南充市高 2013 届第三次高考适应性考试 数学试卷(理科) 2013.04.27

一．选择题（本大题共 10 个小题，每小题 5 分，满分 50 分；在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，请将答案填在答题栏内）

1 1 ? 1.复数 i ? 2 1 ? 2i 的虚部为( ) 1 A. 5

2.若集合

1 i B. 5

A ? ? 1, m 2 ?

1 C. 5 ?

，集合

1 ? i D. 5

，则“ m ?

B ? ? 2, 4 ?

2 ”是“ A ? B ? ?2? ”的（ ）

A． 充分必要条件 B．必要不充分条件 C． 充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 如右图是一个空间几何体的三视图，则这个几何体的体积是 A． 2? C． 6? B． 3? D． 9?

2 2 2

4.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ， (a ? c ? b ) tan B ? ac ， 若 则角 B 的值为

? 5? A． 6 或 6

5.下列命题中正确的是

? 2? B． 3 或 3

（ ）

? C． 3

D．

? 6

2 A.命题“若 x ? 5 x ? 6 ? 0, 则x ? 2 ”的逆命题是“若 x ? 2, 则x ? 5 x ? 6 ? 0 ”

2

B. 对命题 p : ?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0, 则?p : ?x ? R, 则x ? x ? 1 ? 0

2 2

? x2 ? y 2 ? 1 ? 1 ? ? x, y ? ? 0,1? , x ? y ?1 C.若实数 则满足： ? 的概率是 4 2

D.如果平面 ? ? 平面 ? ，过 ? 内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于 ?

m * n 6 右图是函数 y ? x (m, n ? N , m, n互质) 的图像，则（ ）

m ?1 m,n 是奇数且 n

m ?1 m 是奇数,n 是偶数且 n m ?1 m 是偶数,n 是奇数且 n m ?1 m 是偶数,n 是奇数且 n

7. 已知 A,B 两组各有 8 名学生，现对学生的数学成绩进行分析，A 组中有 3 人及格，B 组中有 4 人及格， 从每组的 8 名学生中各抽取一人， 已知有人及格， B 组同学不及格的概率是 则 （ ）

1 A. 2

3 B. 11

5 C. 11

7 D. 11

x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0 ? 2 2 b 8. 已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 与双曲线 a 有相同的焦点 F ，点 A

是两曲线的交点，且 AF ? x 轴，则双曲线的离心率为 （ ）

A. 2 ? 1

B. 3 ? 1

5 ?1 C. 2

2 2 ?1 2 D.

9. ?ABC 的外接圆的圆心为 O ， 半径为 2 ，OA ? AB ? AC ? 0 且 | OA |?| AB | ， 则向量 AC 在

????

??? ? CB 上的投影为 （ ）

A. 3 B. 3 C. ? 3 D. ? 3

10.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足： f ( x) 是偶函数； f ( x ? 1) 是奇函数， ① ② 且当 0 ? x ? 1 时，

f ( x) ? log 3 x ， 则 方 程 f ( x) ? 4 ? f (1) 在 区 间 (?2,10) 内 的 所 有 实 根 之 和 为 （

）

A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 二．填空题（本大题共 5 个小题，每小题 5 分，满分 25 分；请将答案填在第Ⅱ卷相应的答题 栏处） 11. 在 (1 ?

x ) 4 ? (1 ? 3 x )6 的展开式中， x 的系数等于 ．(用数字作答) 12. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值 x 为_____________

13 ． 已 知 正 项 等 比 数 列

?an ? 满 足 a7 ? a6 ? 2a5 ， 若 存 在 两 项 am、an 使 得

am an ? 2a1

1 4 ? ，则 m n 的最小值是

x2 y 2 ? ?1 2 2 3 14. P 点在椭圆 4 上运动,Q，R 分别在两圆 ( x ? 1) ? y ? 1 和

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 上运动，则|PQ|+|PR|的最大值为

15. 设

a ?n? ? ? ? b b a a 2 ? ?n , b ? c,c, c 是 b b, b的任一排 ? 1 2? , 1 2 1 n n 为两组实数， 1 2 S1 2 a ? 为 两 组 实 数 的 乱 序 和 ， ?a 3 ? a cc a c 2 3 ? ? ?n c 1 n

列 ， 我 们 称

S n 2 ?? b ? b3 a n b ? b ? n ? a Sb 2 b?为顺 ? aa a b3 a ? ?? ?n b 11 a a ? 1 ? 2 n 1 1 n 为反序和， 2 1 2 3

