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2015高中自主招生数学试卷2


2014 高中自主招生数学试卷 2
班级 一、选择题 1.如图,分别是由若干个完全相同的小正方体组成的一 个几何体的主视图和俯视图, 则组成这个几何体的小正方 体的个数是( A.3 个或 4 个 C.5 个或 6 个 ) B.4 个或 5 个 D.6 个或 7 个 主视图 (第 1 题) ) 俯视图 姓名

2. 直角三角形纸片的两直角边长分别为 6, 8, 现将 △ ABC 如图那样折叠, 使点 A 与点 B 重合,折痕为 DE ,则 tan ?CBE 的值是( A.

24 7 7 24

B.

7 3
1 3

C.

D.

3.某商店的老板销售一种商品,他 要以高于进价 20%的价格才能出售, 但为了获得更多利润, 他以高出进价 80%的价格标价, 若你想买下标价为 360 元的这种商品,最多降价多少,商店老板才能出售?( ) A.80 元 B.100 元 C.120 元 D.160 元

4.若 A(a,b) , B ( ,c) 两点均在函数 y ? 为( )A.正数 B.负数 C.零

1 a

1 的图像上,且 ?1 < a ? 0 ,则 b - c 的值 x
D.非负数

5.甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会 4×100 米接力跑比赛,如果任意安排四位 同学的跑步顺序,那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是( A.
1 4



B.

1 6

C.

1 8

D.

1 12

6.如图,AB 是半圆的直径,点 C 是弧 AB 的中点,点 E 是弧 AC 的中点,连结 EB、CA 交于 点 F,则

EF =( BF 1 B. 4



A.

1 3

2 C. 1 ? 2

D.

2 ?1 2

(第 6 题)

1

二.填空题 7.在同一坐标平面内,图像不可能 由函数 y ? 3 x 2 ? 1 的图像通过平移变换、轴对称变换 ... 得到的二次函数的一个解析式是 .

8.甲、乙两家汽车销售公司根据近几年的销售量,分别制作如下统计图: 从 2004 年到 2008 年,这两家公司中销售量增长较快的是 __________.(填: 甲公司或乙 公司)

9. 已 知 , a ? b ? 4n ? 2 , ab ? 1 , 若 19a 2 ? 147 ab ? 19b 2 的 值 为 2009 , 则

n?

. .

10.将自然数按以下规律排列,则位于第六行第四十五列的数是

11.等腰三角形的一条腰上的高线等于该三角形某一条边的长度的一半,则其顶角的度数 等于 。
2

12.已知点 A,B 的坐标分别为(1,0) , (2,0) .若二次函数 y ? x ? (a ? 3) x ? 3 的图像与线段 AB 只有一个交点,则 a 的取值范围是 三.解答题 。

? 1? 13.(1)计算: ?22 ? (tan 60 ? 1) ? 3 ? ? ? ? ? (??) 0 ? 2 ? 3 ? 2?
2

?2

(2)先化简,再求值:

a ?1 a 1 ? 2 ? ,其中 a ? 1 ? 2 . a ? 1 a ? 2a ? 1 a

14.如图,在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,E、F 分别在 AD 及其延长线上, CE∥BF,连 接 BE、CF. (1)求证:△BDF≌△CDE; (2)若 AB=AC,求证:四边形 BFCE 是菱形.

15.如图所示,A、B 两地之间有一条河,原来从 A 地到 B 地需要经过桥 DC,沿折线 A→D →C→B 到达, 现在新建了桥 EF, 可直接沿直线 AB 从 A 地到达 B 地. 已知 BC=12km, ∠A=45°, ∠B=37°.桥 DC 和 AB 平行,则现在从 A 地到达 B 地可比原来少走多 少路程? (结果精确到 0.1km. 参考数据: 2 ? 1.41 , sin37°≈0.60, cos37°≈0.80)
D C E F
37°

A
45°

B

3

x 2 ? kx ? 3 16.在正实数范围内,只存在一个数是关于 x 的方程 ? 3 x ? k 的解,求实数 k x ?1
的取值范围.

17.团体购买某 “素质拓展训练营”的门票,票价如表(a 为正整数) : 团体购票人数 每人门票价 1~50 a元 51~100 (a?3)元 100 以上 (a?6)元

⑴某中学高一(1) 、高一(2)班同学准备参加“素质拓展训练营”活动,其中高一(1) 班人数不超过 50,高一(2)的人数超过 50 但不超过 80。当 a=48 时,若两班分别购 票,两班总计应付门票费 4914 元;若合在一起作为一个团体购票,总计支付门票费 4452 元。问这两个班级各有多少人? ⑵某校学生会现有资金 4429 元用于购票,打算组织本校初三年级团员参加该项活动。为 了让更多的人能参加活动,学生会统一组织购票,购票资金恰好全部用完,且参加人 数超过了 100 人,问共有多少人参加了这一活动?并求出此时 a 的值。

4

18、某房地产开发公司计划建 A、B 两种户型的住房共 80 套,该公司所筹资金不少于 2090 万元,但不超过 2096 万元,且所筹资金全部用于建房,两种户型的建房成本和售价如 下表: A 成本(万元/套) 售价(万元/套) 25 30 B 28 34

