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广西武鸣高中2012届高三第二次模拟考试数学(理)试


广西武鸣高中 2012 届高三第二次模拟考试数学(理)试
3.参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B); 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B); 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率: Pn(k)=C n · k· P (1-P)n k; (k=0,1,2,…,n)
k


球的表面积公式 S= 4?R ;球的体积公式 V 球= ?R ,其中 R 表示球的半径.
2

4 3

3

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. ) 1.复数 A.

i 在复平面内的对应点到原点的距离为 1? i

2 1 B. C.1 D. 2 2 2 2? x ? 8 , B ? x ? R x ? 1 ? 1 ,则 A ? (CR B) 的元素个数为 2.若 A ? x ? Z 2 ? 2

?

?

?

?

A.0 B.1 3.下列四个命题中的真命题为 A.若 sin A ? sin B ,则 ?A ? ?B C.若 a ? b ,且 ab ? 0 ,则

C.2 B.若 lg x ? 0 ,则 x ? 1
2

D.3

1 1 2 D.若 b ? ac ,则 a 、 b 、 c 成等比数列 ? a b x ?2 4.函数 f ( x) ? a ? log a ( x ? 1)(a ? 0且a ? 1) ,在 x ? [2,3] 上的最大值与最小值之和为 a ,则 a 等于
A.4 B.

1 4

C.2

D.

1 2

→ → → 5.已知 P 是边长为 2 的正△ ABC 边 BC 上的动点,则AP·(AB+AC)的 A.最大值为 8 C.最小值为 2 B.是定值 6 D.与 P 的位置有关

6.已知等比数列 ?a n ?中,公比 q ? 0 ,若 a 2 ? 4 ,则 a1 ? a 2 ? a3 最值情况为 A.最小值 ? 4 B.最大值 ? 4 C.最小值 12 D.最大值 12 7.五名上海世博会形象大使分别到香港、澳门、台湾进行世博会宣传,每个地方至少去 1 名形象大使, 则不同的分派方法共有 A.150 种 B.180 种 C.240 种 D.280 种 8. 椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点分别是 F1、F2 ,等边 ?AF1 F2 的边 AF、AF2 与该椭圆分别相交 1 a2 b2 于 B、C 两点,且 2 BC ? F1F2 ,则该椭圆的离心率为
A.

1 2

B.

3 ?1 2

C. 3 ? 1

D.

3 2

? x ? y ? 11 ? 0 ? 9.设不等式组 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?5 x ? 3 y ? 9 ? 0 ?

表示的平面区域为 D,若指数函数 y= a 的图像上存在区域 D 上的点,

x

则 a 的取值范围是 A. (1,3] B. [2,3] C . (1,2] D .[ 3, ?? ]
C1 B1

10.如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1 D1 上有

2 两个动点 E、F,且 EF ? ,则下列结论中错误的是 2 A. AC ? BE B. EF / /平面ABCD C.三棱锥 A ? BEF 的体积为定值 D.异面直线 AE , BF 所成的角为定值
11.已知函数 f ( x) ? sin( A.向左平移 C.向左平移

E
A1

F

D1

C

B A

D

?
3

? x) ,则要得到其导函数 y ? f '( x) 的图象,只需将函数 y ? f ( x) 的图象
B.向右平移 D.向右平移

2? 个单位 3

2? 个单位 3

? 个单位 2

? 个单位 2

12.函数 f (x) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 是奇函数, f ( x ? 2) 是偶函数. 下列四个结论: ① f ( x ? 4) ? f ( x) ③ f ( x ? 3) 是奇函数 其中正确命题的个数是 .. A.1 B.2 ② f (x) 的图像关于点 (2k ,0) 对称 (k ? Z ) ④ f (x) 的图像关于直线 x ? 2k ? 1(k ? Z ) 对称 C.3 第Ⅱ卷(非选择题, 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案填在答题卡相应位置上.) 13.若 f ( x) ? (1 ? x )(1 ? x) ,则其解析式中 x 的系数为
2 5

D.4

3

★ .



