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F01--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(天津卷.文)


2005 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(天津文科卷)试题精析详解
一、选择题(5 分 ? 10=50 分) (1) 集合 A ? { x | 0 ? x ? 3且 x ? N } 的真子集个数是 (A)16 (B)8 (C)7 (D)4 【思路点拨】本题考查集合、真子集的基本概念,可采用直接法求集合 A 【正确解答】用列举法, A ? {0,1, 2} ,A 的真子集有: ? ,{0},{1},{2},{0,1},{0, 2},{1, 2} , 共 7 个,选 C 【解后反思】注意不要忘记空集,以及真子集不包含集合本身. (2) 已知 lo g 1 b ? lo g 1 a ? lo g 1 c ,则
2 2 2





( (C) 2 ? 2 ? 2
c b



(A) 2 ? 2 ? 2
b a

c

(B) 2 ? 2 ? 2
a b

c

a

(D) 2 ? 2 ? 2
c a

b

【思路点拨】本题考查指数函数和对数函数的增减性. 【正确解答】由函数性质可知,函数 y ? lo g 1 x 在 ? 0, ? ? 上是减函数,因此得 b ? a ? c ,
2

又因为 y ? 2 是增函数,所以 2 ? 2 ? 2 ,选 A
x

b

a

c

【解后反思】 要深刻理解指数函数和对数函数的图象与性质, 并从已知条件和结论的特征出 发,发现它们各自所具有的模型函数,以便有目的地思考. (3)某人射击一次击中目标的概率为 0.6,经过 3 次射击,此人至少有两次击中目标的概率 为 ( ) (A) 见理第 7 题 (4)将直线 2 x ? y ? ? ? 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0
2 2

81 125

(B)

54 125

(C)

36 125

(D)

27 125

相切,则实数 ? 的值为 ( ) (A)-3 或 7 (B)-2 或 8 (C)0 或 10 (D)1 或 11 【思路点拨】本题考查了平移公式、直线与圆的位置关系,只要正确理解平移公式和直线与 圆相切的充要条件就可解决. 【正确解答】由题意可知:直线 2 x ? y ? ? ? 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位后的直线 l 为:
2( x ? 1) ? y ? ? ? 0 .已知圆的圆心为 O ( ? 1, 2) ,半径为 5 .

解法 1:直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径,因而有
| 2 ? ( ? 1 ? 1) ? 2 ? ? | 5 ? 5 ,得 ? ? ? 3 或 7.

解法 2:设切点为 C ( x , y ) ,则切点满足 2( x ? 1) ? y ? ? ? 0 ,即 y ? 2 ( x ? 1) ? ? ,代入圆
1

方程整理得: 5 x ? ( 2 ? 4 ? ) x ? ( ? ? 4 ) ? 0 , (*)
2 2

由直线与圆相切可知, (*)方程只有一个解,因而有 ? ? 0 ,得 ? ? ? 3 或 7. 解法 3:由直线与圆相切,可知 C O ? l ,因而斜率相乘得-1,即
2 2

y?2 x ?1

? 2 ? ? 1 ,又因为

C ( x , y ) 在圆上,满足方程 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 ,解得切点为 (1,1) 或 ( 2, 3) ,又 C ( x , y ) 在

直线 2( x ? 1) ? y ? ? ? 0 上,解得 ? ? ? 3 或 7. 选A 【解后反思】 直线与圆的位置关系历来是高考的重点.作为圆与圆锥曲线中的特殊图形, 具有 一般曲线的解决方法外(解法 2)还有特别的解法,引起重视理解和掌握. (5)设 ? , ? , ? 为平面, m , n , l 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是 (A) ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? l (C) ? ? ? , ? ? ? , m ? ? 见理第 4 题 (6)设双曲线以椭圆
x
2





(B) ? ? ? ? m , ? ? ? , ? ? ? (D) n ? ? , n ? ? , m ? ?