序和。根据排序原理有：

S ? ? 2即：反序和≤乱序和≤顺序和。给出下列命题： S S. 1

① 数组（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和为 60； ② 若

A ?B2 ?x x x, x都是正数，则 A≤B； ? ?x x n 1 2 ? x ?xx n x , ? x1 3 ? 1 x n x ? n 其中 , 2 ? ? ? x ? 1 2 1 n

22 2

a1 a2 a3 ? ? a1,a2,a3 的任一排列为 c ,c2,c3, 则 c1 c2 c3 的最小值为 3； 1 ③ 设正实数

④ 已知正实数

x x ?n , , ， x x? P为定值,则 x满足 1 2 ? ? P ? ? x , 1 2 n

2 2 2 2 x1 x x x n ? n 1 2 P F ? ? ? ? ? ? x x x x 的最小值为 2 . 2 3 n 1

其中所有正确命题的序号为 . 三．解答题（本大题共 6 个小题，满分 75 分；解答题应写出必要的解答过程或演算步骤）

f ( x) ? cos( x ?

16. （本小题满分 12 分） 已知函数

2? ) ? m cos x(m ? R ) 3

A1 C1 B1 D

3 p (0, ? ) 2 ，且 ?ABC 内角 A、B、C 所对应边分别为 a, b, c ， 的图象过

f ( B) ? ?

若

3 , a ? 2 6, c ? 3 2

A O B C

（Ⅰ ）求 m 的值及 f ( x) 的单调递增区间（Ⅱ ）求 ?ABC 的面积。 17.（本小题满分 12 分）

在三棱柱 ABC—A1B1C1 中，底面是边长为 2 3 的正三角形，点 A1 在底面 ABC 上的射影 O 恰 是 BC 的中点． （1）求证：A1A⊥BC； （Ⅱ ）当侧棱 AA1 和底面成 45°角时，求二面角 A1—AC—B 的余弦值； 18（本小题满分 12 分）M 公司从某大学招收毕业生，经过综合测

试，录用了 14 名男生和 6 名女生，这 20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分） ，公 司规定：成绩在 180 分以上者到“甲部门”工作；180 分以下者到“乙部门”工作.另外只有 成绩高于 180 分的男生才能担任“助理工作”. （Ⅰ ）如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中选取 8 人，再从这 8 人中 选 3 人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？ （II）若从所有“甲部门”人选中随机选 3 人，用 X 表示所选人员中能担任“助理工作”的人 数，写出 X 的分布列，并求出 X 的数学期望. 19（本小题满分 12 分） ．在直角坐标平面上有点

P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ),? , Pn ( x n , y n ),? , 对

13 5 Pn 在函数 y ? 3 x ? 4 的图象上，且 Pn 的横坐标构成以 ? 2 为首项，－1 一切正整数 n，点

为公差的等差数列 （Ⅰ ）求点

?xn ? ．

Pn 的坐标；

（Ⅱ ）对于二次函数列 C1，C2，C3，…，Cn，…，其中二次函数 Cn 的顶点为 Pn，且过点

2 a ? kn ? 4 ，求 Dn（0， n ? 1 ）.记与二次函数 Cn 图象相切于点 Dn 的直线的斜率为 kn，令 n

? an ? ? n? T 数列 ? 2 ? 的前 n 项和 n ．

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 20.（本小题满分 13 分）已知椭圆 a 长轴上有一顶点到两个焦点之间的

距离分别为： 3 ? 2 2,3 ? 2 2 （Ⅰ ）求椭圆的方程； （Ⅱ ）若 P 在椭圆上，

F1 , F2 分别为椭圆的左右焦点，且满足 PF1 ? PF2 ? t ，求实数 t 的范围；

（Ⅲ）过点 Q(1,0 )作直线 l (与 x 轴不垂直）与椭圆交于 M,N 两点，与 y 轴交于点 R，若

RM ? ? MQ , RN ? ? NQ ，求证： ? ? ? 为定值.

f ( x) ? ln x, g ( x) ?

21. （本小题满分 14 分）已知函数

3 a ? 2 x （ a 为实数）

（Ⅰ ）当 a =1 时，求函数 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 x∈[4，+∞）上的最小值；

（Ⅱ ）若方程 e

2 f ( x)

?1 ? ,1 ? g ( x) （其中 e=2.71828?）在区间 ? 2 ? 上有解，求实数 a 的取值范围； ? ?

n 5 1 n? ? ? ? 2 f (2k ? 1) ? f (k ) ? f (k ? 1) ? ? 2n ? 1 60 k ?1 （Ⅲ）证明： 4 ，n∈N*． （参考数据：ln2

≈0.6931） 南充市高 2013 届第三次高考适应性考试 理科数学答案 一、选择题（每小题 5 分，共 50 分） 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 A 5 C 6 D 7 B 8 A 9 C 10 B

二、填空题（每小题 5 分，共 25 分）

11.

