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人教版高中数学选修4-1--几何证明选讲-第一讲--相似三角形的判定及有关性质ppt课件_图文


选修4-1 几何证明选讲 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 回归课本 相似三角形的判定及有关性质 1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得线段相等,那么在其他 直线上截得的线段也相等. 推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 推论2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰. 2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比 例. 3.相似三角形的性质定理:相似三角形对应高的比?对应中线的比?对应角平分线的 比都等于相似比; 相似三角形周长的比?外接圆的直径比?外接圆的周长比都等于相似比; 相似三角形面积的比?外接圆的面积比都等于相似比的平方; 4.直角三角形的射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比 例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项. 考点陪练 1.如图,D?E分别是△ABC的边AB?AC上的点,DE∥BC,且 AD ?那△ADE与四边形DBCE的面积比是________. 2, DB 解析 : ? S?ADE AD AD 2 4 ? 2,? ? ,故 ? , DB AB 3 S?ABC 9 4 ? . 5 S?ADE S四边形DBCE 4 答案 : 5 2.如图,AA1与BB1相交于点O,AB∥A1B1且AB=?A1B1.若△AOB的外接圆的直径 为1,则△A1OB1的外接圆的直径为________. 解析:∵AB∥A1B1且AB=?A1B1, ∴△AOB∽△A1OB1, ∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比. ∴△A1OB1的外接圆直径为2. 答案:2 3.(2010·湛江质检)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点 D,CD=2,BD=3,则AC=________. 解析 :由射影定理 : CD 2 ? AD DB, 4 ? AD ? , 又AC 2 ? AD· AB ? AC ? 3 ? 4 ?4 ? ? ? ? 3? ? 3 ?3 ? 13 . 3 AD AB 2 13 答案 : 3 4.如图所示,△ABC中,D为BC中点,E在CA上且AE=2CE,AD?BE交于F,则 AF BF ? _____, ? _______ . FD FE 解析 : 如图所示, 取BE中点G, 连接DG, 又D为BC中点. 则DG CE, 且CE ? 2DG. AE ? 2CE AE ? AE ? 4DG, 即 ? 4. DG AF AE EF AF 从而 ? ? 4,同理 ? ? 4, DF DG GF DF ? EF ? 4GF.又BG ? GE ? GF ? EF ? 5GF, 则BF ? 6GF. BF 6GF 3 ? ? ? . EF 4GF 2 答案 : 4 3 2 5.一直角三角形的两条直角边之比是1 ________. : 3,则它们在斜边上的射影的比是 解析:如图,在直角三角形ABC中, BC AC=1 3, 作CD⊥AB于D, 由射影定理得BC2=BD·AB, AC2=AD·AB, 则 BC 2 BD 1 ? ? , 2 AC AD 9 : 9. : 9 故它们在斜边上的射影的比是1 答案:1 类型一 平行线(等)分线段成比例定理 解题准备:解决此题的关键是找出平行线等分线段定理的基本图形,看清楚被平行 线组截得的线段. 【典例1】 如图,F 长线于E. ABCD边AB上一点,连接DF交AC于G,并延长DF交CB的延 求证:DG·DE=DF·EG. [分析] 由于条件中有平行线,考虑平行线(等)分线段定理及推论,利用相等线段(平 行四边形对边相等),经中间比代换,证明线段成比例,得出等积式. [证明] 四边形ABCD是平行四边形, ? AD BC, AB DC, AD ? BC. AD BC, DG AD DF BC AD ? ? .又 AB DC,? ? ? , EG EC DE EC EC DG DF ? ? , 即DG DE ? DF EG. EG DE [反思感悟] 在有关比例问题的证明中,要结合平行线分线段成比例定理,构造平行 线解决.平行线分线段成比例定理是几何选讲的基础内容,要熟练掌握. 类型二 相似三角形的判定及性质 解题准备:相似三角形的判定及性质的运用,是几何证明的基础,要注意比例线段在 研究相似图形中的作用.应用三角形相似既可推理证明,还可以计算线段的长度, 我们常常利用相似三角形的性质找出几何图形中的等量关系,列方程计算出未 知量的值. 【典例2】 如图所示,梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,E?F分别是AB?BC的中 点,EF与BD相交于点M. (1)求证:△EDM∽△FBM; (2)若DB=9,求BM. [分析] ?1? 可由已知条件证DE DM DE ? , 又因为 ? 2 ?由?1? 可得 BM BF 1 DE:BF ? 2, 故BM ? DB. 3 CB; [解] 1)证明:∵E是AB的中点, ∴AB=2EB. ∵AB=2CD,∴CD=EB 又AB∥CD, ∴四边形CBED是平行四边形. ∴CB∥DE,∴△EDM∽△FBM. DM DE EDM∽ FBM,? ? . ? 2? BM BF F是BC的中点,? DE ? 2BF.? DM ? 2BM , 1 ? BM ? DB ? 3. 3 [反思感悟] 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理,若题目 条件涉及平行线可选择判定定理1或判定定理2. 类型三 射影定理及应用 解题准备:直角三角形的射影定理是相似三角形性质在直角三角形中的应用,在直 角三角形中,灵活利用射影定理,可简化某些命题的证明和线段的计算. 特别提醒:应用射影定理有两个

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