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山东省兖州市高二数学上学期期末考试试题 理


兖州高二数学(理科)检测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷 (非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.“ a >0”是“ a >0”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 2. 不等式 ? x ? 5x ? 6 ? 0 的解集为(
2 2

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B. {x | ?1 ? x ? 6} D. {x | x ? ?6或x ? 1} ( ②若 a ? b ,则 )

A. {x | x ? 6或x ? ?1} C. {x | ?6 ? x ? 1} 3.下列命题正确的个数有 ①若 a ? 1, 则

1 ?1 a
2

1 1 ? a b

③对任意实数 a ,都有 a ? a A.1 个 4. 双曲线 B.2 个

2 2 ④若 ac ? bc ,则 a ? b

C.3 个 ( )

D.4 个

x2 ? y 2 ? 1? a ? 0 ? 的离心率为 3 ,则 a 的值是 a
B. 2 C.

A.

1 2

2 2
S5 ? S2

D.

2

5.设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 A.11 6.下列说法错误 的是 .. ( B.5 )

( D. ?11

)

C. ?8

A.如果命题“ ?p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题
2 B.命题 p : ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 2 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? 2x ? 2 ? 0

2

C. 命题“若 a , b 都是偶数, 则 a ? b 是偶数”的否命题是 “若 a , b 都不是偶数, 则a ? b不 是偶数”

D.特称命题 “ ?x ? R ,使 ?2 x ? x ? 4 ? 0 ”是假命题
2

7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( A.



4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

8.给出命题: “已知 a 、 b 、 c 、 d 是实数,若 a ? b且c ? d , 则a ? c ? b ? d ”.对原命题、逆 命题、否命题、逆否命题而言,其中真命题( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 9.抛物线 y ? ax2 的准线方程是 y ? 1 ,则 a 的值为 A.4 B. ? 4 C. ? ( ) D. D.4 个

1 4

1 4


?x ? y ? 1 ? 10.设 x , y 满足约束条件 ? y ? x ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ? y ? ?2 ?
A. 5
B.3



C. 7

D. -8

11.在△ABC 中,

cos A a ? ,则△ABC 一定是 cos B b
B.直角三角形 C.等腰直角三角形

(

)

A.等腰三角形

D.等边三角形

x x 12. 已知命题 p : 存在 x ? (??,0) , 2 ? 3 ; 命题 q :?ABC 中, 若 sin A ? sin B , 则A?B,

则下列命题中为真命题的是( ) A. p 且 q B. p 或( ? q )

C. ( ? p )且 q

D. p 且( ? q )

第Ⅱ卷

(非选择题

共 90 分)

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填写在题中横线上). 13.已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? 40 , a4 ? a5 ? a6 ? 20 ,则前 9 项之和等于 .

x2 y2 ? ? 1 的焦距为 2,则 m 的值为 14. 椭圆 m 4
15.已知 x, y ? R ? ,且满足

.

x y ? ? 1 ,则 xy 的最大值为 3 4

.

16.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3x , 它的一个焦点与抛物 a 2 b2
.

线 y 2 ? 16 x 的焦点相同,则双曲线的方程为

三 、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).

17.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b 若不等式 f ( x) ? 0 的解集是 ?x | 2 ? x ? 3? ,求不等式

bx2 ? ax ? 1 ? 0 的解集.

18. ( 本小题满分 12 分) 已知命题 p : 关于 x 的不等式 x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 的解集为空集 ? ; 命题 q : 函数 y ? (a ? 1) x 为增函数,若命题 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,求实数 a 的取值范围.

19. ( 本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 为等差数列,前 n 项和为 S n ,已知 a 2 ? 2 , S5 ? 15 , (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ?

an 2n

,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

20. (本小题满分 12 分

在锐角 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,且 3a ? 2c ? sin A ,(Ⅰ) 求角 C ; (Ⅱ)若边 a ? 3 , △ ABC 的面积等于

3 3 , 求边长 b 和 c . 2

21. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴上,且抛物线上有一点 P (4, m )到焦点的距 离为 5. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若抛物线 C 与直线 y ? x ? 4 相交于不同的两点 A、B,求证: OA ? OB .

22. (本小题满分 14 分) 设 A, B 是椭圆 3x 2 ? y 2 ? ? 上的两点,点 N (1,3) 是线段 AB 的中点,线段 AB 的垂直平分线 与椭圆交于 C , D 两点. (Ⅰ)当 ? ? 3 时,过点 P(0,1)且倾斜角为 长; (Ⅱ)确定 ? 的取值范围,并求直线 CD 的方程.

? 的直线与椭圆相交于 E、F 两点,求 EF 的 3

高二期末考试数学试题(理科)参考答案
一、选择题:ADBAD CBACC AC

二、填空题:13.70 三 、解答题:

14. 5 或 3

15.3

16.

x2 y 2 ? ?1 4 12

17 解:因为不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集是 ?x | 2 ? x ? 3? ,所以
2

x ? 2, x ? 3 是方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的解,
由韦达定理得: a ? 5, b ? 6 ,
2
2

…… 2 分

………………………6 分

故不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 为 6 x ? 5x ? 1 ? 0 ,………………………7 分 解不等式 6 x ? 5x ? 1 ? 0 得其解集为 ? x | x ?
2

? ?

