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广东省汕头市潮南实验学校高中数学必修2课件:4.3空间直角坐标系 (共22张PPT)


4.3 空间直角坐标系

数轴上的点
B
-2 -1 A

O

1

2

3

x

数轴上的点可以用 唯一的一个实数表示

平面坐标系中的点
y

y

P (x,y) 平面中的点可以用 有序实数对(x,y) 来表示点

O

x

x

思考:
? 空间中的点如何表示呢?

空间直角坐标系 —Oxyz
z
竖轴 纵轴
Z

o
x

y
Y X

横轴

右手直角坐标系

空间直角坐标系的建立
在空间取定一点O

(原点) (坐标轴)
1
O

z

从O出发引三条两两垂直的射线 选定某个长度作为单位长度

?

1
x

1

y

空间中点的坐标
?? 有序数组 ( x , y , z ) 空间的点 ??
过点M作与
1? ?1

z

轴垂直的

平面,交

z

轴于点R,

z
R (0,0,z)
M( x, y, z )
?

得点M的竖坐标

z

过点M作与 x 轴垂直的 平面,交 x 轴于点P, 得M点横坐标 x

o

Q (0,y,0)
过点M作与 y轴垂直的 平面,交 y 轴于点Q, 得点M的纵坐标 y

y

x

P (x,0,0)

空间中点的坐标(方法二)
过点M作与 垂面,交

z轴

垂 直的

z

z
R (0, 0, z )

轴于R

过点A作与

y

轴垂 直的垂

线AQ,垂足为Q
?

M
o (0, 0, 0)

(x , y, z)
P ( x, 0, 0) A ( x, y,0)
过点M作与 平面

y

Q (0, y,0)

x
过点A作与

x

轴垂 直的

xoy



垂线AP,垂足为P

直的垂线MA,垂足为A

例1、如图,在长方体 OABC ? D?A?B?C ?中, OA ? 3, OC ? 4, OD? ? 2,写出D?,C,A?,B?四点的坐标。

z
2 D '(0, 0, 2)

C'

A' B'

? (3, 4, 2)

4

y

o
3

C (0, 4, 0)

x A (3, 0, 0)

B (3, 4, 0)

特殊位置的点的坐标
? ? ? ? ? ? ? 原点(0,0,0) X轴上的点(x,0,0) Y轴上的点(0,y,0) Z轴上的点(0,0,z) XOY平面上的点(x,y,0) YOZ平面上的点(0,y,z) XOZ平面上的点(x,0,z)
不见的那个就为“0”

名师点睛

空间线段的中点坐标公式 设 M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)是空间中两点,则 MN 的中点 P x1+x2 y1+y2 z1+z2 , , 的坐标为 2 2 2 .

关于坐标平面对称
? ? ? ? 一般的P(x , y , z) 关于: (x,y,-z) (1)xoy平面对称的点P1为__________; ( -x,y, z) (2)yoz平面对称的点P2为 __________; (x, -y, z) (3)xoz平面对称的点P3为__________;

关于谁对称谁不变 不见哪个,就变那个

对称点
? ? ? ? 一般的P(x , y , z) 关于: ( x, ? y, ? z ) (1)x轴对称的点P1为__________; (? x, y, ? z ) (2)y轴对称的点P2为__________; (? x, ? y, z ) (3)z轴对称的点P3为__________;

关于谁对称谁不变 不见哪个,就变那个

已知平面上两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2), 则点P1和P2的距离|P1P2|为
P2(x2,y2)
2 2 | PP | ? ( x ? x ) ? ( y ? y ) 1 2 2 1 2 1

y

P1(x1,y1)
O x

类比平面直角坐标系中两点间距离公 式及其推导,你能猜想一下空间两点P1 (x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2)间的距离公式 吗?

2 2 2 |P P | ? ( x ? x ) ? ( y ? y ) ? ( z ? z ) 1 2 2 1 2 1 2 1

空间点到原点的距离
z
| BP |?| z |
?, y, z ) P( x

| OB |? x 2 ? y 2

y

o

C

| OP |? x 2 ? y 2 ? z 2

x A

B

在空间直角坐标系中,任意两点 P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离:

|P ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z 2 ) 1P 2 |?
2 2

2

z

P1(x1,y1,z1)
O

P2(x2,y2,z2) H

M

y

N

x

(2012·北京东城高一检测)在空间直角坐标系中, 点M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影为M1点,则 M1关于原点的对称点坐标是________.

解析 M点在xOz平面上的射影M1坐标为(-2,0, -3), M1关于原点的对称点为(2,0,3).
答案 (2,0,3)

如图,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方 体ABCO-A′B′C′D′,A′C的中点E与AB的中点F的距 离为( ).

A. 2a

2 B. a 2

C.a

1 D. a 2

解析 A′(a,0,a),C(0,a,0),

a a a a E点坐标为 ( , , ) ,而F ( a, ,0) . 2 2 2 2
2 a a 2 ∴|EF|= = a, ?0 ? 2 4 4
2 2

答案 B

与点A(-1,2,3),B(0,0,5)的距离相等的点的坐标满 足的条件为________. 解析 设满足条件的点的坐标为(x,y,z),由题意 可得

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? ( z ? 3) 2 ? x 2 ? y 2 ? ( z ? 5) 2 ,
即2x-4y+4z-11=0. 答案 2x-4y+4z-11=0

已知点A(-4,2,3)关于坐标原点的对称点为A1,A1 关于xOz平面的对称点为A2,A2关于z轴的对称点为 A3,求线段AA3的中点M的坐标. 解 ∵点A(-4,2,3)关于坐标原点的对称点A1的坐 标为(4,-2,-3), 点A1(4,-2,-3)关于xOz平面的对称点A2的坐标 为(4,2,-3),

点A2(4,2,-3)关于z轴的对称点A3的坐标为(-4, -2,-3), ∴AA3中点M的坐标为(-4,0,0).

12.(创新拓展)如图所示,以棱长为1的正方体的具有公共 顶点的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系 Oxyz,点P在对角线AB上运动,点Q在棱CD上运动. (1)当P是AB的中点,且2|CQ|=|QD|时,求|PQ|的值; 解 (1)∵正方体的棱长为1,P是AB的中点,

1 1 1 ∴P ( , , ) , ∵2|CQ|=|QD|, 2 2 2 1 ∴|CQ|= 1 , Q (0,1, ) . 3 3

∴由两点间的距离公式得 |PQ|=

19 19 1 1 1 1 2 2 2 ? . ( ? 0) ? ( ? 1) ? ( ? ) ? 36 6 2 2 2 3


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