14.已知 lim

( x ? 1)( x ? 2) ? 1 ,则实数 m 的值为 x ?m x?m



15. F 为抛物线 y ? ? 设 的值是 ★
?

1 2 与抛物线相切于点 P(?4,?4) 的直线 l 与 x 轴的交点为 Q , ?PQF 则 x 的焦点, 4



?
o1
P ★ .

16. 如图,在 120 二面角 ? ? l ? ? 内半径为 1 的圆 O1 与 半 径为 2 的圆 O2 分别在半平面 ? 、 ? 内,且与棱 l 切于同 一点 P,则以圆 O1 与圆 O2 为截面的球的表面积等于

l
o2

?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请把解答过程写在 答题卡相应位置上.) 17. (本小题满 分 10 分)已知函数 f ( x ) ? 2 sin(ωx ? 期为 ? .

? ? ) sin(ωx ? ) (其中 ? >0, x ? R )的最小正周 6 3

(1)求 ? 的值; (2)在△ ABC 中,若 A ? B ,且 f ( A) ? f ( B) ?

1 BC ,求 . 2 AB

18. (本小题满分 12 分)如图,在三棱锥 V ? ABC 中,VC ⊥ 底面 ABC , AC ⊥ BC , D 是 AB 的中点, 且 AC ? BC ? a , ?VDC ? ? ? 0 ? ? ? (1)求证:平面 VAB ⊥平面 VCD ; (2)当角 ? 变化时,求直线 BC 与平面 VAB 所成 的角的取值范围. C D A 19. (本小题满分12分)为了拓展网络市场,腾讯公司为QQ用户推出了多款QQ 应用,如“QQ农场”、“QQ 音乐”、“QQ读书”等.市场调查表明,QQ用户在选择以上三种应用时,选择农场、音乐、读书的概率分 别为 B

? ?

π? ?. 2?

V

1 1 1 , , .现有甲、乙、丙三位QQ用户独立任意选择以上三种应用中的一种进行添加. 2 3 6

(1)求三人所选择的应用互不相同的概率; (2)记 ? 为三人中选择的应用是QQ农场与QQ音乐的人数,求 ? 的分布列与数学期望.

20. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 是各项均不为 0 的等差数列, S n 为其前 n 项和,且满足
2 an ? S2 n ?1 (n ? N * ) ,数列 {bn } 满足 bn ?

1 , Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和。 an an ?1

(1)求数列 {an } 的通项 a n 和 Tn ;
? (2)若对任意的 n ? N ,不等式 ?Tn ? n ? 8(?1) 恒成立,求实数 ? 的取值范围。
n

21. (本小题满分 12 分)已知 F1 (?2,0) , F2 (2,0) ,点 P 满足 | PF1 | ? | PF2 |? 2 ,记点 P 的轨迹为 S , 过点 F2 作直线 l 与轨迹 S 交于 P, Q 两点,过 P, Q 作直线 x ?

1 的垂线 PA 、 QB ,垂足分别为 A, B ,记 2

? ?| AP || BQ | 。
(1)求轨迹 S 的方程; (2)设点 M (?1,0) ,求证:当 ? 取最小值时, ?PQM 的面积为 9 .

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e

kx?1 x ?1

(e 是自然对数的底数) .

(1)若 函数 f ( x)是(?1,??) 上的增函数,求 k 的取值范围; (2)若对任意的 x ? 0 , +?) 都有f ( x) ? x ? 1 ,求满足条件的最大整数 k 的值. ( ,

武鸣高中 2012 届第二次模拟考试 数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1 2 3 4 5 题号 B C C D B 答案 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

6 B 13.5

7 A

8 C

9 A 15.

10 D

11 C 16.

14.2

? 2

112? 3

12 B

f ( x) ?

