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2015届高三第一次半月考数学试题(文)答


2015 届高三第一次半月考数学试题(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1. 设全集为 R,集合 A={x|x2-9<0},B={x|-1<x≤5},则 A∩(?RB)=( C ) A.(-3,0) B.(-3,-1) C.(-3,-1] D.(-3,3) 2. 下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( A ) 1 - A.f(x)= 2 B.f(x)=x2+1C.f(x)=x3 D.f(x)=2 x x 3.设 a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则( B ) A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b 4. 下列叙述中正确的是( D ) A.若 a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0” B.若 a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c” C.命题“对任意 x∈R,有 x2≥0”的否定是“存在 x∈R,有 x2≥0” D.l 是一条直线,α,β 是两个不同的平面,若 l⊥α,l⊥β ,则 α∥β 5.已知 f′ (x)是 f(x)的导函数,在区间[0,+ ? )上 f′ (x)<0,且偶函数 f(x)满足

1 f (2 x ? 1) ? f ( ) ,则 x 的取值范围是( C ) 3 2 1 1 2 A. ( , ?? ) B. (??, ) C. (??, ) ? ( , ??) 3 3 3 3

D. ( , ) ) D.ω=2,θ=- ) π 6

1 2 3 3

π 6.如下图所示,函数 y=2sin(ωx+θ)(|θ|< )的图象,那么( A 2 π π π 10 10 A.ω=2,θ= B.ω= ,θ=- C. ω= ,θ= 6 11 6 11 6

7.在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x>0),g(x)=logax 的图像可能是( D

A

B

C D 8.将函数 f(x)= 3sin2x-cos2x 的图象向右平移 θ(θ>0)个单位,所得函数是奇函数,则实 数 θ 的最小值为( D π A. 6 5π B. 6 ) π C. 12 5π D. 12

1

π π 9.已知函数 f(x)=2sinωx 在区间[- , ]上的最小值为-2,则 ω 的取值范围是( B 3 4 9 A.(-∞,- ]∪[6,+∞) 2 C.(-∞,-2]∪[6,+∞) 10. 若 0<x1<x2<1,则( C ) 3 B.(-∞,-2]∪[ ,+∞) 2 9 3 D.(-∞,- ]∪[ ,+∞) 2 2

)

A.ex2-ex1>ln x2-ln x1 B.ex2-ex1<ln x2-ln x1 C.x2ex1>x1ex2 D.x2ex1<x1ex2 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请把正确答案填在题中横线上) 16? 4 5 4 27 11. ? ?81? +log34+log35=____ 8 ____ e ,x<1, ? ? 12. 设函数 f(x)=? 1 则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是__ x≤8.______. ? ?x3,x≥1, e2 2 14. 已知函数 f(x)=x2+mx-1,若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,则实数 m 的 13. 曲线 y=ex 在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 2 ? ,0 ____. 2 ? 15 . 若 函 数 f(x)(x∈R) 是 周 期 为 4 的 奇 函 数 , 且 在 [0 , 2] 上 的 解 析 式 为 f(x) = 取值范围是____ -
?x(1-x),0≤x≤1, ? 29? ?41? 5 ? 则 f? +f? 6 ?=___ 4 ? ? 16 ? sin π x , 1< x ≤ 2 , ?
x- 1
- 3

? ?

___.

16.下面有五个命题: ①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 π; kπ ②终边在 y 轴上的角的集合是{α|α= ,k∈Z}; 2 ③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点; π π ④把函数 y=3sin(2x+ )的图象向右平移 个单位得到 y=3sin2x 的图象; 3 6 π ⑤函数 y=sin(x- )在[0,π]上是减函数. 2 其中真命题的序号是___①④_____. 17.规定[x]表示不超过 x 的最大整数,例如[2,3]=2, [-2.7]=-3,函数 y=[x]的图象与函数 y=ax 的图象在[0,2014)内有 2014 个交点, 则 a 的取值范围是__(

2013 ,1]______. 2014

三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 18.(本题满分 12 分) 已知 p: 函数 y=x2+mx+1 在 (﹣1, +∞) 上单调递增, q: 函数 y=4x2+4 (m﹣2)x+1 大于 0 恒成立.若 p∨ q 为真,p∧q 为假,求 m 的取值范围. 解:若函数 y=x +mx+1 在(﹣1,+∞)上单调递增,则﹣ ≤﹣1, ∴ m≥2,即 p:m≥2
2 2

…(3 分)
2

若函数 y=4x +4(m﹣2)x+1 大于 0 恒成立,则△ =16(m﹣2) ﹣16<0, 解得 1<m<3,
2

即 q:1<m<3 ∵ p∨ q 为真,p∧q 为假,∴ p、q 一真一假 当 p 真 q 假时,由 得 m≥3

…(6 分) …(7 分) …(9 分)

当 p 假 q 真时,由

得 1<m<2

…(11 分)