?

y

2

? 1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线

25

9

的渐近线的斜率为 (A) ? 2 见理第 5 题 (7)给出三个命题: ①若 a ? b ? ? 1 ,则
a 1? a ? b 1? b

( (B) ?
4 3

) (D) ?
3 4

(C) ?

1 2

.
n 2

②若正整数 m 和 n 满足 m ? n ,则 m ( n ? m ) ?
2 2

.

③设 P ( x1 , y 1 ) 为圆 O1 : x ? y ? 9 上任一点,圆 O 2 以 Q ( a , b ) 为圆心且半径为 1.当
( a ? x1 ) ? ( b ? y1 ) ? 1 时,圆 O1 和 O 2 相切.
2 2

其中假命题的个数为 (A)0 (B)1 见理第 3 题 (8) 函数 y ? A sin ( ? x ? ? )( ? ? 0, ? ? 分图像如图所示,则函数表达式为 ( )
?
2

(C)2

( ) (D)3
y

, x ? R ) 的部

4

-2

O

6

x

-4
2

(A) y ? ? 4 sin ( (C) y ? ? 4 sin (

?
8

x? x?

?
4

) )

(B) y ? 4 sin ( (D) y ? 4 sin (

?
8

x? x?

?
4

) )

?
8

?
4

?
8

?
4

【思路点拨】本题考查正弦曲线的图象变换,考查图与形的等价转换能力. 只要由已知图形 依次确定 A 、 ? 、 ? ,而 ? 的确定是解决本题的难点,必须用最高点或最低点进行处理. 【正确解答】解法 1:由函数图象可知,函数过点 ( ? 2, 0), (6, 0) ,振幅 A ? 4 ,周期 T ? 16 , 频率 ? ?
2? T ?

?
8

,将函数 y ? 4 sin
?
8 x? 3 4

?
8

x 向右平移 6 个单位,得到

y ? 4 sin (

?
8

( x ? 6 )) ? 4 sin (

? ) ? ? 4 sin (

?
8

x?

?
4

) .选 A

解法 2:由函数图象可知,函数过点 ( ? 2, 0), (6, 0) ,振幅 | A |? 4 ,周期 T ? 16 ,频率
? ?
2? T ?

?
8

, 这时 y ? ? 4 sin (
?
4

?
8

x ??), sin 又因为图象过点 (2, ? 4) , 代入得, (

?
4

? ? ) ? ?1 .

当 sin ( 当 sin (
?

?
4

? ? ) ? 1 时,

? ? ? 2 k? ?

?
2

,? ? 2 k? ?

?
4

( k ? Z ) ,而 | ? |? 3? 4

?
2

,? ? ?

?
4

,

?
4

? ? ) ? ? 1 时, y ? sin (

?
4

? ? ? 2 k? ? 3 4

?
2

,? ? 2 k? ?

( k ? Z ) ,而 | ? |?

?
2

,无解.

?
8

x ? 2 k? ?

? ) ? 4 sin (

?
8

x?

3 4

? ) ? ? 4 sin (

?
8

x?

?
4

) .选 A.

解法 3:可将点的坐标分别代入进行筛选得到.选 A. 【解后反思】一般地,如果由图象来求正弦曲线 y ? A sin ( ? x ? ? )( ? ? 0, ? ?
?
2 , x ? R) 的

解析式时,其参数 A 、 ? 、 ? 的确定:由图象的最高点或最低点求振幅 A ,由周期或半个 周期(相邻最值点的横坐标间的距离)确定 ? ,考虑到 ? 的唯一性,在确定 A 、 ? 的基础 上将最值点的坐标代入正弦函数的解析式,在给定的区间内求出 ? 的值.
2 (9) 若函数 f ( x ) ? log a (2 x ? x )( a ? 0, a ? 1) 在区间 (0, ) , 内恒有 f ( x ) ? 0 , f ( x ) 的 则

1

2

单调递增区间为 (A) ( ? ? , ?
1 4 )

( (B) ( ?
1 4 1 2 , ?? )


1 2 )

(C) (0, ? ? )

(D) ( ? ? , ?

