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数学高二(上)沪教版(数列的实际应用题)学生版


年 课

级:高二 题

辅导科目: 数学

课时数:3

数列的实际应用题
能够利用数列通过建模解决一些常见的实际问题,如平均增长率、复利、人口增长、工作效 率等问题。 教学内容

教学目的

【知识梳理】
1.数列实际应用题常见的数学模型 (1)复利公式 按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a 元,每期利率为 r,存期为 x 期,则本利和 y = (2)产值模型 原来产值的基数为 N,平均增长率为 p,对于时间 x 的总产值 y = (3)单利公式 利用按单利计算,本金为 a 元,每期利率为 r,存期为 x,则本利和 y = (4)递推与猜证型 递推型有 an+1 = f (an)与 Sn+1 = f (Sn)或 Sn = f (an)类,猜证型主要是写出前若干项,猜测结论,并用数学归纳法加以 证明. . . .

【典型例题分析】
一、有关等差数列的应用题 例 1、由于美伊战争的影响,据估计,伊拉克将产生 60~100 万难民,联合国难民署计划从 4 月 1 日起为伊难民 运送食品.第一天运送 1000 t,第二天运送 1100 t,以后每天都比前一天多运送 100 t,直到达到运送食品的最大量, 然后再每天递减 100 t,连续运送 15 天,总共运送 21300 t,求在第几天达到运送食品的最大量.

例 2、在美国广为流传的一道数学题目是:老板给你两种加工资的方案。第一种方案是每年年末 (12 月底) 加薪一次, 每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加 1000 元;第二种方案是每半年(6 月底和 12 月底)各加薪一 次,每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加 300 元,请选择一种. 根据上述条件,试问: (1)如果你将在该公司干十年,你将选择哪一种加工资的方案?(说明理由)
-1-

(2)如果第二种方案中的每半年加 300 元改成每半年加 a 元,那么 a 在什么范围内取值时,选择第二种方案总是 比选择第一种方案多加薪?

例 3、下表给出一个“等差数阵” :
4 7 ( ( ? a i1 ? ) ) ( ( ? a i2 ? 7 12 ) ) ( ( ( ( ? a i3 ? ) ) ) ) ( ( ( ( ? a i4 ? ) ) ) ) ( ( ( ( ? a i5 ? ) ) ) ) ? ? ? ? ? ? ? a1j a2j a3j a4j ? aij ? ? ? ? ? ? ? ?

其中每行、每列都是等差数列,aij 表示位于第 i 行第 j 列的数. (1)写出 a45 的值; (2)写出 aij 的计算公式; (3)证明:正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积.

变式练习: 甲、 乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动, 甲第一分钟走 2 m, 以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m, 乙每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动后,几分钟后第 1 次相遇? (2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙继续每分钟走 5 m,那么开始 运动几分钟后第二次相遇?

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二、有关等比数列的应用题 例 1、某市 2008 年底有住房面积 1200 万平方米,计划从 2008 年起,每年拆除 20 万平方米的旧住房.假定该市每年新 建住房面积是上年年底住房面积的 5%. (1)分别求 2008 年底和 2009 年底的住房面积; (2)求 2027 年底的住房面积.(计算结果以万平方米为单位,且精确到 0.01)

例 2、据某城市 2002 年末所作的统计资料显示,到 2002 年末,该城市堆积的垃圾已达 50 万吨,侵占了大量的土地, 并且成为造成环境污染的因素之一.根据预测,从 2003 年起该城市还将以每年 3 万吨的速度产生新的垃圾,垃圾的资 源化和回收处理已经成为该市城市建设中的重要问题. (1)假设 1992 年底该城市堆积的垃圾为 10 万吨,从 1993 年到 2002 年这十年中,该城市每年产生的新垃圾以 8%的年平均增长率增长,试求 1993 年该城市产生的新垃圾约有多少万吨?(精确到 0.01,参考数据:1.0810≈2.159) (2)如果从 2003 年起,该市每年处理上年堆积垃圾的 20%,现有 b1 表示 2003 年底该市堆积的垃圾数量,b2 表示 2004 年底该市堆积的垃圾数量??bn 表示 2002+n 年底该城市堆积的垃圾数量,①求 b1;②试归纳出 bn 的表达 式(不用证明) ;③计算 lim bn,并说明其实际意义.
n??

变式练习 1:某林厂年初有森林木材存量 S m3,木材以每年 25%的增长率生长,而每年末要砍伐固定的木材量 x m3, 为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加 50%,则 x 的值是 A.