?14

12. 12

9 13. 4

14.6

15.①③

三. 解答题：本大题共 6 个小题.共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分 12 分）

? f (0) ? cos(?

解： （Ⅰ）

2? 1 3 )?m ? ? ?m ? ? 3 2 2

…………2 分

? m ?1

?

f ( x ) ? cos( x ?

2? 1 3 ) ? cos x ? ? cos x ? sin x ? cos x 3 2 2

?

3 3 ? sin x ? cos x ? 3 sin( x ? ) 2 2 3

…………4 分

? ?

2k? ? 2k? ?

?

2

? x?

?

3

? 2k? ? 5? 6

?

2

(k ? z ) (k ? z )

?

6

? x ? 2k? ?

…………6 分

? f ( x ) 的单调递减增区间为

[2k? ?

?

6

, 2k? ?

5? ] 6

(k ? z )

…………7 分

? 3 ? 1 f ( B ) ? 3 sin( B ? ) ? ? sin( B ? ) ? ? 3 2 ? 3 2 （Ⅱ）

? o? B ?? ?

?

?

3

? B?

?

3

?

2? ? ? ? B? ?? B? 3 ? 3 6? 6

…………10 分

则

S? ?

1 1 1 3 2 ac sin B ? ? 2 6 ? 3 ? ? 2 2 2 2

3 2 ? ?ABC 的面积为 2

…………12 分

17. （本小题满分 12 分） 解： （Ⅰ）连结 AO， A1O⊥面 ABC， AO 是

A1 A 在面 ABC 的射影

…………5 分 D

A1 B1

C1

∵ AO⊥BC ∴ A1A⊥BC． （Ⅱ）解法一： 由（1）得∠A1AO=45°

由底面是边长为 2 3 的正三角形，可知 AO=3 ∴A1O=3，AA1=3 2 过 O 作 OE⊥AC 于 E，连结 A1E， 则∠A1EO 为二面角 A1—AC—B 的平面角

A B

E F O

C

…………9 分

A1O 3 ? ?2 3 OE 3 2 ∵OE= 2 ，∴tan∠A1EO=

5 5 ． 即二面角 A1—AC—B 的余弦值为

解法二： 如图，以 O 为坐标原点，以 OA,OB,

…………12 分

OA1 所在直线分别

为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,则 O(0，0，0),A(3，0， 0),

可得

A1 (0，0，3),C(0， ? 3 ，0) ???? ???? ???? AC ? (?3, ? 3, 0), AA1 ? (?3, 0,3), OA1 ? (0, 0,3)

? ???? ?n ? AC ? 0 ? ? ? ???? ?n ? AA1 ? 0 ?

? ACA1 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ，则 设平面

??3 x ? 3 y ? 0 ? 3 x ? y ? 0 ? ? ,即 ? ? ??3 x ? 3 z ? 0 ?x ? z ? 故? ? x ? 1, 则 y ? ? 3, z ? 1 故 n ? (1, ? 3,1) 是平面 ACA1 的一个法向量 令 ???? ? OA1 =(0,0,3)是平面ABC的一个法向量 ? ???? ? ???? n ? OA1 3 5 cos? n, OA1 ? ? ? ???? ? ? 5 ?3 5 n OA1

所以

???9 分 ????10 分

5 A ? AC ? B 由图可知所求二面角为锐角，所以二面角 1 的余弦值为 5 …………12 分

18. （本小题满分 12 分）

8 2 ? 解： （Ⅰ）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 20 5 .

根据茎叶图，有“甲部门”人选 10 人， “乙部门”人选 10 人。

10 ?

所以选中的“甲部门”人选有

2 2 ?4 10 ? ? 4 5 5 人， “乙部门”人选有 人. ……………3 分

用事件 A 表示“至少有一名”甲部门“人选被选中” ，则它的对立事件 A 表示“没有一名”甲

3 c4 4 13 p ( A) ? 1 ? 3 ? 1 ? ? 56 14 。 c8 部门“人选被选中” ，则

13 因此，至少有一人是“甲部门”的概率是 14 …………………………………………6 分

（Ⅱ）依题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数 X 的取值分别为 0,1,2,3.……7 分

p ( X ? 0) ?

