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数学奥林匹克高中训练题(53)(精编)


数学奥林匹克高中训练题(53)
第 一 试 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.已知 n、s 是整数,若不论 n 是什么整数,方程 x ? 8nx ? 7 ? 0 没有整数解,则所有这样的数 s
2 s

的集合是 ( ) (A) 奇数集 (B) 所有形如6k+1(k ∈Z) 的数集 (C) 偶数集 (D) 所有形如4k+3(k∈ Z) 的数 集 2. 某个货场有1997辆车队等待装货, 要求第一辆车必须装9箱货物, 每相邻的4辆车装货总数为34箱, 为满足上述要求,货物的箱数至少为( ) (A)16966 (B)16975 (C)16984 (D)17009 3.已知非常数数列 ?ai ? 满足 ai ?1 ? ai ai ?1 ? ai ? 0 ,且 ai ?1 ? ai ?1 , i ? 1, 2, ? , n ,对于给定的正整数
2 2

n, a1 ? an ?1 ? 1 ,则 (A)2

? a 等于(
i ?0 i

n ?1

) (C)1 (D)0
k

(B)-1
2

5985 ?? ? ?2 4.已知α,β是方程 ax ? bx ? c ? 0( a, b, c 为实数)的两根,且α是虚数, 是实数,则 ? ? ? ? k ?1 ? ? ?

的值是 ( (A)1

) (B) 2
2

(C) 0
2

(D) 3i
2 2 2 2

5. 若 a ? b ? c ? abc, A ? (A)3 (B)-3

?1 ? b ??1 ? c ? ? ?1 ? c ??1 ? a ? ? ?1 ? a ??1 ? b ? , 则 A 的值是 (
bc ca ab
(C)4 (D)-4

)

6.设 xi ? ?1, 2, ? , n?? i ? 1, 2, ? , n ? ,满足

?x
i ?1

n

i

?

n ? n ? 1? , x1 x2 ? xn ? n ! ,使 x1 , x2 , ? , xn 一定是 2

1, 2, ? , n 的一个排列的最大数 n 是 (

)

(A)4 (B)6 (C)8 (D)9 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1. 已知凸多边形 A1A2…An 的面积为定值 S, 周长为定值 l, 设点 P 是凸多边形内一点, P 到直线 A1A2 的距离为 h1,到直线 A2A3的距离为 h2,…,到直线 An-1An 的距离为 hn-1,到直线 AnA1的距离为 hn. 若存在点 P 使得

a a1 a2 ? ? ? ? n ? ai ? Ai Ai ?1 , i ? 1, 2, ? , n ? 1, an ? An A1 ? 取得最小值,则此凸多边 h1 h2 hn

形一定符合条件 . 2.已知 a 为正整数,存在一个以 a 为首项系数的二次整数系数的多项式,它有两个小于1的不同的 正根,那么 a 的最小值是 .

1

3.已知 F ? a, ? ? ? 小值分别是

a 2 ? 2a sin ? ? 2 ? a,? ? R, a ? 0 ? ,那么对于任意的 a,? , F ? a,? ? 的最大值和最 a 2 ? 2a cos ? ? 2
和 .
2

4.已知 t ? 0 ,关于 x 的方程为 x ? t ? x ?

2 ,则在各种情况下这个方程的相异实根的总个数

是 . 5.已知集合{1,2,3,…,3n-1,3n},可以分为 n 个互不相交的三元组{x,y,z},其中 x+y =3z,则满足上述 要求的两个最小的正整数 n 是 和 . 6.任意给定一个正整数 k,一定存在整数 n,使得 xn+x+1被 xk+x+1整除,则这样的有序数对(n,k) 是 . 三、解答题(本题满分60分,每小题20分) 1.(本题满分20分)过正方体的某条对角线的截面面积为 S,试求

S max 之值. S min

D1 A1 R A D B E Q B1

C1 P

C

2.(本题满分20分)数列 ?an ? 定义如下: a1 ? 3, an ? 3

an?1

? n ? 2? .

试求 an ? n ? 2 ? 的末位数.

2

3.(本题满分20分)已知 a, b, c ? R 且 a ? b ? c ? 1 . 证明:

?

13 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4abc ? 1 . 27

第 二 试 一、(本题满分50分)已知△ABC,内心为 I,外接圆为⊙O,点 B 关于⊙O 的对径点为 K,在 AB 的 延长线上取点 N,CB 的延长线上取点 M,使得 MC=NA=s,其中 s 为△ABC 的半周长. 证明:IK⊥MN.

3

二 、 ( 本 题 满 分 50 分 )M 是 直 角 坐 标 平 面 上 所 有 点 (x , y) 的 集 合 , 其 中 x , y 均 是 整 数 , 且

1 ? x ? 12,1 ? y ? 13 .
证明:不少于49个点的集合 M 的每一个子集,必包含一个矩形的4个顶点,且此矩形的边平行于坐 标轴.

三、(本题满分50分)实系数多项式 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c 满足 b ? 0, ab ? 9c .
3 2

试判别此多项式是否有三个不同的实根,并说明理由.

4


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