S 32

B.

S 34

C.

S 36

D.

S 38

变式练习 2:从 2004 年 1 月 2 日起,每年 1 月 2 日到银行存入一万元定期储蓄,若年利率为 p,且保持不变,并约定 每年到期存款均自动转为新一年的定期存款,到 2010 年 1 月 1 日将所有存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数
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为___________万元.

变式练习 3:某工厂去年产值为 a,计划在今后 5 年内每年比上年产值增加 10%,则从今年起到第 5 年,这个厂的总 产值为___________.

变式练习 4:从盛满 a L(a>1)纯酒精容器里倒出 1 L,然后再用水填满,再倒出 1 L 混合溶液后,再用水填满,如 此继续下去,问第九次、第十次共倒出多少纯酒精.

变式练习 5:有一序列图形 P1,P2,P3??.已知 P1 是边长为 1 的等边三角形,将 P1 的每条边三等分,以每边中间部分 的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉得 P2,?..,将 Pk-1 的每条边三等分,以每边中间部分的 线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉得 Pn 试分别求 Pn 的周长 Cn 和面积 Sn.

三、有关递推的应用题 例 1、2010 年底某县的绿化面积占全县总面积的 40%,从 2003 年开始,计划每年将非绿化面积的 8%绿化,由于修 路和盖房等用地,原有绿化面积的 2%被非绿化. (1)设该县的总面积为 1,2010 年底绿化面积为 a1= (2)求数列{an}的第 n+1 项 an+1;

4 ,经过 n 年后绿化的面积为 an+1,试用 an 表示 an+1; 10

-4-

例 2、据报道,我国森林覆盖率逐年提高,现已达国土面积的 14%,某林场去年底森林木材储存量为 a 立方米,若树 林以每年 25%的增长率生长,计划从今年起,每年冬天要砍伐的木材量为 x 立方米,为了实现经过 20 年木材储存量 翻两番的目标,问每年砍伐的木材量 x 的最大值是多少?

【课堂小练】
一、稀释溶液 化工厂的某容器的容积为 Vcm , 装满了浓度为 100%的纯酒精,现欲使其稀释,从中倒 出
3

1 1 后用清水兑满,再从中倒出 ,又用清水兑满,为此反复进行了 n 次,所得的溶液浓度为多少?欲使浓度不超 10 10

过 50%,至少要进行多少次操作?

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二、定期复利存款问题 某家庭打算以一年定期的方式存款,计划从 1998 年起,每年年初到银行新存入 a 元, 年利率 p 保持不变,并按复利计算,到 2008 年年初将所有存款和利息全部取出,共取回多少元?

三、分期付款的方案 据《经济日报》报道,记者采访建设部侯部长,谈工薪阶层购房问题, 侯部长说: “??造价每平方米 1 000 元左右,还可以采取个人购房抵押贷款的方式,解决一次性付款有困难的问题, 比如首先支付 40%的房款,剩下的分 10 年还清。 ” 若职工小李年初向银行贷款 2 万元用于购房,购房贷款的年利率优惠为 10%,按复利计算,若这笔借款要求分 10 次等额归还,每年 1 次,并从借款后次年初开始归还,问每年应还多少元(精确到 1 元)?

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四、贷款经营 有一个个体户, 一月初向银行贷款 10 000 元作为启动资金开店, 每月月底获得的利润是该月月初投入资金的 20%, 每月月底需要交纳所得税为该月利润的 10%,每月的生活费开支为 300 元,余额作为资金全部投入下个月的经营, 如此继续,问到这年年底这个个体户有多少资金?若贷款的年利息为 25%,问这个个体户还清银行贷款后纯收入多 少元?

【课堂总结】
1.等差、等比数列的应用题常见于:产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题,求利率、增长率等问题也常归结为数列 建模问题. 2.将实际问题转化为数列问题时应注意: (1)分清是等差数列还是等比数列; (2)分清是求 an 还是求 Sn,特别要准确地确定项数 n. 3.解应用题的关键是建立数学模型,转化为数学问题,要加强培养学生的转化意识. 4.分期付款问题要弄清付款方式,不同方式抽象出的数学模型则不一样. 5.“等额还款方式”采用“双向储蓄”的方法比较简便. 6.强化转化思想、方程思想的应用.

