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辽宁省大连市第二十高级中学2016届高三上学期期初考试数学(文)试题


2015—2016 学年度上学期期初考试
高三数学(文)
考试时间:120 分钟 试卷分数:150 分 命题人:

卷Ⅰ
一、选择题:(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的) 1.已知集合A={x|y= 1 ? x 2 },B={x|x= m ,m∈A},则
2

( D.B? A (

)

A.A=B

B.B I A ? ?

C.A? B

2. 设x∈R,则“x= ? 1”是“复数z=(x2-1)+(x+2)i为纯虚数”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

3. 若命题“ ? x0∈R,x2 0+(a-1)x0+1 ? 0”是真命题,则实数 a 的取值范围是 A. ( ) A.[ B . ( - 1,3)

(

)

C . ( - ∞ , - 1]∪ , 则 y = f( x ) 的 定 义 域 是

1 ,4] 2

B. ?? ?,?1? ? ?2,??? C. ?? 1,2?

D. ?? ?,?2? ? ?1,???

7. 已知 f ( x) 是奇函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? cos x ? sin 2 x ,则当 x ? 0 时, f ( x) 的表 达 式是 A. ? cos x ? sin 2 x
3

( B. cos x ? sin 2 x C. cos x ? sin 2 x

)

D. ? cos x ? sin 2 x

8.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 在区间(1,+∞)内是增函数,则实数 a 的取值范围 是 ( ) A.[3,+ ? ) B.(-3,+ ? ) C. ?? 3,??? D.(- ? ,-3) 9. 从一堆苹果中任取了 20 只,并得到它们的质量(单位:克)数据分布如下表: 分组 频数 [90,100) 1 [100,110) 2 [110,120) 3 [120,130) 10 ( D.40% [130,140) 1 )

则这堆苹果中,质量不小于 120 克的苹果数约占苹果总数的 A.70% B.60% C.80%

10. 将函数 y ? f ( x) sin x 的图象向左平移

? 2 个单位,得到函数 y ? 1 ? 2 sin x 的图象,则 4
( )

f ( x) 可能是
A. cos x 11. 已知 ? ? (? B.2 cos x C. sin x D.2 sin x

? ?

以下四个答案中, 可 , ), 且 sin ? ? cos ? ? a, 其中 a ? (0,1), 则关于 tan ? 的值, 2 2

能正确的是 A.-3 B .3 或





1 3

C.-

1 3

D.-3 或-

1 3

12. 已 知 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 y ? f ? x ? 的 导 函 数 为 y ? f ? ? x ? , 当 x ? 0 时 ,

xf / ( x) ? f ( x) ? 0 ,若 a ?
是 A. a ? c ? b

f ( e) f (ln 2) f ( ?3) ,b ? ,c ? ,则 a, b, c 的大小关系正确的 e ln 2 ?3
( ) C. c ? a ? b D. a ? b ? c

B. b ? c ? a

第Ⅱ卷(非选择题,共90 分)
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上) 13.某校开展“爱我祖国、爱我家乡”摄影比赛,9 位评委为参赛作品 A 给出的分数如茎叶图所 示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为 91,复核员在复核时,发现有 一个数字(茎叶图中 x)无法看清.若记分员计算无误,则数字 x 应该是____.

14.已知函数 f ( x) ? ?

3x, x ? 0, 5 那么 f ( ) 的值为 6 ? f ( x ? 1), x ? 0, ?
? ?



15.对于函数 f ( x) ? 2 sin? 2 x ?

??

? 给出下列结论: 3?

(1)图象关于原点成中心对称; (2)图象关于直线 x ? (3)图象可由函数 y ? 2 sin 2 x 的图象向左平移 (4)图象向左平移

?
12

成轴对称;

? 个单位,即得到函数 y ? 2 cos 2 x 的图象。 12

? 个单位得到; 3

其中正确结论的个数为 16. 设 函 数 f ( x) ? x ? ax ? a ? 3, g ( x) ? x ? a. 若 不 .存 .在 . x0 ? R , 使 得 f ( x0 ) ? 0 与
2

g ( x0 ) ? 0 同时成立,则实数 a 的取值范围是
三、解答题(17 题 10,其余每题 12 分) 17.已知函数 f ( x) ?

.

6 cos4 x ? 5 sin 2 x ? 4 ,求:函数 f ( x) 的定义域及周期. cos2 x

18.已知函数 f ( x) ?

1 3 1 ax ? (a ? 1) x 2 ? (a ? 2) x ? 6 的极大值是 f (?3) ? 15 , 3 2

(1)是否存在极小值?若存在求出极小值.若不存在说明理由; (2)求函数 f ( x) 的单调区间.

19.已知二次函数 f ?x ? 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x, 且 f ?0? ? 1 . (Ⅰ)求 f ?x ? 的解析式. (Ⅱ) 在区间 ??1,1? 上, f ?x ? 的图象恒在 y ? 2 x ? m 的图象上方, 试确定实数 m 的范围. 20. 设函数 f ( x) ? cos2x ? 2 3 sin x cos x( x ? R) 的最大值为 M,最小正周期为 T. (1)求 M、T; (2)若有 10 个互不相等的正数 xi 满足f ( xi ) ? M , 且 xi ? 10? (i ? 1,2,?,10) ,求:

x1 ? x2 ? ? ? x10 的值.

