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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第二章用平面向量坐标表示向量共线条件课件


2.2.3

2.2.3

用平面向量坐标表示向量共线条件

【学习要求】 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2.能根据平面向量的坐标,判断向量是否共线.
本 课 3.掌握三点共线的判断方法. 时 栏 【学法指导】 目 1.应用平面向量共线条件的坐标表示来解决向量的共线问题优 开 关 点在于不需要引入参数“λ”,从而减少了未知数的个数,而

且使问题具有代数化的特点、程序化的特征.具体运用时, 要注意向量的共线、平行与几何中的共线、平行的区别. 2. 平面向量共线的坐标表示定理中的“当且仅当”就是说若 x1y2 -x2y1=0,则 a,b 共线;反过来,若 a 与 b 共线,则 x1y2- x2y1=0.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.2.3

1.两向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2).
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(1)当 a∥b 时,有 x1y2-x2y1=0 . x1 y1 x2=y2 (2)当 a∥b 且 x2y2≠0 时,有

.即两向量的相应坐

标成比例. → → 2.若P1P=λPP2,则 P 与 P1、P2 三点共线. 当 λ∈ (0,+∞) 时, 位于线段 P1P2 的内部, P 特别地 λ=1 时,P 为线段 P1P2 的中点; 当 λ∈ (-∞,-1) 时,P 位于线段 P1P2 的延长线上; 当 λ∈ (-1,0) 时,P 位于线段 P1P2 的反向延长线上.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.2.3

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探究点一 平面向量共线的坐标表示 a 与非零向量 b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数 λ 使得 a=λb.那么这个共线向量定理如何用坐标来表示? 问题 1 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),如果 a∥b,那 么 x1y2-x2y1=0,请你写出证明过程. 答 ∵a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0. ∴x2,y2 不全为 0,不妨假设 x2≠0. ∵a∥b,∴存在实数 λ,使 a=λb, ?x =λx , ? 1 2 ? 即(x1,y1)=λ(x2,y2)=(λx2,λy2),∴ ?y1=λy2, ? x1 ∵x2≠0.∴λ= . x2 x1 x1y2 将 λ= 代入 y1=λy2 得 y1= ,即 x1y2-x2y1=0. x2 x2

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2.2.3

问题 2 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0,如果 x1y2-x2y1 =0,那么 a∥b.请你写出证明过程.
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答 ∵b≠0,∴x2,y2 不全为 0,不妨假设 x2≠0,则由 x1y2- x1 x2y1=0 得 y1= y2. x2
? x1 ? x1 ∴(x1,y1)=?x1,x y2?= (x2,y2) x2 ? 2 ?

x1 令 λ=x ,则 a=λb.所以 a∥b. 2

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探究点二 共线向量与中点坐标公式

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问题 1 设 P1、P2 的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),求线段 P1P2 的中点 P 的坐标. 答 如图所示,P 为 P1P2 的中点, → → ∴P1P=PP2, → → → → ∴OP-OP1=OP2-OP → 1 → → ∴OP=2(OP1+OP2) ?x1+x2 y1+y2? ? =? . , ? 2 2 ? ? ?
∴线段
?x1+x2 y1+y2? ? P1P2 的中点坐标是? ? 2 , 2 ?. ? ?

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2.2.3

问题 2 设 P1、P2 的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2).点 P 是线 段 P1P2 的一个三等分点,求 P 点的坐标.

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点P是线段P1P2的一个三等分点,分两种情况:

图2 → 1 → → → → → 1 → ①当P1P= P1P2时(如图1),OP=OP1+P1P=OP1+ P1P2 3 3 2→ 1→ → 1 → → =OP1+3(OP2-OP1)=3OP1+3OP2 ?2x1+x2 2y1+y2? ? =? , 3 ?; ? 3 ? ?

图1

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→ 2 → → → → → 2 → ②当P1P= P1P2时(如图2),OP=OP1+P1P=OP1+ P1P2 3 3 → 2 → → =OP1+ (OP2-OP1) 3 1→ 2→ = OP1+ OP2 3 3 ?x1+2x2 y1+2y2? ? =? , ? ?. 3 3 ? ?