综上,m 的取值范围是{m|m≥3 或 1<m<2} …(12 分) 1 19.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)=ax+ 2(x≠0,常数 a∈R). x (1)讨论常数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[3,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围. 解:(1)定义域(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称; 1 当 a=0 时,f(x)= 2,满足对定义域上任意 x,f(-x)=f(x), x ∴a=0 时,f(x)是偶函数; 当 a≠0 时,f(1)=a+1,f(-1)=1-a, 若 f(x)为偶函数,则 a+1=1-a,a=0 矛盾, 若 f(x)为奇函数,则 1-a=-(a+1),1=-1 矛盾, ∴当 a≠0 时,f(x)是非奇非偶函数. (2)任取 x1>x2≥3,f(x1)-f(x2) 1 1 =ax1+ 2-ax2- 2 x1 x2 2 x2 2-x1 =a(x1-x2)+ 2 2 x1x2 x1+x2 =(x1-x2)(a- 2 2 ), x1x2 ∵x1-x2>0,f(x)在[3,+∞)上为增函数, x1+x2 1 1 ∴a> 2 2 ,即 a> 2+ 2 在[3,+∞)上恒成立, x1x2 x1x2 x1x2 1 1 2 2 ∵ 2+ 2 < ,∴a≥ . x1x2 x1x2 27 27 20(本题满分 13 分) 已知 a=(cosx+sinx,sinx),b=(cosx-sinx,2cosx),设 f(x)=a· b. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)由 y=sinx 的图象经过怎样变换得到 y=f(x)的图象,试写出变换过程; π (3)当 x∈[0, ]时,求函数 f(x)的最大值及最小值. 2 解:(1)∵f(x)=a· b =(cosx+sinx)(cosx-sinx)+2sinxcosx =cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x π = 2sin(2x+ ), 4 ∴f(x)的最小正周期 T=π. π π (2)把 y=sinx 的图象上所有点向左平移 个单位得到 y=sin(x+ )的图象; 再把 y=sin(x 4 4 π π 1 + )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变得到 y=sin(2x+ )的图象;再把 4 2 4 π y=sin(2x+ )的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍,横坐标不变得到 y= 2sin(2x+ 4
3

π ). 4 π π π 5 (3)∵0≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤ π. 2 4 4 4 π π π ∴当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)有最大值 2, 4 2 8 π 5 π 当 2x+ = π,即 x= 时,f(x)有最小值-1. 4 4 2
21.(本题满分 13 分)已知函数

f ( x) ? m sin x ? 2 cos x(m ? 0) 的最大值为 2.

(1)求函数 f ( x) 在 [0, ? ] 上的单调递减区间; (2)△ABC 中, f ( A ?

?

) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B ,角 A、B、C 所对的边分别是 a、 4 4

?

b、c,且 C=60?,c=3,求△ABC 的面积. 【解析】(1)由题意, f ( x) 的最大值为 m 2 ? 2 ,所以 m 2 ? 2=2 .
π 而 m ? 0 ,于是 m ? 2 , f ( x) ? 2sin( x ? ) . 4 π π 3π f ( x) 为递减函数,则 x 满足 2kπ+ ≤ x ? ≤ 2kπ+ 2 4 2 π 5π 即 2kπ+ ≤ x ≤ 2kπ+ ?k ? Z? . 4 4
?π ? 所以 f ( x) 在 ? 0,π ? 上的单调递减区间为 ? ,π ? . ?4 ?

?k ? Z? ,

(2)设△ABC 的 外接圆半径为 R ,由题意,得 2 R ?
π π 化简 f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B ,得 4 4
sin A ? sin B ? 2 6 sin A sin B .

c 3 ? =2 3 . sin C sin 60

由正弦定理,得 2 R ? a ? b ? ? 2 6ab , a ? b ? 2ab .
2



由余弦定理,得 a 2 ? b 2 ? ab ? 9 ,即 ? a ? b ? ? 3ab ? 9 ? 0 . ② 将①式代入②,得 2 ? ab ? ? 3ab ? 9 ? 0 .
2

3 解得 ab ? 3 ,或 ab ? ? (舍去). 2

3 3 1 . ab sin C ? 4 2 x 22.(本题满分 14 分) 已知函数 f(x)=e ﹣1﹣x. (1)求 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程;
S?ABC ?

(2)若存在 x ? ? ?1, ln ? ,使 a﹣e +1+x<0 成立,求 a 的取值范围; 3

? ?

4? ?

x

4

(3)当 x≥0 时,f(x)≥tx 恒成立,求 t 的取值范围. x 解(1)∵ 函数 f(x)=e ﹣1﹣x. x f′ (x)=e ﹣1,f(1)=e﹣2,f′ (1)=e﹣1. ∴ f(x)在(1,f(1) )处的切线方程为 y﹣e+2=(e﹣1) (x﹣1) , 即 y=(e﹣1)x﹣1. (3 分) (2)a<e ﹣1﹣x,即 a<f(x) . x 令 f′ (x)=e ﹣1=0,x=0. ∵ x>0 时,f′ (x)>0,x<0 时,f′ (x)<0. ∴ f(x)在(﹣∞,0)上减,在(0,+∞)上增. 又 时,
x

2

∴ f(x)的最大值在区间端点处取到, , , ∴ ∴ f(x)在 故 a 的取值范围是 , 上最大值为 , , (8 分)
x 2

(3)由已知得 x≥0 时,e ﹣x﹣1﹣tx ≥0 恒成立, x 2 设 g(x)=e ﹣x﹣1﹣tx . x ∴ g′ (x)=e ﹣1﹣2tx. x 由(2)知 e ≥1+x,当且仅当 x=0 时等号成立, 故 g′ (x)≥x﹣2tx=(1﹣2t)x,从而当 1﹣2t≥0, 即 时,g′ (x)≥0(x≥0) ,∴ g(x)为增函数,又 g(0)=0,
2

于是当 x≥0 时,g(x)≥0,即 f(x)≥tx ,∴ 由 e >1+x(x≠0)可得 e >1﹣x(x≠0) ,从而当 =e (e ﹣1) (e ﹣2t) , 故当 x∈(0,ln2t)时,g′ (x)<0, ∴ g(x)为减函数,又 g(0)=0,
﹣x

时符合题意. (11 分) 时,g′ (x)<e ﹣1+2t(e ﹣1)
x
﹣x

x

﹣x

x

x

于是当 x∈(0,ln2t)时,g(x)<0,即 f(x)≤tx , 故 ,不符合题意.综上可得 t 的取值范围为 (14 分)

2

5


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