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2009年高考试题——数学理(安徽卷)解析版


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2009 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷第 1 至第 2 页。第 II 卷 第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡 上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的 地方填写姓名和座位号后两位。 2.答第 I 卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮檫干净后,在选涂其他答案标号。 3.答第 II 卷时,必须使用用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔 迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字 笔描清楚。必须在标号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、 草稿纸上答题无效。 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。
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参考公式:

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如果事件 A、B 互斥,那么

S 表示底面积,h 表示底面上的高 棱柱体积 棱锥体积

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P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A、B 相互独立,那么

V ? Sh
V?

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1 Sh 3

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P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
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第 I 卷(选择题
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共 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。
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(1)i 是虚数单位,若 (A)-15 [解析]

1 ? 7i ? a ? bi (a, b ? R) ,则乘积 ab 的值是 2?i
(B)-3 (C)3 (D)15

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1 ? 7i (1 ? 7i)(2 ? i) ? ? ?1 ? 3i ,∴ a ? ?1, b ? 3, ab ? ?3 ,选 B。 2?i 5

(2)若集合 A ? x | 2 x ? 1|? 3 , B ? ? x (A) ? x ?1 ? x ? ? 1 或2 ? x ? 3? ? ? 2 ? ?

?

?

? 2x ?1 ? ? 0 ? , 则 A∩B 是 ? 3? x ?

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(B)

?x 2 ? x ? 3? (C)

? 1 ? ? x ? ? x ? 2? ? 2 ?

(D) ? x ?1 ? x ? ? 1 ? ? ?
? 2?

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[解析]集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2}, B ? {x | x ? ? 或x ? 3} ,∴ A ? B ? {x | ?1 ? x ? ? } 选 D (3)下列曲线中离心率为 6 的是
2
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1 2

1 2

(A)

x2 y 2 ? ?1 2 4

(B)

x2 y 2 ? ?1 4 2

2 2 (C) x ? y ? 1

4

6

2 2 (D) x ? y ? 1

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4

10

[解析]由 e ?

b2 3 b2 1 6 c2 3 得 2 ? ,1 ? 2 ? , 2 ? ,选 B 2 a 2 a 2 a 2
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(4)下列选项中,p 是 q 的必要不充分条件的是 (A)p: a ? c >b+d , (B)p:a>1,b>1 (C)p: x=1, q: a >b 且 c>d
x

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q: f ( x) ? a ? b(a ? 0,且a ? 1) 的图像不过第二象限 q: x ? x
2
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(D)p:a>1, q: f ( x) ? log a x(a ? 0,且a ? 1) 在 (0, ??) 上为增函数 [解析]:由 a >b 且 c>d ? a ? c >b+d,而由 a ? c >b+d a >b 且 c>d,可举反例。选 A
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(5)已知 ? an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,以 S n 表示 ? an ? 的前 n 项和, 则使得 S n 达到最大值的 n 是 (A)21 (B)20
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(C)19

(D) 18

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[ 解 析 ] : 由 a1 + a3 + a5 =105 得 3a3 ? 105, 即 a3 ? 35 , 由 a2 ? a 4 ? a 6 =99 得 3a4 ? 99 即

? an ? 0 a4 ? 33 ,∴ d ? ?2 , an ? a4 ? (n ? 4) ? (?2) ? 41 ? 2n ,由 ? 得 n ? 20 ,选 B ? an ?1 ? 0
(6)设 a <b,函数 y ? ( x ? a) ( x ? b) 的图像可能是
2
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[解析]: y ? ( x ? a)(3x ? 2a ? b) ,由 y ? 0 得 x ? a, x ?
/

/

值 0,当 x ?

