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河北省邢台市2013-2014学年第一学期期末考试高二文科数学试题


河北省邢台市 2013-2014 学年第一学期期末考试高二文科数学试题
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
? 1.曲线 y =sin x 在 x = 处的切线方程是 2 A. y =0 B. y = x ? 1 C. y = x D. y =1

2.把 89 化为二进制数,其结果为 A. 1001101 B.1100101 C.1011011 D.1011001 3.已知一个容量为 n 的样本若干组,若某组的频数和频率分别是 30 和 0.25,则 n= A.120 B.118 C.110 4.如图,根据下列算法语句,当输入 x 为 60 时,输出 y 的值为 A. 25
2

D.100 INPUT x IF x <=50 THEN y =0.5 * x ELSE

B. 30

C.31

D. 61

5. 命题“?x∈R, x ? x ? 0 ”的否命题是 A. ? x 0∈R, x02 ? x0 ? 0 B. ? x 0∈R, x02 ? x0 ? 0 C. ? x ∈R, x ? x ? 0
2

y =25+0.6*( x -50)
END IF PRINT y END

D. ? x ∈R, x ? x ? 0
2

6.已知回归直线斜率的估计值为 1.23,样本点的中心为点(4,5) ,则回归直线的方程为

? ? 1.23x ? 4 A. y

? ? 1.23x ? 5 B. y

? ? 1.23x ? 0.08 C. y

? ? 0.08 x ? 1.23 D. y

7.已知一组数据按从小到大的顺序排列为-1,0,4, x ,6,15,且这组数据的中位数是 5,那么这组数据的众数是 A.5 B. 6 C. 4 D. 5.5 8.若执行如图所示的框图,输入 x1 ? 2,x2 ? 3,x3 ? 4,x ? 3 ,则输出的数等于 A.0 C. 2 3 B. 1 3

D. 1

9.设 F1,F2 是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,P 是 C 上一点,若 a 2 b2
B. 2 C. 5 D.2 3

|PF1|+|PF2|=6 a ,|PF1|>|PF2|,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为 A. 3 10.对集合 A={1,2}, B={1, 2, 3}及平面上的点 P(a, b)(a ? A, b ? B) , 记 “ M (a, b) 落在直线 x + y =3 或 x + y =4 上”为事件 P, 若事件 P 发生的概率为 A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 5 6

1

11. 函数 f ( x) ?

1 3 ax ? ax 2 ? x ? 3 有极值的充要条件是 3
B. a >1 C. 0< a <1 D.

A. a >1 或 a ≤0

a >1 或 a <0

,, 5] b ?[2, 4] ,则方程 12. 若 a ?[1

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 2 的椭圆的概率为 2 a b
C. 17 32 D. 31 32

A.

1 2

B.

15 32

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡中的横线上. 13.为了丰富同学们的课余生活,某中学开展了诸多社团服务, 社团 现用分层抽样的方法从“文学” 、 “街舞” 、 “魔术” 、 “羽毛 文学 球” 四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组,有关数 据见下表(单位:人) ,则 a ? b ? c ? 14.已知抛物线 y 2 ? 4 x 焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 M, 3 MN,则∠NMF=_____. 2 街舞 魔术 羽毛球 若 N 为该抛物线上一点,且 NF=

相关人数 24 18 b 12

抽取人数

a
3 5 c

15.右面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩, 其中一个数字被污损了,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩 概率为___________.

x2 y 2 6 16.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过椭圆上一点 M 作直线 MA、MB 分别交椭圆于 A,B 3 a b
两点,且斜率分别为 k1,k2,若点 A,B 关于原点对称,则 k1·k2= ___________. 三、解答题 17.(本小题满分 10 分)
2 已知命题 P:关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 4 ? 0 对一切 x∈R 恒成立;Q:指数函数 f ? x ? ? ? 3 ? 2a ? 是增
x