【 思 路 点 拨 】 本 题 考 查 二 次 函 数 对 数 函 数 的 性 质 , 区 间 (0, ) 的 题 意 就 是 要 研 究 出
y ? 2 x ? x 的值域来判定 a 的取值范围.
2

【正确解答】函数的定义域为 { x | x ? 0 或 x ? ? } ,在区间 (0, ) 上, 0 ? 2 x ? x ? 1 ,又
2

1

1

2

2

f ( x ) ? 0 ,则 0 ? a ? 1 ,因此 y ? l o g a t 是减函数,函数 f ( x ) 的单调递增区间为函数
3

y ? 2 x ? x 的递减区间,考虑对数函数的定义域,得所求的单调递增区间为 ( ? ? , ?
2

1 2

)

选D 【解后反思】对复合函数的性质,一方面要考虑定义域,另一方面要有借助函数图象,用数 形结合的思想来解决问题. (10) f ( x ) 式定义在 R 上以 6 为周期的函数, f ( x ) 在 (0 , 3) 内单调递减, y ? f ( x ) 的 设 且 图像关于直线 x ? 3 对称,则下面正确的结论是 (A) f (1.5) ? f (3.5) ? f (6.5) (C) f (6.5) ? f (3.5) ? f (1.5) ( )

(B) f (3.5) ? f (1.5) ? f (6.5) (A) f (3.5) ? f (6.5) ? f (1.5)

【思路点拨】本题考查函数的周期性,单调性和对称性等性质,对相关概念有深刻的理解, 将自变量的值转化到同一个单调区间,借助图象进行处理.
) 【 正 确 解 答 】 函 数 图 象 关 于 直 线 x ? 3 对 称 , 则 有 f ( 3 ? x ) ? f ( 3? x , 因 此 有 f ( 3 . 5? f ) (? 3 0 .? ) 5 f ?( 3 0 . f5 ) ? (2.5) ,又因为函数周期为 6,因此 f (6.5) ? f (0.5) ,

f ( x ) 在 (0 , 3) 内单调递减,所以 f (3.5) ? f (1.5) ? f (6.5) ,选 B

【解后反思】直观的几何图形是解决问题的有效的重要方法之一,必须引起重视. 二、填空题(4 分 ? 6=24 分) (11)二项式 ( 3 x ?
1 x )
10

的展开式中常数项为



【思路点拨】本题考查二项式定理的通项公式,只要概念清楚和运算无误即可. 【正确解答】展开式的一般项为 C 1 0 ( 3 x ) ( ?
t t

1 x

)

10 ? t

,令

t 3

? (?

1 2

)(1 0 ? t ) ? 0 , t ? 6 ,因

此常数项为 C 1 0 ? 2 1 0 .
6

【解后反思】要注意符号因子不能丢. (12)已知 a ? 2, b ? 4 , a 和 b 的夹角为
? ?

?

?

?
3

,以 a , b 为邻边作平行四边形,则此平行 .
?
3

?

?

四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 【思路点拨】本题以向量为背景,考查余弦定理,要判断较短的一条应是 【正确解答】 | c | ? | a | ? | b | ? 2 | a | ? | b | co s C ? 4 ? 1 6 ? 2 ? 2 ? 4 ? co s
2 2 2

所对的对角线.
? 12

?

?

?

?

?

?
3

【解后反思】要正确向量的加减法则的几何意义,对向量 a =(x,y)的模有几种方法.①
? | a |?

?

? 2 ?2 2 2 x ? y ②| a | ? a .

4

(13)如图, P A ? 平 面 A B C , P
? A C B ? 90 且 P A ? A C ? B C ? a ,
?

则 异 面 直 线 PB 与 AC 于 . 见理第 12 题

所 成 的 角 的 正 切 值 等 A C

(14)在数列 { a n } 中, a1 ? 1, a 2 ? 2 ,且 a n ? 2 ? a n ? 1 ? ( ? 1)
( n ? N ) ,则 S 1 0 ?
*

n

B .