2a ? b 时 y 取极小值且极小值为负。故选 C。 3

2a ? b ,∴当 x ? a 时, y 取极大 3

或当 x ? b 时 y ? 0 ,当 x ? b 时, y ? 0 选 C (7)若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? ?
?3 x ? y ? 4 ? ?x ? 0

4 分为面积相等的两部分, 3

则 k 的值是

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(A)

7 3

(B)

3 7

(C)

4 3

(D)

3 4

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[解析]:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC

B

y

?x ? 3y ? 4 4 由? 得 A(1,1) ,又 B(0,4) ,C(0, ) 3 ?3 x ? y ? 4

y=kx+ 3 D C O A x

4

1 4 4 ∴ S △ABC= (4 ? ) ?1 ? ,设 y ? kx 与 3x ? y ? 4 的 2 3 3 1 2 1 5 交点为 D,则由 S?BCD ? S ?ABC ? 知 xD ? ,∴ yD ? 2 3 2 2 5 1 4 7 ∴ ? k ? ? , k ? 选 A。 2 2 3 3

(8)已知函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交点 的距离等于 ? ,则 f ( x) 的单调递增区间是 (A) [k? ? ? , k? ? 5? ], k ? Z 12 12 (C) [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z 3 6 [解析]: f ( x) ? 2sin(? x ? 由 2k? ?

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(B) [k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z 12 12 (D) [k? ? ? , k? ? 2? ], k ? Z 6 3
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?
6

) ,由题设 f ( x) 的周期为 T ? ? ,∴ ? ? 2 ,

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

得, k? ?

?
3

? x ? k? ?
2

?
6

, k ? z ,故选 C

(9)已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x ? 8 x ? 8 ,则曲线 y ? f ( x) 在点

(1, f (1)) 处的切线方程是
(A) y ? 2 x ? 1

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(B) y ? x
2

(C) y ? 3x ? 2

(D) y ? ?2 x ? 3
2

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[解析]:由 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x ? 8 x ? 8 得 f (2 ? x) ? 2 f ( x) ? (2 ? x) ? 8(2 ? x) ? 8 , 即 2 f ( x) ? f (2 ? x) ? x ? 4 x ? 4 ,∴ f ( x) ? x ∴ f ( x) ? 2 x ,∴切线方程为
2

2

/

y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 选 A
(10)考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点 中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于
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(A)

1 75

(B)

2 75

(C)

3 75
2

(D)

4 75

[解析] 如图,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线,共有 C6 ? C6 ? 15 ?15 ? 225
2

?B ?
C

?F

种不同取法,其中所得的两条直线相互平行但不重合有
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?E ?A

?D

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AC // DB, AD // CB, AE // BF , AF // BE, CE // FD, CF // ED
共 12 对,所以所求概率为 p ?

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12 4 ,选 D ? 225 75

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(理科)
第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置。
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(11)若随机变量 X ~ N ( ? , ? ) ,则 P( X ? ? ) =________.
2

[解析]

1 2

(12)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单 位。已知直线的极坐标方程为 ? ?

?

? x ? 1 ? 2 cos ? ( ? 为参数) ( ? ? R) ,它与曲线 ? 4 ? y ? 2 ? 2sin ?
开始
2 2

相交于两点 A 和 B,则|AB|=_______. [解析] 直线的普通方程为 y ? x ,曲线的普通方程 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 ∴ | AB |? 2 2 ? (
2

a ?1

|1 ? 2 | 2 ) ? 14 1?1


a ? 2a ? 1 a ?1
是 输出 a

(13) 程序框图(即算法流程图)如图所示,其输出结果是_______. [解析] 由程序框图知,循环体被执行后 a 的值依次为 3、7、15、31、 63、127,故输出的结果是 127。 (14)给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120 . 如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动. 若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? y 的最大值是________. [解析]设 ?AOC ? ?

0

0

?

??? ?

??? ?

o

??? ?

结束

????

??? ?

??? ?

???? ??? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ?OC ? OA ? xOA ? OA ? yOB ? OA, ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ???? ??? ?OC ? OB ? xOA ? OB ? yOB ? OB, ?





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1 ? ?cos ? ? x ? 2 y ? ? ?cos(1200 ? ? ) ? ? 1 x ? y ? ? 2
∴ x ? y ? 2[cos ? ? cos(1200 ? ? )] ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ?