0 3 c6 .c 4 c1 .c 2 4 1 3 ? ? , p ( X ? 1) ? 6 3 4 ? , 3 120 30 10 c10 c10 2 c6 .c1 1 c 3 .c 0 1 4 ? , p ( X ? 3) ? 6 3 4 ? , 3 2 6 c10 c10

p ( X ? 2) ?

因此，X 的分布列如下: X P ………………10 分 0 1 2 3

1 30

3 10

1 2

1 6

EX ? 0 ?

所以 X 的数学期望 19. （本小题满分 12 分） 解:（Ⅰ， ）

1 9 15 5 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? 30 30 30 30 5 ……………………12 分

? xn ? ?

5 3 ? (n ? 1) ? (?1) ? ? n ? 2 2

? y n ? 3xn ?

13 5 3 5 ? ?3n ? . ? Pn (?n ? , ?3n ? ) 4 4 2 4

…………4 分

（Ⅱ ）

? C n 的对称轴垂直于 x 轴，且顶点为 Pn，

y ? a( x ? 2n ? 3 2 12n ? 5 ) ? 2 4 ．

∴ 设

C n 的方程为

把

Dn (0, n 2 ? 1)代入上式, 得a ? 1 ，

2 2

………………7 分 ………………8 分

C ∴ n 的方程为 y ? x ? (2n ? 3) x ? n ? 1.

∵n

k ? y ? | x ?0 ? 2n ? 3,

? an ? kn ? 4 ? 2n ? 1

1 1 1 1 Tn ? 1? ? 3 ? 2 ? 5 ? 3 ? ......... ? (2n ? 1) ? n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ? Tn ? 1? 2 ? 3 ? 3 ? 5 ? 4 ? ......... ? (2n ? 1) ? n ?1 2 2 2 2 2

①

②………………9 分

1 1 1 ? 2n ? 1 ? 1 1 ? Tn ? ? 2 ? ? 2 ? 3 ? ......... ? n ? ? n ?1 2 2 ? 2 ?2 2 .① - .②： 2

1 ? 2n ? 1 ?1 1 ?Tn ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 ? ......... ? n ?1 ? ? n 2 ? 2 ?2 2

1 1 (1 ? n ?1 ) 2n ? 1 2 2n ? 1 2 ? 1? 2? 2 ? n ? 3 ? n ?1 ? n 1 2 2 2 1? 2

? 3? 2n ? 3 2n

………………12 分

20. （本小题满分 13 分）

解： （Ⅰ）由已知

?a ? c ? 3 ? 2 2 ? ? ?a ? c ? 3 ? 2 2 ?

，得

?a ? 3 ? ? ?c ? 2 2 ?

2 2 2 ， b ? a ? c ?1，

x2 ? y2 ?1 9 所以椭圆方程为

（Ⅱ ）设

………………4 分

P( x, y ), F1 (?2 2, 0), F2 (2 2, 0)

???? ???? ? ? PF1 ? (?2 2 ? x, ? y ), PF2 ? (2 2 ? x, ? y )

???? ???? ? PF1 ? PF2 ? (?2 2 ? x, ? y )(2 2 ? x, ? y ) ? x2 ? 8 ? y 2 ? x2 ? y 2 ? 8

x2 x2 ? y2 ? 1 ? ? y2 ?1 9 ? P 在椭圆 9 上

???? ???? ? 8 ? t ? PF1 ? PF2 ? x 2 ? y 2 ? 8 ? x 2 ? 7 9

? 0 ? x2 ? 9

??7 ? t ? 1 故所求实数 t 的范围为 ? ?7,1? ………………8 分

（Ⅲ）依题意，直线 l 的斜率存在，则设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ，

? y ? k ( x ? 1) ? 2 ?x ? y2 ?1 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , R(0, y3 ) ，则 M , N 两点坐标满足方程组 ? 9 ? 设 ，

2 2 2 2 消去 y 整理得 (1 ? 9k ) x ? 18k x ? 9k ? 9 ? 0 ，

所以

x1 ? x2 ?

18k 2 1 ? 9k 2

, x1 x2 ?