函数,若 P 或 Q 为真,P 且 Q 为假,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出 60 名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段[40, 50) 、[50,60) 、?、[90,100)后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (Ⅰ)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试数学成绩的平均分.
2

19. (本题满分 12 分) 甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (Ⅰ)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师性别相同 的概率. (Ⅱ) 若从报名的 6 名教师中任选 2 名, 写出所有可能的结果, 并求选出的 2 名教师来自同一学校的概率. 20. (本题满分 12 分) 某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 x 在 1,2,3,?,24 这 24 个整数中的等可能随机产生. (Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 Pi ( i =1,2,3) ; (Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行 n 次后,统计记录了输出 y 的 值为 i ( i =1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据. 甲的频数统计表(部分) 运行 输出 y 的值 输出 y 的值 输出 y 的值 次数 n 为 1 的频数 为 2 的频数 为 3 的频数 30 … 2100 14 … 1027 6 … 376 10 … 697

乙的频数统计表(部分) 运行 输出 y 的值 输出 y 的值 输出 y 的值 次数 n 为 1 的频数 为 2 的频数 为 3 的频数 30 … 2100 12 … 1051 11 … 696 7 … 353

当 n=2100 时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i ( i =1,2,3)的频率(用 分数表示) ,并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.

3

21.(本题满分 12 分)

x2 y 2 5 如图,椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 e ? ,过 F1 的直线交椭 a b 5
圆于 M、N 两点,且?MNF2 的周长为 4 5. (I)求椭圆 E 的方程; 40 (II)已知过椭圆中心,且斜率为 k(k≠0)的直线与椭圆交于 A、B 两点,若 △ APB 的面积为 ,求 9 k 的值.

22. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? (1 ? a ) x ?

1 2 x , a ∈R. 2

(I)当 0< a <1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间和极值; (II)当 x ? [

1 e

, ?? ) 时, f ( x) ≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围



4

邢台市 2013--2014 学年上学期期末考试

高二年级文科数学试题参考答案
一.选择题 二、填空题 三、解答题 17.解:设 g ? x ? ? x2 ? 2ax ? 4 ,由题意,函数 g ? x ? 的图像是开口向上且与 x 轴没有公共点的抛物线,故 DDACB 13.36 14. CBCAC DB

? 6

15.

4 5

16. ?

1 3

? ? 4a2 ?16 ? 0,??2 ? a ? 2 .
又因为函数 f ? x ? ? ? 3 ? 2a ? 是增函数, ?3 ? 2a ? 1,? a ? 1 .
x

若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,则 p 和 q 一真一假.

??2 ? a ? 2 ? (I)若 p 真 q 假,则 ? 3 , 1? a ? ? ? 2
(II)若 p 假 q 真,则 ?

?1 ? a ?

3 ; 2

?a ? ?2或a ? 2 , a ?1 ?

? a ? ?2 ;

综上可知,实数 a 的取值范围 1 ? a ? 18. (I)略 (II)71

3 或 a ? ?2 . 2

19. 解: (I)所有可能的结果略。选出的两名教师性别相同的概率为 P

?

4 9 ? 2 5

(II)所有可能的结果略。选出的两名教师来自同一学校的概率为 P

20. 解: ? ? ? 变量 x 是在 1,2,3,??24 这 24 个整数中随机产生的一个数,共有 24 种可能. 当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数中产生时,输出 y 的值为 1,故 P 1

?

1 ; 2

当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时,输出 y 的值为 2,故 P 2

?

1 ; 3

当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生时,输出 y 的值为 3,故 P 3

?

1 . 6

? ?? ? 当 n ? 2100 时,甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i ? 1, 2,3) 的频率如下:
输出 y 的值 为 1 的频率 输出 y 的值 为 2 的频率
5

输出 y 的值

为 3 的频率 甲 乙

1027 2100 1051 2100

376 2100 696 2100

697 2100 353 2100

比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. 21. 解 : ( I ) 由 题 意 , MN ? MF2 ? NF2 ? 4 5 , 即 MF1 ? NF 1 ? MF 2? NF 2 ?4 5 ,又

MF 1 ? MF 2 ?