?
6

)?2

(15)对于四面体 ABCD,下列命题正确的是_________ (写出所有正确命题的编号) 。 1 相对棱 AB 与 CD 所在的直线异面; ○ 2 ○由顶点 A 作四面体的高,其垂足是 ? BCD 的三条高线的交点; 3 ○若分别作 ? ABC 和 ? ABD 的边 AB 上的高,则这两条高所在直线异面; 4 ○分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点; ○最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。 5 [解析]①④⑤ 三.解答题;本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在 答题卡上的答题区域内. (16) (本小题满分 12 分)
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在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB= (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积.

1 . 3

本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力。本小 题满分 12 分 解: (Ⅰ) C ? A ? 由

? ? B , C ?A ? ?? B , A ? ? , si A ?( 且 ∴ ∴ n si n 2 4 2

? B 2 B ? ? (o sin ? ) cs ) 4 2 2 2
C

B , 2

3 1 1 ∴ sin A ? (1 ? sin B) ? ,又 sin A ? 0 ,∴ sin A ? 3 2 3
2

(Ⅱ)如图,由正弦定理得

AC BC ? sin B sin A

A

B

AC sin A ∴ BC ? ? sin B

6? 1 3

3 3 ? 3 2 ,又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3 1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3

∴ S?ABC ?

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(17) (本小题满分 12 分) 某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感,其中只有 A 到过疫区.B 肯定是受 A 感染的.对于 C,因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的,于是假定他受 A 和受 B 感染的概率 都是

1 1 .同样也假定 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是 .在这种假定之下,B、C、D 中直接受 A .. 2 3

感染的人数 X 就是一个随机变量.写出 X 的分布列(不要求写出计算过程),并求 X 的均值(即数 学期望). 本小题主要考查古典概型及其概率计算,考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均 值的概念,通过设置密切贴近现实生活的情境,考查概率思想的应用意识和创新意识。体现 数学的科学价值。本小题满分 12 分。 解:随机变量 X 的分布列是 X 1 2 3

1 3 1 1 1 11 X 的均值为 EX ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 3 2 6 6
P 附:X 的分布列的一种求法

1 2

1 6

共有如下 6 种不同的可能情形,每种情形发生的概率都是 ① A—B—C—D ② A—B—C └D ③ A—B—C └D ④ A—B—D └C

1 : 6
⑤ A—C—D └B ⑥

在情形①和②之下,A 直接感染了一个人;在情形③、④、⑤之下,A 直接感染了两个人;在 情形⑥之下,A 直接感染了三个人。 (18) (本小题满分 13 分) 如图,四棱锥 F-ABCD 的底面 ABCD 是菱形,其对角线 AC=2, BD= 2 ,AE、CF 都与平面 ABCD 垂直,AE=1,CF=2. (I)求二面角 B-AF-D 的大小; (II)求四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD 公共部分的体积. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置 关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识, 考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决 立体几何问题的能力。本小题满分 13 分。 解:I)综合法) (( 连接 AC、 交于菱形的中心 O, O 作 OG ? AF, BD 过 G 为垂足。 连接 BG、 DG。 BD ? AC, ? CF 得 BD ? 平面 ACF, 由 BD 故 BD ? AF。 于是 AF ? 平面 BGD,所以 BG ? AF,DG ? AF, ? BGD 为二面角 B-AF-D 的平面角。 由 FC ? AC , FC ? AC ? 2 ,得 FAC ?

?
4

, OG ?

2 2

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由 OB ? OG, OB ? OD ?

2 ? ,得 ?BGD ? 2?BGO ? 2 2

(向量法)以 A 为坐标原点, BD 、 AC 、 AE 方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空 间直角坐标系(如图)

??? ?

????

??? ?

?? ??? ? ? ?? ?n1 ? AB ? 0 ?? 2 x ? y ? 0 ? 设平面 ABF 的法向量 n1 ? ( x, y, z ) ,则由 ? ?? ??? 得? 2 ? n1 ? AF ? 0 ?2 y ? 2 z ? 0 ? ? ?
令 z ? 1,得 ?