2 2 21. 设 f ( x) 是定义在 (??,3] 上的减 函数,已知 f (a ? sin x) ? f (a ? 1 ? (cosx) )

对于 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

22. 已知函数 f ( x) ? ax ? 3 x ? 1 ?
3 2

3 a

(I)若函数 f ( x) 在 x ? ?1 时取到极值,求实数 a 的值; (II)试讨论函数 f ( x) 的单调性; (III)当 a ? 1 时,在曲线 y ? f ( x) 上是否存在这样的两点 A,B,使得在点 A、B 处的切 线都与 y 轴垂直,且线段 AB 与 x 轴有公共点,若存在,试求 a 的取值 范围;若不 存在,请说明理由.

一、DCBDB,CACAB,CD 13、1 14、 ?

1 2

15、2 16、 ? 3 ? a ? 6

17 、 解 : 解 : co s2 x ? 0 ? 2 x ? k? ? …4 分 化简得

?
2

…………2 分 得 x ?

k? ? ? (k ? Z ) 2 2

f ( x) ?
所以

3 1 k? ? cos 2 x ? ( x ? ? ). . … … 8 分 2 2 2 4

周 期 T= ? … … 10 分

18 、 解 : ( 1) 由 y

极大值

= f ( - 3 )=15, 得 a =1. … … … … 2 分

得 y ′ = x 2 +2 x - 3 , 令 y ′ =0 , 得 x = - 3, 或 x =1, … … 4 分 分 ( 2 ) (??,?3), (?3,1)和(1,??) 分 别 是 函 数 的 增 区 间 、 减 区 间 和 增 区 间 . … … 12 分. 判断

y极小值 ? f (1) ?

13 , ……8 3

19 、 解 : ( Ⅰ ) 设 f ( x ) =ax +bx+c , 由 f ( 0 ) =1 得 c=1 ,

2

故 f ( x ) =ax +b x+1.. .2 分

2

∵ f(x+1)-f(x)=2x, ∴ a(x+1) +b(x+1)+ 1-(ax +bx+1)=2x.

2

2

即 2 ax+a+b=2x, 所 以 ?
2

?2a ? 2 ?a ? 1 2 , ∴ f(x)=x -x+1. ,? ? ?a ? b ? 0 ?b ? ?1
2

…6 分

( Ⅱ ) 由 题 意 得 x -x+1> 2x+m 在 上 恒 成 立 . 即 x -3x+1-m>0 在 上 恒 成 立 .

设 g(x)= x -3x+ 1-m, 其 图 象 的 对 称 轴 为 直 线 x=

2

3 , 所 以 g(x) 在 上 递 减 . 2

故 只 需 g(1)>0, 即 1 -3 × 1+1-m>0, 解 得 m<-1 … 12 分

2

20 、 解 : f ( x) ? co s2 x ? 2 3 s i nx co sx ? ( 1 ) M=2 , T ?

3 s i n2 x ? co s2 x ? 2 s i n 2 (x ?

?
6

)…2 分

2? ?? 2

…………6 分

( xi ? ( 2 ) ∵ f ( xi ) ? 2, 即2 s i n 2
∴ 2 xi ?

?
?
6

)?2 (k ? Z ) … … … … 9 分

?
6

? 2k? ?

?
2

, xi ? k? ?

6

又 0 ? xi ? 10? ,? k ? 0,1,2,?,9 ∴ x1 ? x 2 ? ? ? x10 ? (1 ? 2 ? ? ? 9)? ? 10 ?

?
6

?

140 ? … … … … 12 分 3

21、

?a 2 ? sin x ? 3 ? 2 ?a ? 1 ? cos x ? 3 ?a 2 ? sin x ? a ? 1 ? cos2 x ?
由 ① 得 : a 2 ? 3 ? s i nx 由②得 a ? 2?cos x
2
2

得? 2 ? a ? 2
a ?1
2 2

x? ) ? 由 ③ 得 : a ? a ? 1 ? s i nx ? co s x ? ? s i n x ? s i nx ? 2 ? ?( s i n
2

1 2

9 4

?a2 ? a ?

9 4

4 a 2 ? 4a ? 9 ? 0 ? a ? 1 10 ? ] 2 2

1 ? 10 1 ? 10 或a ? 2 2

① ② ③ 取 交 集 得 : a ? [? 2 ,

22 、 解 : f ?( x) ? 3ax2 ? 6x

(a ? 0 )

(I)∵函数 f ( x) 在 x ? ?1 时取到极值 ∴ f ?(?1) ? 3a ? 6 ? 0 解得 a ? ?2 经检验 a ? ?2 函数 f ( x) 在 x ? ?1 时取到极小值 ∴实数 a 的值-2 …3

2 (2)由 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? a 2 ①当 a ? 0 时, ? 0 a 2 由 f ?( x) ? 0 得 ? x ? 0 a 2 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 或x ? 0 a 2 2 ∴函数 f ( x) 得单调增区间为 ( ,0) ,单调减区间为 (?? , )和(0,?? ) a a
②当 a ? 0 时,

2 ?2 ? ? 0 ,同理可得函数 f ( x) 得单调增区间为 ?? ?,0?, ? ,?? ? ,单调减 a ?a ?
… 7

区间为 ? 0,

? ?

2? ? a?

(3) 假设存在满足要求的两点 A, B, 即在点 A、 B 处的切线都与 y 轴垂直, 则 k A ? kB ? 0
2 即 f ?( x) ? 3ax ? 6x ? 0 解得 x ? 0 或 x ?

2 a

∴A (0,1 ?

3 2 4 3 ) ,B ( ,? 2 ? 1 ? ) a a a a

又线段 AB 与 x 轴有公共点,∴ y A ? y B ? 0 ,

3 4 3 )( ? 2 ? 1 ? ) ? 0 又 a ? 1 ,解得 3 ? a ? 4 a a a 所以当 3 ? a ? 4 时,存在满足要求的点 A、 B. …12 ( 1? 即


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