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唐山市2013—2014学年度高三年级第三次模拟考试理科数学


试卷类型:A 唐山市 2013—2014 学年度高三年级第三次模拟考试

理 科 数 学
说明: 一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷.第Ⅰ卷为选择题;第Ⅱ卷为非选择题,分为必考 和选考两部分. 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项” ,按照“注意事项”的规定答题. 三、做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如 需改动,用橡皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案. 四、考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项符合题目要求. (1)设集合 A={x|x2-3x+2<0},B={x|2<2x<8},则 (A)A=B (B)A?B (C)A?B (D)A∩B=? (2)若复数 z 满足 z(2-i)=1,则 z = 2 1 2 1 1 2 1 2 (A) + i (B) - i (C) + i (D) - i 5 5 5 5 5 5 5 5 1.2 0.8 (3)已知 a=2 ,b=0.5 ,c=log2 3,则 (A)a>b>c (B)c>b>a (C)c>a>b (D)a>c>b (4)在等比数列{an}中,a3+a5=6,a4=2 2,则 a2+a6= (A)5 2 (B)4 2 (C)8 (D)4 1 (5)函数 y= 的一段大致图象是 x-sin x
y

y
x

O

O

x

(A)
y

(B)
y
x

O

O

x

(C)

(D)

x2 y2 (6)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,过 F1 作直线 l 交 C 于 A,B a b 两点,若△ABF2 是等腰直角三角形,且∠AF2B=90?,则椭圆 C 的离心率为 2 2 (A)2- 2 (B)1- (C) 2-1 (D) 2 2 (7)执行左下面的程序框图,如果输入的依次为 3,5,3,5,5,4,4,3,4,4,则输 出的 s 为 9 3 15 (A) (B)4 (C) (D) 2 5 5
开始 输入 a1, a2, ?, a10 n s=0,i=1 i=i+1 i≤10 否 输出 s n 结束 俯视图 是 s= (i-1)s+ai i 2

1 正视图

1 侧视图

(8)右上图是某几何体的三视图,则该几何体的体积等于 4 5 2 (A)1 (B) (C) (D) 3 3 3 (9) 三棱锥 S-ABC 的四个顶点都在球面上, SA 是球的直径, AC⊥AB, BC=SB=SC=2, 则该球的表面积为 (A)4? (B)6? (C)9? (D)12? (10)△ABC 中,D 是 BC 的中点,AD=m,BC=n,则→ AB ·→ AC 等于 1 1 1 1 (A)m2- n2 (B)m2+ n2 (C) m2+n2 (D) m2-n2 4 4 4 4 1 2 1 1 b (11)若 a>2,b>2,且 log2(a+b)+log2 = log2 +log2 ,则 log2(a-2)+log2(b 2 a 2 a+b 2 -2)= 1 (A)0 (B) (C)1 (D)2 2 * (12)设数列{an}满足 a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N ,则数列{an}的前 n 项和可以表 示为 (A) ∑ Cin 13n i+1
- -

n

i n i (C) ∑ Cn 3 +1


i=1 n

(B) ∑ (Cin 13n i+i)
- -

n

i=1

i n i (D) ∑ (Cn 3 +i)


i=1 n

i=1

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上. (13)曲线 y=ln x-1 在 x=1 处的切线方程为__________. x2 ( 14 )以双曲线 y2 - = 1 的上焦点为圆心,与该双曲线的渐近线相切的圆的方程为 3 ________. sin 30?+sin 90? sin 15?+sin 75? sin 20?+sin 40? 3 (15)观察等式: = 3, =1, = .照 cos 30?+cos 90? cos 15?+cos 75? cos 20?+cos 40? 3 此规律,对于一般的角 α,β,有等式_________. 1 (16)函数 f (x)=- 2x-x2+ x+ 2-x的最大值为________. 2 三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)—(21)题为必考题, (22) , (23) , (24)题 为选考题. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) C 如图,正三角形 ABC 的边长为 2,D,E,F 分别在三边 AB,BC 和 CA 上,且 D 为 AB 的中点,∠EDF=90?,∠BDE =θ(0?<θ<90?) . E 3 (Ⅰ)当 tan ∠DEF= 时,求 θ 的大小; F 2 θ (Ⅱ) 求△DEF 的面积 S 的最小值及使得 S 取最小值时 θ A D B 的值. (18) (本小题满分 12 分) A1 C1 在 斜 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中 , 平 面 A1ACC1⊥平面 ABC,AC⊥BC,A1B⊥C1C, B1 AC=BC. (Ⅰ)求证:A1A⊥A1C; A C (Ⅱ)若 A1A=A1C,求二面角 B-A1C-B1 的余弦值.
B