(1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案? (2)该公司如何建房获得利润最大? (3)根据市场调查,每套 B 型住房的售价不会改变,每套 A 型住房的售价将会提高 a 万元(a>0),且所建的两种住房可全部售出,该公司又将如何建房获得利润最大?(注: 利润=售价-成本)

19、如图,△ABC 内接于⊙O,且 AB=AC,点 D 在⊙O 上,AD⊥AB 于点 A, AD 与 BC 交于 点 E,F 在 DA 的延长线上,且 AF=AE. (1)试判断 BF 与⊙O 的位置关系,并说明理由; B (2)若 BF=5, cos ?C ?
4 ,求⊙O 的直径. 5

O E D C A F

5

20.如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上,OA=10 厘米, OC=6 厘米,现有两动点 P,Q 分别从 O,A 同时出发,点 P 在线段 OA 上沿 OA 方向 作匀速运动,点 Q 在线段 AB 上沿 AB 方向作匀速运动,已知点 P 的运动速度为 1 厘 米/秒. 1 (1)设点 Q 的运动速度为 2 厘米/秒,运动时间为 t 秒, ① 当△ CPQ 的面积最小时,求点 Q 的坐标; ② 当△ COP 和△ PAQ 相似时,求点 Q 的坐标. (2)设点 Q 的运动速度为 a 厘米/秒,问是否存在 a 的值,使得△ OCP 与△ PAQ 和△ CBQ 这两个三角形都相似?若存在,请求出 a 的值,并写出此时点 Q 的坐标;若不存 在,请说明理由.

6

26.解: (1)①S△CPQ=S 矩形 OABC?S△OCP?S△PAQ?S△BCQ 1 1 1 1 1 1 2 =60?2 ×6×t?2 (10?t)· 2 t?2 ×10(6?2 t)= 4 t ?3t+30 1 =4 (t?6)2+21(0≤t≤10) 故当 t=6 时,S△CPQ 最小值为 21, 此时 点 Q 的坐标为(10,3). 1 t OC QA 6 2 ②如图,当∠1=∠2 时,OP = PA ,∴ t = 10?t 1 ∴2 t2+6t?60=0 解得 t1= ?6+2 39 , t2= ?6?2 39 (舍去) 因此,当 t= ?6+2 39 或 7 时,

6 10?t 当∠1=∠3 时, t = 1 ,解得 t=7, t 2

7 即当 Q 点的坐标为(10,?3+ 39 )或(10, 2 )时 △ COP 与△PAQ 相似。 ⑵设 P、Q 运动时间为 t 秒,则 OP=t, AQ=at.
7

OC PA BC 6 10?t 10 当∠1=∠3=∠4 时,OP =AQ =BQ , t = a t = 6?a t 4 8 解得 t1=2, t2=18(舍去),此时 a=3 , Q 点的坐标为(10, 3 ) ②当∠1=∠3=∠5 时,∠CPQ=∠CQP=90?不成立; OC AQ BC ③当∠1=∠2=∠4 时,OP = PA =BQ , 6 at 10 t =10?t =6?a t

得 5t2?36t+180=0, △<0, 方程无实数解; ④当∠1=∠2=∠5时,由图可知∠1=∠PCB>∠5, 故不存在这样的 a 值; 综上所述, 存在 a 的值, 使得△OCP 与△PAQ 和△CBQ 这两个三角形都相似, 4 8 此时 a=3 , Q 点的坐标为(10, 3 ) 22.解:⑴人数不超过 100 人,费用至多 4800 元,所以两个班的总人数超过 100 人。 又 4452÷42=106 人 设两个班人数分别为 x 人、y 人。有 x+y=106, 则 ?

? x ? y ? 106 ?48 x ? 45 y ? 4914

解得 ?

? x ? 48 ? y ? 58

故两个班的人数分别 48 人和 58 人。

⑵设初三年级参加活动的团员有 b 人(b>100) ,为了让更多的人能参加活动, 应选择购买 100 人以上的团体票。 则有 b(a?6)=4429 因为 a、b 为正整数,则上式可变形为 b(a?6)=4429=43×103 100 则? 又因为 b>

G D E F C

?a ? 6 ? 43 ?a ? 49 解得 ? ?b ? 103 ?b ? 103

A

故参加活动的人数为 103,a 的值为 49。

B
16、 (10 分)解:(1)设 A 种户型的住房建 x 套,则 B 种户型的住房建(80-x)套. 由题意知 2090≤25x+28(80-x)≤2096 48≤x≤50 ∵ x 取非负整数, ∴ x 为 48,49,50. ∴ 有三种建房方案:

O

8

A 型 48 套,B 型 32 套;A 型 49 套,B 型 31 套;A 型 50 套,B 型 30 套?4 分 (2)设该公司建房获得利润 W(万元). 由题意知 W=5x+6(80-x)=480-x ∴ 当 x=48 时,W 最大=432(万元) 即 A 型住房 48 套,B 型住房 32 套获得利润最大???????????7 分 (3)由题意知 W=(5+a)x+6(80-x)=480+(a-1)x, ∴ 当 O<a<l 时, x=48,W 最大, 即 A 型住房建 48 套,B 型住房建 32 套, 当 a=l 时,a-1=O,三种建房方案获得利润相等 当 a>1 时,x=50,W 最大,即 A 型住房建 50 套,B 型住房建 30 套???10 分

9


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