1 ? 1 ,得 sin(2 x ? ) ? , 3 2 2 ? ? ? 5? ∴ 2x ? ? 或 2x ? ? , 3 6 3 6

∴x ?

? 7? 或x ? . 12 4
V

…………7 分

H C D A B



2 sin ? ? sin ? ………………10 分 2 2 π ……11 分 ∵ 0 ? ? ? ∴0 ? sin ? ? 1, 0 ? sin ? ? 2 2 π π 又 0 ≤ ? ≤ ,∴ 0 ? ? ? 2 4

∵0 ? ? ?

2 π π π ,∴0 ? sin ? ? 1, 0 ? sin ? ? .又 0 ≤ ? ≤ ,∴ 0 ? ? ? . 2 2 2 4 ? π? 即直线 BC 与平面 VAB 所成角的取值范围为 ? 0, ? . ………………12 分 ? 4? 19. 记第 i 名用户选择的应用属于农场、 解: 音乐、 读书分别为事件 Ai , Bi , Ci , i=1, 3. 2, 由题意知 A1 , A2 , A3
相互独立, B1 , B2 , B3 相互独立, C1 , C2 , C3 相互独立, Ai , B j , Ck (i,j,k=1,2,3 且 i,j,k 互不相同)

1 1 1 , P( Bi ) ? , P(Ci ) ? . 2 3 6 1 (1)他们选择的应用互不相同的概率P ? 3! P( A1B2C3 ) ? 6 P( A1 ) P( B2 ) P(C3 ) ? ?5 分 6 1 (2)设3位用户选择的应用是QQ读书的人数是? ,由已知? ~ (3, ) ,且 ? =3-? , 6
相互独立,且 P( Ai ) ? 所以

1 1 5 15 3 1 P(? ? 0) ? P(? ? 3) ? C3 ( )3 ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? 6 216 6 6 216 1 5 2 75 125 1 0 5 P(? ? 2) ? P(? ? 1) ? C3 ( )( ) ? P(? ? 3) ? P(? ? 0) ? C3 ( )3 ? 6 6 216 6 216 (每求对一个 ? 的概率给1分) ?9 分
故 ? 的分布列是

?
P

0 1 216

1 15 216

2 75 216

3 125 216

? 的数学期望是 1 15 75 125 E? ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ? 2.5 216 216 216 216 1 1 5 (或者由 E? ? E (3 ? ? ) ? 3 ? E? , 而E? ? 3 ? ? ,? E? ? ) ……….12分 2 6 2

……………………10分

21. (本题满分 12 分) 解: (1)由|PF1|-|PF2|=2<|F1F2|知,点 P 的轨迹 S 是以 F1、F2 为焦点的双曲线右支. y2 由 c=2,2a=2,∴b2=3.故轨迹 S 的方程为 x2- =1 (x≥1) …….……4 分 3 (2)当直线 l 的斜率存在时,设直线方程为 y=k(x-2),P(x1,y1),Q(x2,y2),与双曲线方程联立消 y 得 (k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0. ……5 分

? ? ??0 ? 4k 2 ? ∴ ? x1 ? x2 ? 2 解得 k2 >3.…… 7 分 ?0 k ?3 ? 4k 2 ? 3 ?x ? x ? ?0 ? 1 2 k2 ? 3 ? 1 1 1 x2 ? =4(2x1-1)(2x2-1) |BQ|= x1 ? ? ? ? |AP|· 2 2
x1+x2 1 1 = [4x1x2-2(x1+x2)+1]=x1x2- + 4 2 4 2 2 2 4k +3 2k 1 2k +3 1 9 9 9 = 2 - + = + = + > . k -3 k2-3 4 k2-3 4 4 k2-3 4 9 9 当斜率不存在时,|AP|· |BQ|= ,∴λ 的最小值 为 . 4 4 1 此时,|PQ|=6,|MF2|=3,S△PMQ= |MQ|·|PQ|=9. 2

………..…………..9 分 ………………10 分 ………………12 分


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