N1F ?

N ? 2 ,所以 a 4a ? 4 5, a ? 5 ,而 e ? 2F

5 2 2 2 ,? c ? 1 , b ? a ? c ? 4 ,从 5

而椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? =1. 5 4

(II)设 AB 所在直线方程为 y ? kx(k ? 0) , A( xA,y A ) .

? x2 y 2 20 20k 2 ? 1, 2 ? ? 2 x ? y ? 解方程组 ? 5 得 , , 4 A A 2 2 4 ? 5 k 4 ? 5 k ? y ? kx, ?
20 20k 2 20(1 ? k 2 ) 80(1 ? k 2 ) 2 2 ? ? 所以 OA ? x ? y ? . AB ? 4 OA ? , 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2
2 2 A 2 A

OP ?

2

20(1 ? k 2 ) . 4k 2 ? 5
1 1 80(1 ? k 2 ) 20(1 ? k 2 ) ? 40 ? 2 2 ? AB ?OP ? ? ? = ? ,? k ? ?1 4 4 4 ? 5k 2 4k 2 ? 5 ? ? 9 ?
( x ? 1)( x ? a) x
2

由于 S

2 △ APB

22. 解: ? ? ? f ?( x) ? 当 x 变化时,

f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:
a
0 极大值

x
f ?( x ) f ( x)

(0, a )
+ 递增

(a,1)
— 递减

1 0 极小值

(1, ??)
+ 递增 由上表可知, 函数

f ( x) 的增区间:

(0, a)和(1, ??) ,减区间 ? a,1?
y极大 ? f (a) ? a ln a ?
1 a2 ? a , y极小 ? f (1) ? ? ? a 2 2
6

1 1 ? ?? ? x ? [ , ??) 时, f ( x) ? 0 恒成立 ? x ? [ , ??) 时, f ( x) min ? 0 e e 1? ( x ? 1)( x ? a) ? 由 ? ? ? 知 f ?( x) ? x? ? ? x e? ? 1 ?1 ? 若 a ? ,则 f ( x) 在 ? ,1? 上递减, ?1, ?? ? 上递增 e ?e ? 1 1 ? f ( x) min ? f (1) ? ? ? a ? 0 ? a ? ? 2 2 1 ?1 ? 若 ? a ? 1 ,则 f ( x) 在 ? , a ? , ?1, ?? ? 上递增,在 ? a ,1? 上递减 e ?e ?

f ( x) 的最小值在 x ?

1 或 x ? 1 处取得 e

要使

f ( x) min

? 1 ?f( )?0 ? 0 ,需 ? e ? ? f (1) ? 0

1 ? 2e ? a ? 2 ? ? 2 e ? 2e 即? ? a ? ?1 ? ? 2

与a

?

1 矛盾,故舍去 e

若a

?1 ? ? 1,则 f ( x) 在 ? , ?? ? 上递增 ?e ?

1 1 ? 4e ? 2e2 ? f ( x)min ? f ( ) ? ? 0 舍去 e 2e2 ?1 ? 若 a ? 1 ,则 f ( x) 在 ? ,1? , ? a, ?? ? 上递增,在 (1, a) 在递减 ?e ?
要使

f ( x) min

? 1 ?f( )?0 ? 0 ,需 ? e ? ? f (a) ? 0



1 1 ? 2e f ( ) ? 0得a ? 2 ? 0 与 a ? 1矛盾,不符合题意 e 2e ? 2e

7

综上所述

a??

1 2



1 1 ? 2e f ( ) ? 0得a ? 2 ? 0 与 a ? 1矛盾,不符合题意 e 2e ? 2e

综上所述

a??

1 2

8


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