9k 2 ? 9 1 ? 9k 2 ，①

………………10 分

( x , y ? y3 ) ? ? ??1, 0 ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ?， 因为 RM ? ? MQ ，所以 1 1

? x1 ? ? (1 ? x1 ) x ?? 1 ? y ? y3 ? ?? y1 x ? 1 ，则 1 ? x1 ， 即? 1 ，因为 l 与 x 轴不垂直，所以 1

又 RN ? ? NQ ，同理可得

??

x2 1 ? x2 ，

??? ?

所以

x1 x x ? x ? 2 x1 x2 ? 2 ? 1 2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2

?????

9 4

由①式代人上式得

………………13 分

21. （本小题满分 14 分） 解： （Ⅰ）当 a ? 1 时，

? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? ?

'

1 x

3 1 1 x ?1 ? ' ( x) ? ? 2 ? 2 2 ，则 x x x

'

∵在区间（0，1]上， ? ( x) ? 0 ，在区间[1，+∞）上， ? ( x) ? 0 ∴ ? ( x) 在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增 ……………2 分 ∴在 x∈[4，+∞）上，当 x=4 时， ? ( x) 的最小值为

? (4) ? ln 4 ?

5 4 ．……………3 分

（Ⅱ ）∵方程 e

2 f ( x)

?1 ? ,1 ? g ( x) 在区间 ? 2 ? 上有解 ? ?

e 2ln x ?

即

?1 ? ?1 ? 3 a 3 ? a ? x ? x3 ? 2 ,1? ? ,1? ? 上有解即 2 x 在区间 ? 2 在区间 ? 2 ? 上有解

?1 ? 3 x ? x3 ? 2 ,1? ? 2 ，x∈ ?

h' ( x) ?

∴

h( x ) ?

令

3 ? 3x 2 2

?1 2 ? ? 2 ? ,1? ? , ? ? ' ' ? 2 2 ? 上， h ( x) ? 0 ，在区间 ? 2 ? 上， h ( x) ? 0 ∵在区间 ?1 2 ? ? 2 ? ,1? ? , ? ? h( x) 在区间 ? 2 2 ? 上单调递增，在区间 ? 2 ? 上单调递减， ………………6 分 ∴

1 1 5 h(1) ? , h( ) ? 2 2 8 又

h(1) ? h( x) ? h(

∴

2 ) 2

? ? 1 2 a ? ?1 , 2 ? ? h( x ) ? ?2 2 ? 2 故 即2

（Ⅲ）设

………………8 分

ak ? 2 f (2k ? 1) ? f (k ) ? f (k ? 1)

? 2 ln(2k ? 1) ? ln k ? ln(k ? 1) ? ln

4k 2 ? 4k ? 1 k (k ? 1)

5 4

由（1）知， ? ( x) 的最小值为

? (4) ? ln 4 ? ? 0

ln x ?

∴

3 1 ? 2 x （x≥4）

………………9 分

4k 2 ? 4k ? 1 ?4 又∵ k (k ? 1)

? ak ? 3 k (k ? 1) 3 1 4k 2 ? 4k ? 1 ? 1 ? 2 ? ? 2 4k ? 4k ? 1 2 4 4k 2 ? 4k ? 1 5 1 1 5 1 1 ? ? ? ? 2 4 4 (2k ? 1) 4 4 (2k ? 1)(2k ? 3)

5 1 1 1 ? ( ? ) 4 8 2k ? 1 2k ? 3

?

∴ k ?1

?a

n

k

?

5 1 1 1 1 1 1 1 n ? ( ? ? ? ? ...... ? ? ) 4 8 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3

?

5 1 1 1 5 1 1 1 5 1 n? ( ? )? n? ( ? ) ? n? 4 8 3 2n ? 3 4 8 3 5 4 60

………………11 分

构造函数 F ( x) ? ln x ? x ? 2( x ? 4) ，则 ∴当 x ? 4 时， F ( X ) ? 0 ．

'

F ' ( x) ?

1? x x ，

∴ F ( X ) 在 ?4,?? ? 上单调递减，即 F ( x) ? F (4) ? ln 4 ? 2 ? 2(ln 2 ? 1) ? 0 。

'

∴当 x ? 4 时， ln x ? x ? 2 ．

ak ? ln

4k 2 ? 4k ? 1 1 1 1 1 ? 4? ? ?2 a ? 2? ? k (k ? 1) k k ? 1 ，即 k k k ?1

1 ? 2n ? 1 n ?1

?a

k ?1

n

k

? 2n ? 1 ?

n 5 1 n? ? ? ? 2 f (2k ? 1) ? f (k ) ? f (k ? 1) ? ? 2n ? 1 60 k ?1 故4 ， n∈N*．

…………14 分