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高中数学人教A版必修二全优课堂同步课件4.2.3直线与圆的方程的应用


自学导引 用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”为: (1)建立适当的___________________ 平面直角坐标系 ,用坐标和方程表示问题 中的几何元素 ________,将平面几何问题转化为代数问题 ________; (2)通过代数运算,解决________ 代数问题; “ 翻译”成几何结论并作答. (3)把代数运算结果 ________________________ 自主探究 探究 1:用坐标方法解决平面几何问题的工具是什么? 【答案】 用坐标方法解决平面几何问题的基本思想就是用代数 的方法解决几何问题, 而建立它们联系的主要工具就是平面直角坐 标系. 探究 2:利用坐标法与一般方法解决几何问题有何不同? 【答案】 一般方法是在几何图形中, 利用图形的几何性质直接 推出结果,较简洁,但思路难想.坐标法是在几何图形所在平面直 角坐标系中,将几何问题转化为代数问题,用代数方法解决,思路 明显,但过程较繁. 预习测评 1. 过点 A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1 的切线, 则 A 到切点 的距离为( ) A. 5 B.3 C. 10 D.5 【答案】B 2. 圆 x2+y2=1 上的点到直线 3x+4y-25=0 的距离的最小值 是( ) A.6 B.4 C.5 D.1 【答案】B 3. 已知圆 x2+y2+2x-4y+4=0 关于直线 y=2x+b 成轴对称, 则 b=________. 【答案】4 y 4.若点 P(x,y)在圆 C:(x-2) +y =3 上,则 的最大值是 x ________. 2 2 【答案】 3 要点阐释 一、用直线与圆的方程解决实际问题的步骤 1.从实际问题中提炼几何图形; 2.建立直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素, 将平面问题转化为代数问题; 3.通过代数运算,解决代数问题; 4.将结果“翻译”成几何结论并作答. 二、用坐标法解决几何问题时应注意以下几点 1.建立直角坐标系时不能随便,应在利于解题的原则下建立 适当的直角坐标系; 2.在实际问题中,有些量具有一定的条件,转化成代数问题 时要注意范围; 3.最后要把代数结果转化成几何结论. 典例剖析 题型一 直线与圆的方程的实际应用 【例 1】 有一种大型商品,A,B 两地均有出售且价格相同, 某地居民从两地之一购得商品运回来,每公里的运费 A 地是 B 地 的 2 倍,若 A,B 两地相距 10 公里,要使顾客选择 A 地或 B 地购 买这种商品的运费和价格的总费用较低, 那么不同地点的居民应如 何选择购买此商品的地点? 思路点拨:建立适当的坐标系求解. 解: 以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立直角 坐标系,如图所示,设 A(-5,0),则 B(5,0).在坐标平面内任取一 点 P(x,y),设从 A 运货到 P 地的运费为 2a 元/km,则从 B 运货到 P 地运费为 a 元/km.若 P 地居民选择在 A 地购买此商品, 则 2a ?x+5?2+y2<a ?x-5?2+y2, ? 25?2 2 ?20?2 整理得?x+ 3 ? +y <? 3 ? . ? ? ? ? ? 25?2 2 ?20?2 即点 P 在圆 C:?x+ ? +y =? ? 的内部. 3? ? ?3? 也就是说,圆 C 内的居民应在 A 地购物. 同理可推得圆 C 外的居民应在 B 地购物. 圆 C 上的居民可随意选择 A,B 两地之一购物. 1.已知隧道的截面是

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