见理第 13 题 (15)设函数 f ( x ) ? ln
1? x 1? x

,则函数 g ( x ) ? f ( ) ? f ( ) 的定义域为
2 x

x

1



【思路点拨】本题考查复合函数定义域的求法,必须使常见各类函数都有意义,构成不等式 组来解. 【正确解答】由题意得
? 1? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? x 2 ?0 x 2 1 x ?0 1 x ??2 ? x ? 2 ? ? ? ? 2 ? x ? ? 1或 1 ? x ? 2 则所求定义域为 ( ? 2, ? 1) ? (1, 2) . ? x ? 1或 x ? ? 1

【解后反思】正确地解不等式组,将繁分式化简是一关键. (16)在三角形的每条边上各取三个分点(如图) .以 这 9 个分点为顶点可画出若干个三角形,若从中 任意抽取一个三角形,则其三个顶点分别落在原 三角形的三个不同边上的概率为 . 【思路点拨】本题考查等可能事件的概率,关键是要确定基本事件. 【正确解答】可画出的三角形个数为 C 9 ? 3 ? 8 1 ,三个顶点分别落在不同边上的个数为
3

C 3 ?C 3 ?C 3 ? 2 7 ,所求概率为
1 1 1

27 81

?

1 3

.
m n

【解后反思】理解和掌握等可能事件的概率的计算公式 P(A)= 个数是一难点. 三、解答题(共 6 小题,共 76 分) (17) (本小题满分 12 分) 已知 sin (? ?
?
4 )? 7 2 10 , co s 2 ? ? 7 25

,本题中构成三角形的

,求 sin ? 及 tan (? ?

?
3

).

5

【思路点拨】 本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力, 可从已知角和所求 角的内在联系(均含 ? )进行转换得到. 【正确解答】解法一:由题设条件,应用两角差的正弦公式得
7 10 2 ? sin( ? ?

?
4

) ?

2 2

(sin ? ? cos ? ) ,即 sin ? ? cos ? ?

7 5

① 由题设条件,应用二倍角余弦公式得
7 25 ? cos 2 ? ? cos
2

? ? sin ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? ?
2

7 5

(cos ? ? sin ? )

故 cos ? ? sin ? ? ?

1 5 3 5 4
王新敞
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② , cos ? ? ?

由①和②式得 sin ? ? 因此, tan ? ? ?
3 4

5

,由两角和的正切公式
3 3

tan( ? ?

?
3

)?

tan ? ? 1?

3

3? ? 1?

3 tan ?

4 ? 4 3 ? 3 ? 48 ? 25 11 3 3 4?3 3 4

解法二:由题设条件,应用二倍角余弦公式得 解得
sin
2

7 25

? cos 2 ? ? 1 ? 2 sin

2

? ,

? ?

9 25

,即 sin ? ? ?

3
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5

由 sin( ? ?

?
4

) ?

7 2 10

可得 sin ? ? cos ? ?

7
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5

由于 sin ? ?

7 5

? cos ? ? 0 ,且 cos ? ? sin ? ? 7 5 ? ? 4
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7 5

? 0 ,故?在第二象限 于是 sin ? ?
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3 5



从而 cos ? ? sin ? ?
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5

以下同解法一 【解后反思】在求三角函数值时,必须对各个公式间的变换应公式的条件要理解和掌握,注 意隐含条件的使用,以防出现多解或漏解的情形. (18) (本小题满分 12 分) 若公比为 c 的等比数列 { a n } 的首项 a1 ? 1 且满足 a n ? (I)求 c 的值; (II)求数列 { n a n } 的前 n 项和 S n . 【思路点拨】本题考查等比数列的通项公式及前 n 项和的求法.可根据其定义进行求解,要 注意①等比数列的公比 C 是不为零的常数②前 n 项和的公式是关于 n 的分段函数,对公比 C 是否为 1 加以讨论.
a n ?1 ? a n ? 3 2 ( n ? 3, 4, ? ) .