2.2.3 研一研·问题探究、课堂更高效 问题3 已知△ABC的三个顶点坐标依次为A(x1,y1),B(x2,
y2),C(x3,y3).求△ABC的重心G的坐标. 答 如图,延长AG交BC于点D,
∵G为△ABC的重心,
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∴D为BC的中点, → 2 → 2?1 → 1 → ? ∴AG=3AD=3?2AB+2AC? ? ? 1→ 1→ =3AB+3AC, → → → → 1→ 1 → ∴OG=OA+AG=OA+ AB+ AC 3 3 1 → → → 1 → → =OA+ (OB-OA)+ (OC-OA) 3 3 1 → → → = (OA+OB+OC) 3 ?x1+x2+x3 y1+y2+y3? ? =? , ? ?. 3 3 ? ?

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探究点三 共线向量与线段分点坐标

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在平面直角坐标系中,我们可以利用共线向 量坐标之间的关系求解坐标. 如图所示, P 设 → P1P 点是直线 P1P2 上的一点,且 =λ. → PP2 问题 1 定比 λ 与分点位置的一一对应关系如下表: λ P 点位置 P 点名称 λ<-1 在 P1P2 的 延长线上 外分点 λ=-1 -1<λ<0 在 P2P1 的 不存在 延长线上 外分点 λ=0 与 P1 重合 始点

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2.2.3

λ
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0<λ<1 在 P1 与中点之间

λ=1 P为

λ>1 在中点 与 P2 之间

P点 位置 P点 名称

中点

内分点

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2.2.3

问题 2 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),试用 λ 及 P1,P2 点的坐标 表示 P(x,y)点的坐标. → → → → → 答 ∵OP=OP1+P1P=OP1+λPP2 → → → → → → =OP1+λ(OP2-OP)=OP1+λOP2-λOP, → → OP1+λOP2 1 λ → ∴OP= = (x1,y1)+ (x2,y2) 1+λ 1+λ 1+λ ? 1 ? 1 ? ? λ λ ? ? ? =?1+λx1,1+λy1?+?1+λx2,1+λy2? ? ? ? ? ? ?x1+λx2 y1+λy2? ? , =? . ? 1+λ 1+λ ? ? ?
?x1+λx2 y1+λy2? ? , ∴P? . ? 1+λ 1+λ ? ? ?

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[典型例题]

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例 1 已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a- 3b 平行?平行时它们是同向还是反向?

解 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
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a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), ∵ka+b 与 a-3b 平行, 1 ∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得 k=- . 3
此时
? 1 2 ? 1 ka+b=?-3-3,-3+2?=-3(a-3b), ? ?

1 ∴当 k=-3时,ka+b 与 a-3b 平行,并且反向. 小结 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条
件进行判断,特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时,要 注意坐标之间的搭配.

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→ 跟踪训练 1 已知 A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断AB → 与CD是否共线?如果共线,它们的方向相同还是相反? → 解 AB=(0,4)-(2,1)=(-2,3), 本 → 课 CD=(5,-3)-(1,3)=(4,-6).
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方法一

∵(-2)×(-6)-3×4=0,

且(-2)×4<0, → → ∴AB与CD共线且方向相反. → → → → 方法二 ∵CD=-2AB,∴AB与CD共线且方向相反.

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例2

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已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断 A,B,C 三

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点之间的位置关系. → → → 解 ∵AB=OB-OA=(1,3)-(-1,-1)=(2,4), → → → AC=OC-OA=(2,5)-(-1,-1)=(3,6), → → 又 2×6-3×4=0,∴AB∥AC. ∵直线 AB、AC 有公共点 A,
∴A、B、C 三点共线.
小结 利用共线向量是判断三点共线的一种常用方法,其实质 是从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共 线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的,而利 用共线向量更加简捷.

