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版高中数学第二章基本初等函数Ⅰ23幂函数学案新人教A版必修1(数学教案)


§2.3 幂函数 学习目标 1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函数 y=x, 1 1 y=x ,y=x ,y= ,y=x2 的图象,掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较 2 3 x 指数幂的大小(重点). 预习教材 P77-P78,完成下面问题: 知识点 1 幂函数的概念 一般地,函数 y=x 叫做幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数. 【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 y=x 5是幂函数.( (2)函数 y=2 是幂函数.( 1 (3)函数 y=-x2 是幂函数.( -x 4 - α ) ) ) 4 - 提示 (1)√ 函数 y=x 5 符合幂函数的定义,所以是幂函数; (2)× 幂函数中自变量 x 是底数,而不是指数,所以 y=2 不是幂函数; 1 α (3)× 幂函数中 x 的系数必须为 1,所以 y=-x2 不是幂函数. 知识点 2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象: -x (2)幂函数的性质: 幂函数 y=x R R 奇 y=x2 R [0,+∞) 偶 y=x3 R R 奇 1 y=x2 [0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶 y=x-1 (-∞,0)∪ (0,+∞) {y|y∈R,且 y≠0} 奇 定义域 值域 奇偶性 1 单调性 公共点 增 x∈[0,+∞),增 x∈(-∞,0],减 增 都经过点(1,1) 增 x∈(0,+∞),减 x∈(-∞,0),减 【预习评价】 5 (1)设函数 f(x)=x3 ,则 f(x)是( A.奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 (2)3.17 与 3.71 的大小关系为________. 解析 (1)易知 f(x)的定义域为 R,又 f(-x)=-f(x),故 f(x)是奇函数. 1 -3 (2)易知 f(x)=x = 3在(0, +∞)上是减函数, 又 3.17<3.71, 所以 f(3.17)>f(3.71), -3 -3 ) x 即 3.17 >3.71 . 答案 (1)A (2)3.17 >3.71 -3 -3 -3 -3 题型一 幂函数的概念 【例 1】 (1)在函数 y=x ,y=2x ,y=(x+1) ,y=3x 中,幂函数的个数为( A.0 2 -2 2 2 ) B.1 m C.2 D.3 (2)若 f(x)=(m -4m-4)x 是幂函数,则 m=________. 解析 (1)根据幂函数定义可知,只有 y=x 是幂函数,所以选 B. (2)因为 f(x)是幂函数,所以 m -4m-4=1,即 m -4m-5=0,解得 m=5 或 m=-1. 答案 (1)B (2)5 或-1 规律方法 判断函数为幂函数的方法 (1)只有形如 y=x (其中 α 为任意实数,x 为自变量)的函数才是幂函数,否则就不是 幂函数. (2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y=x (α 为常数)的形式,函数 的解析式为一个幂的形式,且:①指数为常数,②底数为自变量,③底数系数为 1.形如 y =(3x) ,y=2x ,y=x +5…形式的函数都不是幂函数.反过来,若一个函数为幂函数, 则该函数也必具有这一形式. α α α α α 2 2 -2 ?1? 【训练 1】 若函数 f(x)是幂函数,且满足 f(4)=3f(2),则 f? ?的值等于________. ?2? 解析 设 f(x)=x ,因为 f(4)=3f(2),∴4 =3×2 ,解得:α =log23, α α α 2 1 ?1? ?1? ∴f? ?=? ?log23= . 3 ?2? ?2? 答案 1 3 题型二 幂函数的图象及应用 【例 2】 (1)如图所示,图中的曲线是幂函数 y=x 在第一象限的图象,已知 n 取±2, 1 ± 四个值,则相应于 C1,C2,C3,C4 的 n 依次为( 2 ) n 1 1 A.-2,- , ,2 2 2 1 1 C.- ,-2,2, 2 2 1 1 B.2, ,- ,-2 2 2 1 1 D.2, ,-2,- 2 2 1? ? (2)点( 2,2)与点?-2,- ?分别在幂函数 f(x),g(x)的图象上,问当 x 为何值时, 2? ? 分别有:①f(x)>g(x); ②f(x)=g(x);③f(x)<g(x). (1)解析 根据幂函数 y=x 的性质,在第一象限内的图象当 n>0 时,n 越大,y=x 递 1 增速度越快,故 C1 的 n=2,C2 的 n= ;当 n<0 时,|n|越大,曲线越陡峭,所以曲线 C3 的 n 2 1 =- ,曲线 C4 的 n=-2,故选 B. 2 答案 B (2)解 1 α β α β 设 f(x)=x ,g(x)=x .∵( 2) =2,(-2) =- ,∴α =2,β =-1,∴ 2 n n f(x)=x2,g(x)=x-1.分别作出它们的图象,如图所示.由图象知: ①当 x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f(x)>g(x); ②当 x=1 时,f(x)=g(x); ③当 x∈(0,1)时,f(x)<g(x). 规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 3 (1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为: ①在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低);②在(1,+∞) 上,指数越大,幂函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数 α 与 0,1 的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类 1 -1 3 似于 y=x 或 y=x2 或 y=x )来判断. m * 【训练 2】 如图是函数 y=xn (m,n∈N ,m,n 互质)的图象,则( ) A.m,n 是奇数,且 <1 B.m 是偶数,n 是奇数,且 >1 C.m 是偶数,n 是奇数,且

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