6

【正确解答】(Ⅰ)解:由题设,当 n ? 3 时, a n ? c a n ? 2 , a n ?1 ? ca n ? 2 ,
2

an ?

a n ?1 ? a n ? 2 2

?

1? c 2

a n?2 ,

由题设条件可得 a n ? 2 ? 0 ,因此 c ?
2

1? c 2

,即 2 c ? c ? 1 ? 0
2

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解得 c=1 或 c ? ?

1
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2

(Ⅱ)解:由(Ⅰ),需要分两种情况讨论, 当 c=1 时,数列 { a n } 是一个常数列,即 a n ? 1 (n?N )
*
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这时,数列 { n a n } 的前 n 项和 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 当c ? ?
1 2

n ( n ? 1)
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2 1 2 )
n ?1

时,数列 { a n } 是一个公比为 ?

1 2

的等比数列,即 a n ? ( ?

(n?N )
*

王新敞
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这时,数列 { n a n } 的前 n 项和
S n ? 1 ? 2(? 1 2 1 2 ? 1 2 Sn ? ? 1 2 ? 2(? 1 2 ) ? ? ? ( n ? 1)( ?
2

) ? 3( ?

1 2

) ? ? ? n(?
2

1 2

)

n ?1



① 式两边同乘 ?

,得
1 2 )
n ?1

? n(?

1 2

)

n



①式减去②式,得
1 2 1 2 1 2 1 2
n ?1

(1 ?

)S n ? 1 ? (?

) ? (?

) ? ? ? (?
2

)

? n(?

1 2

1 ? (? )
n

1 2 1 2

)

n

? 1?

? n(?

1 2

)

n

所以 S n ?

1 9

[ 4 ? ( ? 1)

n

3n ? 2 2
n ?1

] (n?N )
*

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【解后反思】本题是数列求和及极限的综合题.
? n a 1 ( q ? 1) ? (1)完整理解等比数列 ? a n ? 的前 n 项和公式: S n ? ? a 1 (1 ? q n ) ( q ? 1) ? ? 1? q

(2)要掌握以下几种情形的极限的求法.①利用 lim

1 n

n? ?

? 0 ②利用 lim q ? 0 ( q ? 1 )③要
n n? ?

掌握分类讨论的背景转化方法.如 q ? 1 时转化为 (19) (本小题满分 12 分)

1 q

? 1.

C1 A1 F A P
O C G B H

E B1

如 图 , 在 斜 三 棱 柱 A B C ? A1 B1C 1 中 ,
7

? A1 A B ? ? A1 A C , A B ? A C , A1 A ? A1 B ? a ,

侧面 B1 B C C 1 与底面 A B C 所成的二面角为 1 2 0 , E , F 分别是棱 B1C 1 , A1 A 的中点 (I)求 A1 A 与底面 A B C 所成的角; (II)证明 A1 E // 平 面 B 1 F C ; (III)求经过 A1 , A , B , C 四点的球的体积. 见理第 19 题 (20) (本小题满分 12 分) 某人在山坡 P 点处观看对面山顶上的一座铁塔,如图所示,塔高 B C ? 8 0 米,塔所在 的山高 O B= 220 米, O A ? 200 米,图中所示的山坡可视为直线 l 且点 P 在直线 l 上,
l 与水平面的夹角为 ? , tan ? ?

?

1 2

. 试问, 此人距水平地面多高时, 观看塔的视角 ? B P C

最大(不计此人身高)? 见理第 20 题 (21) (本小题满分 14 分) 已知 m ? R ,设
P : x 1 和 x 2 是方程 x ? ax ? 2 ? 0 的两个实根,不等式 m ? 5 m ? 3 ? x1 ? x 2 对任意
2
2

实数 a ? [ ? 1,1] 恒成立;
Q :函数 f ( x ) ? x ? m x ? ( m ?
3 2

4 3

) x ? 6 在 ( ? ? , ? ? ) 上有极值.