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2.2.3

跟踪训练 2 已知三点 A(1,2),B(2,4),C(3,m)共线,试求 m 的值. → 解 AB=(2,4)-(1,2)=(1,2). → AC=(3,m)-(1,2)=(2,m-2). → → ∵A,B,C 三点共线,即向量AB,AC共线, → → ∴存在实数 λ 使得AB=λAC,
即(1,2)=λ(2,m-2)=(2λ,λm-2λ).
?2λ=1, ? ∴? ?λm-2λ=2. ?

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? 1 ?λ= , ?? 2 即 m=6 时,A,B,C 三点共线. ?m=6. ?

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例 3 已知点 A(3,-4)与点 B(-1,2),点 P 在直线 AB 上,且 → → |AP|=2|PB|,求点 P 的坐标.

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设 P 点坐标为(x,y). → → → → → → ∵|AP|=2|PB|,∴AP=2PB或AP=-2PB. → → 当AP=2PB时,(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),
?x-3=-2-2x ? ∴? ?y+4=4-2y ?

? 1 ?x= ? ? 3 ,∴P 点坐标为?1,0?. ,解得? ?3 ? ?y=0 ?

→ → 当AP=-2PB时, 则(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y), ?x-3=2+2x ?x=-5 ? ? ? ∴ ,解得? . ?y+4=-4+2y ?y=8 ? ?

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∴P 点坐标为(-5,8). ?1 ? 综上,点 P 的坐标为?3,0?或(-5,8). ? ?
小结 在求有向线段分点坐标时,不必过分强调公式记忆,可

以转化为向量问题后解方程组求解,同时应注意分类讨论.

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2.2.3

→ → 跟踪训练 3 已知点 A(1,-2),若向量AB与 a=(2,3)同向,|AB| =2 13,求点 B 的坐标. → → 解 设AB=(x,y),AB与 a 同向, → ∴AB=λa (λ>0),即(x,y)=λ(2,3), ?x=2λ, ? → ∴? 又|AB|=2 13, ?y=3λ, ?
∴x2+y2=52.∴4λ2+9λ2=52,λ=2 (λ>0).

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→ 即AB=(4,6).∴点 B 的坐标为(5,4).

练一练·当堂检测、目标达成落实处

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1. 下列各组的两个向量共线的是 A.a1=(-2,3),b1=(4,6) B.a2=(1,-2),b2=(7,14) C.a3=(2,3),b3=(3,2) D.a4=(-3,2),b4=(6,-4)
-3 2 解析 ∵ 6 = ,∴a4∥b4,故选 D. -4

( D )

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2. 已知 a=(-1,2),b=(2,y),若 a∥b,则 y 的值是 ( D )
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A.1

B.-1

C.4

D.-4

解析 ∵a∥b,∴(-1)×y-2×2=0,∴y=-4.

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2.2.3

→ → 3. 若点 A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)三点共线,则使AB=λBC 成立的实数 λ 的值为
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( D )

A.-2 B.0 C.1 D.2 → → 解析 AB=(2,4),BC=(x-1,2), → → ∵A,B,C 三点共线,∴AB与BC共线, → ∴2×2-4(x-1)=0,∴x=2,∴BC=(1,2). → → ∴AB=2BC,∴λ=2.
故选 D.

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→ → → 4. 已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),如果 A、
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-2或11 B、C 三点共线,则实数 k=________. → → → 解析 ∵OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k), → → ∴AB=(4-k,-7),BC=(6,k-5),
∵A、B、C 三点共线,
∴(4-k)(k-5)-(-7)×6=0,解得 k=-2 或 k=11.

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2.2.3

1.两个向量共线条件的表示方法 已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2)
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(1)当 b≠0,a=λb. (2)x1y2-x2y1=0. x1 y1 (3)当 x2y2≠0 时,x =y ,即两向量的相应坐标成比例. 2 2
2.向量共线的坐标表示的应用 两向量共线的坐标表示的应用,可分为两个方面. (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平 行、 共线知识, 可以证明三点共线、 直线平行等几何问题. 要 注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.

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2.2.3

(2)已知两个向量共线,求点或向量的坐标,求参数的值,求轨
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迹方程.要注意方程思想的应用,向量共线的条件,向量相等 的条件等都可作为列方程的依据.


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