12项中偶数与奇数之比为32:27,求公差.

12 ?11 ? ?12a1 ? 2 d ? 354, ? ? 解:方法一:? 6a2 ? 6 ? 5 ? 2d 32 2 ? ? , 6?5 ? 27 6a1 ? ? 2d ? ? 2

? d ? 5.

例题讲授
例2、已知一个等差数列前12项的和是354,前 12项中偶数与奇数之比为32:27,求公差.

? S奇 ? S偶 ? 354, ? S奇 ? 162, ? ? 解:方法二:? S奇 32 ?? ? ? S偶 ? 192, ? S ? 27 , ? 偶

S偶 ? S奇 ? 30 ? 6d

? d ? 5.

例题讲授
S100 例3、已知一个等差数列中d=0.5,

求a1 ? a3 ? a5 ?

? 145, ? a99的值.

分析:
还是利用奇数项和偶数项之间 的关系,相差一个公差d.

例题讲授
S100 例3、已知一个等差数列中d=0.5,

求a1 ? a3 ? a5 ?

? 145, ? a99的值.

解:设a1 ? a3 ? a5 ?

? a99 ? x,

则a2 ? a4 ? a6 ?

? a100 ? x ? 50d ,
? x ? 60.

? 2 x ? 25 ? 145,

课堂练习
练习1、已知一个等差数列中共有2n+1项,且奇数 项的和为44,偶数项的和为33,则项数为 7 .

S奇 n ? 1 44 解: ? ? , S偶 n 33 ? n ? 3.

例题讲授
例4、已知一个等差数列中an ? 25 ? 2n(n ? N 那么使其前n项和Sn 取最大值的n等于 .
*

),

分析:方法一: 利用前正数项的和最大求解; 方法二: 前n项和的公式是关于n的 二次函数.

例题讲授
例4、已知一个等差数列中an ? 25 ? 2n(n ? N 那么使其前n项和Sn 取最大值的n等于 .
*

),

解:方法一

?an ? 0, ?25 ? 2n ? 0, ?? ? ?25 ? 2(n ? 1) ? 0. ?an?1 ? 0 * 又 n ? N , ? n ? 12.

例题讲授
例4、已知一个等差数列中an ? 25 ? 2n(n ? N 那么使其前n项和Sn 取最大值的n等于 .
*

),

解:方法二
an ? 25 ? 2n, 又可得a1 ? 23, n(a1 ? an ) 2 ? Sn ? ? ?(n ? 12) ? 144. 2 根据二次函数的性质可知当n=12时Sn最大.

课堂练习
练习2、已知一个等差数列中满足3a4 ? 7a7 , 且a1 ? 0

Sn是数列{an }的前n项和,求n为何值时Sn取最大值.

分析:方法和例题4类似

课堂练习
练习2、已知一个等差数列中满足3a4 ? 7a7 , 且a1 ? 0

Sn是数列{an }的前n项和,求n为何值时Sn取最大值.
解: 方法一

37 ? an ? a1 ? (n ? 1)(? a1 ) ? 0 ? n ? 33 4 33 aadn ?1 ????? 0 nn 4

4 3a4 ? 7a7 ? d ? ? a1 ? 0 33 4

?n ? 9

课堂练习
练习2、已知一个等差数列中满足3a4 ? 7a7 , 且a1 ? 0

Sn是数列{an }的前n项和,求n为何值时Sn取最大值. 4 解: 3a4 ? 7a7 ? d ? ? a1 ? 0 33
方法二 S ? na ? n( n ? 1) ? (? 4 a ) n 1 1 2 33
2 35 2 ?? a1n ? a1n, 33 33 35 n ? ? [8, 9] 且更接近9,所以n=9. 对称轴 4

课时小结
1、等差数列前n项和的公式
n(a1 ? an ) 当知道首项a1和末项a n时用Sn ? 2 n(n ? 1) 当知道首项a1和公比d时用Sn ? na1 ? d 2 Sn ,n, a1 ,a n ,d知三求二

2、公式的灵活运用

课后作业
1、课本P118练习4、5、6 写书上
2、课本P118习题3.3 4、6、7、8


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