1 1? , 或x ? ? . 3 2?

……12 分

18 解:命题 p :关于 x 的不等式 x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 的解集为空集 ? , 所以 (a ? 1) 2 ? 4 ? 0 ,即 a 2 ? 2a ? 3 ? 0, 所以 ? 1 ? a ? 3, …………………………………2 分 …………………………………3 分 4分

则 p 为假命题时: a ? ?1 或 a ? 3 ;………………………………… 由命题 q :函数 y ? (a ? 1) 为增函数,
x

所以 a ? 1 ? 1 ,所以 a ? 2 ,………………………………… 5 分 则 q 为假命题时: a ? 2 ;………………………………… 6 分 命题 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,所以 p 、 q 中一真一假,………………………8 分 若 p 真 q 假,则 ? 1 ? a ? 2, …………………………………9 分 若 p 假 q 真,则 a ? 3 ,…………………………………11 分 所以实数 a 的取值范围为 ? 1 ? a ? 2 或 a ? 3 . …………………………………12 分 19 解: (Ⅰ)由 ?

? a2 ? 2 ? a ?d ?2 ……………………3 分 ?? 1 ?S 5 ? 15 ?5a1 ? 10d ? 15
………………………4 分 ………………………5 分

? a1 ? 1, d ? 1

? an ? n
(Ⅱ) bn ?

an n ? n n 2 2

1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n ① 2 2 2 2 1 1 2 3 n Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ② ………………………7 分 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n ①-②得 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ………………………9 分 2 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ] 1 2 ? n ? 1 ? 1 ? n ………………………11 分 Tn ? 2 1 2 2 n ?1 2 n 2 n ?1 1? 2 1 n Tn ? 2 ? n ?1 ? n ………………………12 分 2 2 20 解(Ⅰ)由 3a ? 2c sin A 及正弦定理得, 3 sin A ? 2 sin C sin A Tn ?
得 sin C ?

3 , 2

………………………4 分

因为 ?ABC 是锐角三角形,? C ?

?
3

………………………6 分

(Ⅱ)由面积公式得 S ?

1 1 ? 3 3 …………………8 分 absin C ? ? 3 ? b sin ? 2 2 3 2

所以

1 3 3 3 ,得 b ? 2, ……………9 分 ? 3? b ? ? 2 2 2
2 2 2

由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C ? 9 ? 4 ? 2 ? 3 ? 2 ? cos 所以 c ?

?
3

=7…………………11 分

7

… …………………………………12 分

21 解: (Ⅰ)由题意设抛物线方程为 y 2 ? 2 px ( p ? 0) ,其准线方程为 x ? ? ∵ P (4, m )到焦点的距离等于 A 到其准线的距离,? 4 ? ∴抛物线 C 的方程为 y ? 4 x
2

p ,…2 分 2

p ? 5,? p ? 2 2

.

………………………4 分

(Ⅱ)由 ?

? y 2 ? 4x 2 ,消去 y ,得 x ? 12x ? 16 ? 0 ( * ) ……………………6 分 y ? x ? 4 ?

∵直线 y ? x ? 4 与抛物线相交于不同两点 A、B,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则有

k OA ?

y1 y , k OB ? 2 x1 x2

,则 k OA ? k OB ?

y1 y 2 ………………………8 分 ? x1 x2

因为 x1 x2 ? y1 y 2 ? x1 x2 ? ( x1 ? 4)(x2 ? 4) ? x1 x2 ? x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16………9 分

由方程( * )及韦达定理代入上式得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 16 ? 16 ? 4 ? 12 ? 16 ? 0 ………11 分 所以 k OA ? k OB ?

y1 y 2 ? ? ?1 ,即 OA ? OB x1 x 2
y2 ?1 3

……………………12 分

2 22 解: (Ⅰ)当 ? ? 3 时,椭圆 3x 2 ? y 2 ? 3, 即 x ?

,

直线 EF 的方程为: y ? 3x ? 1 , ……………………2 分 设 E(x1,y1),F(x2,y2)

? ? y ? 3x ? 1 ? 3x 2 ? 3x ? 1 ? 0 …… ……………………4 分 ? 2 2 ? ?3x ? y ? 3

? x1 ? x 2 ? ?

3 1 , x 1 ? x 2 ? ? …… ……………………5 分 3 3 2 15 …… ……………………7 分 3

? EF ? x 1 ? x 2 1 ? k 2 ?

(Ⅱ)依题意,可设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 3 , 代入 3x ? y ? ? ,整理得
2 2

(k 2 ? 3) x2 ? 2k (k ? 3) x ? (k ? 3)2 ? ? ? 0 ①

……………………9 分

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是方程①的两个不同的根

2k (k ? 3) 2 2 ,且 ? ? 4[? (k ? 3) ? 3(k ? 3) ] ? 0 ② 2 k ?3 x ? x2 ?1 由 N (1,3) 是线段 AB 的中点,得 1 2
∴ x1 ? x2 ? ∴ k (k ? 3) ? k ? 3
2

……………11 分

……………………12 分 ……………………13 分

解得 k ? ?1 代入②得 ? ? 12 ,即 ? 的取值范围是 (12, ??) 于是,直线 CD 的方程 x-y+2=0 ……………………14 分


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