【课后练习】
1.一批花盆堆成三角形垛,顶层一个,以下各层排成三角形,逐层每边增加一个花盆,若第 n 层与第 n+1 层花盆总数 分别为 f ? n? 和f ? n ? 1? ,则 f ? n? 和f ? n ? 1? 的关系为(
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A f ? n? ? f ? n ? 1? ? n ? 1 C

B f ? n? ? f ? n ? 1? ? n D f ? n ? ? f ? n ? 1? ? 1

f ? n ?1? ? f ? n? ? 2n

2.某工厂去年产值为 a ,计划在今年后 5 年内每年比上半年产值增加 10%,则从今年起到第 5 年,这个厂的总产值为 _____________ 3.从盛满 aL ? a ? 1? 纯酒精容器里倒出 1L,然后再用水填满,再倒出 1L 混合液后,再用水填满,如此继续下去,问 第九次、第十次共倒出________________纯酒精。 4.假设你在某公司打工,根据表现,老板给你两个加薪的方案: ①每年年末加 1000 元;②每半年结束时加 300 元。请你选择: (1)如果在公司干 10 年,问两种方案各加薪多少元? (2)对你而言,若选择两者之一,你会选哪一种? 5.某市 2003 共有 1 万辆燃油型公交车, 有关部门计划于 2004 年投入 128 辆电力型公交车, 随后电力公交车每年的投 入比上一年增加 50%,试问: (1)该市在 2010 年应该投入多少电力型公交车? (2)到哪一年低,电力型公交车的数量开始超过该市公共车总量的

1 ? 3

6.据某城市 2002 年末所作的统计资料显示,到 2002 年末,该城市堆积的垃圾已达 50 万吨,侵占了大量的土地,并 且成为造成环境污染的因素之一。根据预测,从 2003 年起,该城市还将以每年 3 万吨的速度产生新的垃圾,垃圾的 资源化和回收处理已经成为该市城市建设中的重要问题。 (1)假设 1992 年底该城市堆积的垃圾为 10 万吨,从 1993 年到 2002 年这十年中发,该城市每年产生的新垃圾以 8% 的年平均增长率增长,试求 1993 年该城市产生的新垃圾约有多少万吨?(精确到 0.01) (2)如果从 2003 年起,该市每年处理上年堆积垃圾的 20% ,现有 b1 表示 2002+n 年底该城市堆积的垃圾数量,①求 ;③计算 lim bn ,并说明其实际意义。 b1 ;②试归纳出 bn 的表达式(不用证明)
n ??

7.容器 A 中有浓度为 12%的食盐水 300 g ,容器 B 中有浓度为 6%的食盐水 300 g ,现约定完成以下工作程序叫做一次 操作:从 A,B 两个容器中同时各取 100 g 溶液,然后将 A 中取出的溶液注入 B 中,将 B 中取出的溶液注入 A 中,并搅 拌。 (1)经过一次操作后,A,B 容器中的食盐水的浓度各为多少? (2)经过 n 次操作后,A,B 容器中的食盐水的浓度各为多少?

8.假设某市 2004 年新建住房 400 万 m ,其中有 250 万 m 是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房
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2

2

面积平均比上一年新建住房面积增长 8%,另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年中低价房的面积增加 50 万 m ,那么,到哪一年低, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(2004 年为第一年)将首次不少于 4750 万 m ? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%
2 2

9. 在某古运河上建有许多形状相同的抛物线形拱桥 An ? n ? 0,1,2,?? , 经测量知相邻两座桥 An , An?1 之间的距离为 an 满足 an ? 800 ? 150n(m), n ? 1, 2,3,?,每年无汛期、这些拱桥当水面距拱桥顶 5m 时,桥洞水面宽 8m,而每年汛期, 船翁都要考虑拱桥的通行问题,一只装有防汛器材的船,露出水面部分的宽为 4 m ,高为 (1)要使该船能顺利通过拱桥,试问水面距桥拱顶的高度至少几米? (2)已知河水每小时上涨 0.15 m ,船在静水中的的速度为 0.4m∕s,水流速度为 0.25 m∕s,若船从 A0 桥起锚顺水航行时,河水开始上涨,试问船将在哪一座桥可能受阻?

3 m, 4

10.由市场调查可知:某公司生产的一种产品,如果不做广告宣传且每件获利 a 元,那么销售量为 b 件;如果做广告 宣传且每件售价不变,那么,广告费用 n 千元比广告费用 ? n ?1? 千元时的销售量多 b ? (1)试写出销售量 Sn 与 n 的函数关系式; (2)当 a ? 10, b ? 4000 时,公司应作几千元广告,销售量为多少件时,才能使广告费用用后的获利最大?

1 ? 件?n ? N ? 2n

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