? x ? ? 2 ?? ? , n1 ? (? 2, ?1,1) ? y ? ?1 ?

同理,可求得平面 ADF 的法向量 n2 ? ( 2, ?1,1) 。 由 n1 ? n2 ? 0 知,平面 ABF 与平面 ADF 垂直, 二面角 B-AF-D 的大小等于

?? ?

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?? ?? ?

? 。 2

(II)连 EB、EC、ED,设直线 AF 与直线 CE 相交于点 H,则四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD 的 公共部分为四棱锥 H-ABCD。 过 H 作 HP⊥平面 ABCD,P 为垂足。 因为 EA⊥平面 ABCD, FC⊥平面 ABCD, 所以平面 ACFE⊥平面 ABCD, , 从而 P ? AC, HP ? AC.

HP HP AP PC 2 ? ? ? ? 1, 得 HP ? 。 CF AE AC AC 3 1 又因为 S菱形ABCD ? AC ? BD ? 2, 2

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故四棱锥 H-ABCD 的体积 V ? (19) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

1 2 2 S菱形ABCD ? HP ? . 3 9

2 ? a(2 ? ln x), (a ? 0) ,讨论 f ( x) 的单调性. x
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本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性,考查分类讨论的思想方 法和运算求解的能力。本小题满分 12 分。 解: f ( x) 的定义域是(0,+ ? ), f ?( x) ? 1 ?
2

2 a x 2 ? ax ? 2 ? ? . x2 x x2
2

设 g ( x) ? x ? ax ? 2 ,二次方程 g ( x) ? 0 的判别式 ? ? a ? 8 . ① 当 ? ? a2 ? 8 ? 0 , 0 ? a ? 2 即 2 是增函数。 ② 当 ? ? a 2 ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时, 仅对 x ? 2 有 f ?( x) ? 0 ,对其余的 x ? 0 都有 f ?( x) ? 0 , 此时 f ( x) 在 (0, ??) 上也是增函数。 ③ 当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时,
2
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时, 对一切 x ? 0 都有 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0, ??) 上

方程 g ( x) ? 0 有两个不同的实根 x1 ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , x2 ? , 0 ? x1 ? x2 . 2 2
( x1 , x2 )
_

x
f ?( x)
f ( x)

(0, x1 )
+ 单调递增 ?

x1
0 极大

x2
0 极小

( x 2 , ??)
+ 单调递增

单调递减 ?

此时 f ( x) 在 (0,

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) 上单调递增, 在 ( , ) 是上单调递减, 在 2 2 2

(

a ? a2 ? 8 , ??) 上单调递增. 2

(20) (本小题满分 13 分) 点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 与直线 l1 :

x2 y 2 ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上, x0 ? a cos ? , y0 ? b sin ? , 0 ? ? ? . 直线 l 2 2 a b 2

x0 y0 x ? 2 y ? 1 垂直,O 为坐标原点,直线 OP 的倾斜角为 ? ,直线 l 2 的倾斜角为 ? . 2 a b
x2 y 2 ? ? 1与直线 l1 的唯一交点; a 2 b2
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(I)证明: 点 P 是椭圆

(II)证明: tan ? , tan ? , tan ? 构成等比数列. 解:本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程,直线和曲线的几何性质,等比数列 等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分 13 分。
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解: (方法一)由 (I)

b2 x0 y0 x2 y 2 x ? 2 y ? 1 得 y ? 2 (a 2 ? x0 x), 代入椭圆 2 ? 2 ? 1 , a y0 a b a2 b

得(

1 b 2 x0 2 2 2b 2 x0 b2 ? 4 2 ) x ? 2 x ? ( 2 ? 1) ? 0 . a 2 a y0 a y0 y0

将?

? x0 ? a cos ? 2 2 2 代入上式,得 x ? 2a cos ? ? x ? a cos ? ? 0, 从而 x ? a cos ? . ? y0 ? b sin ?