求使 P 正确且 Q 正确的 m 的取值范围. 【思路点拨】本题是组合题,考查一元二次方程的根的概念和导数的应用. 【正确解答】 (Ⅰ)由题设 x1 和 x 2 是方程 x ? ax ? 2 ? 0 的两个实根,得
2

x 1 + x 2 = a 且 x 1 x 2 =-2,

所以, | x 1 ? x 2 |?
2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

a

2

?8

当 a ?[-1,1]时, a ? 8 的最大值为 9,即 | x1 ? x 2 | ?3
2

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由题意,不等式 | m ? 5 m ? 3 |? | x1 ? x 2 | 对任意实数 a ?[? 式 | m ? 5 m ? 3 |? 3 的解集 由此不等式得
2
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1,1]恒成立的 m 的解集等于不等

m ? 5m ? 3 ? ?3
2

① ②
8



m ? 5m ? 3 ? 3
2

不等式①的解为 0 ? m ? 5 不等式②的解为 m ? 1 或 m ? 6 因为,对 m ? 1 或 0 ? m ? 5 或 m ? 6 时,P 是正确的
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(Ⅱ)对函数 f ( x ) ? x ? mx
3

2

? (m ?

4 3

) x ? 6 求导 f ' ( x ) ? 3 x ? 2 mx ? m ?
2

4 3

令 f ' ( x ) ? 0 ,即 3 x ? 2 mx ? m ?
2

4 3

? 0 此一元二次不等式的判别式
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? ? 4m

2

? 12 ( m ?

4 3

) ? 4m

2

? 12 m ? 16

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若?=0,则 f ' ( x ) ? 0 有两个相等的实根 x 0 ,且 f ' ( x ) 的符号如下: (-?, x 0 ) + 因为, f ( x 0 ) 不是函数 f ( x ) 的极值
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x0

( x 0 ,+?) +

0

若?>0,则 f ' ( x ) ? 0 有两个不相等的实根 x1 和 x 2 ( x1 < x 2 ),且 f ' ( x ) 的符号如下:

x
f '(x)

(-?, x1 ) ? +

x1

( x1 , x 2 ) ? -

x2

( x 2 ,+?) +

0

0

因此,函数 f( x )在 x = x1 处取得极大值,在 x = x 2 处取得极小值 综上所述,当且仅当?>0 时,函数 f( x )在(-?,+?)上有极值 由 ? ? 4 m ? 12 m ? 16 ? 0 得 m ? 1 或 m ? 4 ,
2
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因为,当 m ? 1 或 m ? 4 时,Q 是正确得

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综上,使 P 正确且 Q 正确时,实数 m 的取值范围为(-?,1)? ( 4 ,5 ] ? [ 6 , ?? )

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【解后反思】对恒成立问题的等价转换,相应知识的完整理解是关键.对 P 来说,转化为求 使 x1 ? x 2 的最大值时的范围,而要注意一次二次方程根存在的充要条件.对 Q 来说,
f ( x ) 的导函数存在的充要条件的理解是一难点,也是易错点.

(22) (本小题满分 14 分) 抛物线 C 的方程为 y ? a x ( a ? 0 ) ,过抛物线 C 上的一点 P ( x 0 , y 0 )( x 0 ? 0 ) 作斜率为
2

k 1 , k 2 的两条直线分别交抛物线 C 于 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 两点( P , A , B 三点互不相同) ,且

满足 k 1 ? ? k 2 ? 0( ? ? 0, ? ? ? 1) . (I)求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程;

9

(II)设直线 A B 上一点 M ,满足 B M ? ? M A ,证明线段 P M 的中点在 y 轴上; (III)当 ? ? 1 时,若点 P 的坐标为(1,-1) ,求 ? P A B 为钝角时点 A 的纵坐标 y 1 的取 值范围. 见理第 22 题.

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