? x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 ? x ? x0 ?a b 因此,方程组 ? 有唯一解 ? ,即直线 l1 与椭圆有唯一交点 P. ? y ? y0 ? x0 x ? y0 y ? 1 ? a2 b2 ?

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(方法二)显然 P 是椭圆与 l1 的交点,若 Q (a cos ?1 , b sin ?1 ), 0 ? ?1 ? 2? 是椭圆与 l1 的交点, 代入 l1 的方程

cos ? sin ? x? y ? 1 ,得 cos ? cos ?1 ? sin ? sin ?1 ? 1, a b

即 cos( ? ? ?1 ) ? 1, ? ? ?1 , 故 P 与 Q 重合。

(方法三)在第一象限内,由

x2 y 2 b 2 b 2 ? 2 ? 1可得 y ? a ? x 2 , y0 ? a ? x0 2 , 2 a b a a
bx0 a a 2 ? x0 2 ?? b 2 x0 , a 2 y0

椭圆在点 P 处的切线斜率 k ? y ?( x0 ) ? ?

切线方程为 y ? ?

b 2 x0 xx y y ( x ? x0 ) ? y0 , 即 02 ? 02 ? 1 。 2 a y0 a b

因此, l1 就是椭圆在点 P 处的切线。 根据椭圆切线的性质,P 是椭圆与直线 l1 的唯一交点。 (II) tan ? ?

x b2 y a2 a y0 b ? tan ? , l1 的斜率为 ? 0 2 , l 2 的斜率为 tan ? ? 0 2 ? tan ? , y0 a x0b b x0 a
2

由此得 tan ? tan ? ? tan ? ? 0, tan ? , tan ? , tan ? 构成等比数列。 (21) (本小题满分 13 分) 首项为正数的数列 ? an ? 满足 an ?1 ?

1 2 (an ? 3), n ? N ? . 4

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(I)证明:若 a1 为奇数,则对一切 n ? 2, an 都是奇数; (II)若对一切 n ? N ? 都有 an ?1 ? an ,求 a1 的取值范围.
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解:本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识,考查推理论证、抽象概括、运 算求解和探究能力, 考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。 本小题满分 13 分。 解: (I)已知 a1 是奇数,假设 ak ? 2m ? 1 是奇数,其中 m 为正整数, 则由递推关系得 ak ?1 ?

ak 2 ? 3 ? m(m ? 1) ? 1 是奇数。 4

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根据数学归纳法,对任何 n ? N ? , an 都是奇数。 (II) (方法一)由 an ?1 ? an ?

1 (an ? 1)(an ? 3) 知, an ?1 ? an 当且仅当 an ? 1 或 an ? 3 。 4
32 ? 3 1? 3 ? 3. ? 1 ;若 ak ? 3 ,则 ak ?1 ? 4 4

另一方面,若 0 ? ak ? 1, 则 0 ? ak ?1 ?

根据数学归纳法, 0 ? a1 ? 1, ? 0 ? an ? 1, ?n ? N ? ; a1 ? 3 ? an ? 3, ?n ? N ? . 综合所述,对一切 n ? N ? 都有 an ?1 ? an 的充要条件是 0 ? a1 ? 1 或 a1 ? 3 。

a12 ? 3 (方法二)由 a2 ? ? a1 , 得 a12 ? 4a1 ? 3 ? 0, 于是 0 ? a1 ? 1 或 a1 ? 3 。 4
an ?1 ? an ? an 2 ? 3 an ?12 ? 3 (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) ? ? , 4 4 4

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

因为 a1 ? 0, an ?1 ?

an 2 ? 3 , 所以所有的 an 均大于 0,因此 an ?1 ? an 与 an ? an ?1 同号。 4
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

根据数学归纳法, ?n ? N ? , an ?1 ? an 与 a2 ? a1 同号。

因此,对一切 n ? N ? 都有 an ?1 ? an 的充要条件是 0 ? a1 ? 1 或 a1 ? 3 。

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