(19) (本小题满分 12 分) 商场销售的某种饮品每件售价为 36 元,成本为 20 元.对该饮品进行促销:顾客每 购买一件,当即连续转动三次如图所示转盘,每次停止后指针指向一个数字,若三次指 向同一个数字,获一等奖;若三次指向的数字是连号(不考虑顺 序) ,获二等奖;其它情况无奖. (Ⅰ) 求一顾客一次购买两件该饮品, 至少有一件获得奖励的 概率; 1 (Ⅱ)若奖励为返还现金,一等奖奖金数是二等奖的 2 倍,统 6 2 计表明:每天的销量 y(件)与一等奖的奖金额 x(元)的关系式 3 5 x 为 y≈ +24.问 x 设定为多少最佳?并说明理由. 4 4

(20) (本小题满分 12 分) 过抛物线 C:y2=2px(p>0)上的点 M 分别向 C 的准线和 x 轴作垂线,两条垂线 及 C 的准线和 x 轴围成边长为 4 的正方形,点 M 在第一象限. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程及点 M 的坐标; (Ⅱ)过点 M 作倾斜角互补的两条直线分别与抛物线 C 交于 A,B 两点,如果点 M 在直线 AB 的上方,求△MAB 面积的最大值. (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x)=ex,g (x)=1+x. (Ⅰ)求函数 h (x)=f (x)-g (x)的最小值; x x k x2 (Ⅱ)若 k>1,证明:当|x|<k 时, f g - ≥1- . k k k

[ ( ) ( )]

请考生在第(22) , (23) , (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,BD 是⊙O 的直径,AE⊥CD 于点 E,DA 平分 ∠BDE. (Ⅰ)证明:AE 是⊙O 的切线; (Ⅱ)如果 AB=4,AE=2,求 CD.
B A

O C

D E

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 x2 2 已知曲线 C1 的直角坐标方程为 +y =1. 以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极 4 轴建立极坐标系.P 是曲线 C1 上一点,∠xOP=α(0≤α≤?) ,将点 P 绕点 O 逆时针旋 转角 α 后得到点 Q,→ OM =2→ OQ ,点 M 的轨迹是曲线 C2. (Ⅰ)求曲线 C2 的极坐标方程; (Ⅱ)求|OM|的取值范围. (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0 的解集为 M,a,b∈M. 1 1 1 (Ⅰ)证明: a+ b < ; 3 6 4 (Ⅱ)比较|1-4ab|与 2|a-b|的大小,并说明理由.

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唐山市 2013—2014 学年度高三年级第三次模拟考试

理科数学参考答案
一、选择题: A 卷:CBDAA CBCBA B 卷:BCDAA BCDBA 二、填空题: (13)x-y-2=0 sin α+sin β α+β (15) =tan 2 cos α+cos β 三、解答题: (17)解: DB AD (14)x2+(y-2)2=3 3 (16) 2

BDsin 60? 3 (Ⅰ)在△BDE 中,由正弦定理得 DE= = , sin(120?-θ) 2sin(60?+θ) ADsin 60? 3 在△ADF 中,由正弦定理得 DF= = . ?4 分 sin(30?+θ) 2sin(30?+θ) sin(60?+θ) 3 3 由 tan ∠DEF= ,得 = ,整理得 tan θ= 3, 2 2 sin(30?+θ) 所以 θ=60?. ?6 分 1 3 3 (Ⅱ)S= DE·DF= = 2 8sin(60?+θ)sin(30?+θ) 2( 3cos θ+sin θ)(cos θ+ 3sin θ) 3 3 = = . ?10 分 2 2 2[ 3(cos θ+sin θ)+4sin θcos θ] 2( 3+2sin 2θ) 6-3 3 3 当 θ=45?时,S 取最小值 = . ?12 分 2 2( 3+2) (18)解: (Ⅰ)因为平面 A1ACC1⊥平面 ABC,AC⊥BC,所以 BC⊥平面 A1ACC1, 所以 A1A⊥BC. 因为 A1B⊥C1C,A1A∥C1C,所以 A1A⊥A1B, 所以 A1A⊥平面 A1BC,所以 A1A⊥A1C. ?5 分
z A1 B1 C1

x

A y B

C

(Ⅱ)建立如图所示的坐标系 C-xyz. 设 AC=BC=2,因为 A1A=A1C,

则 A (2,0,0),B (0,2,0),A1(1,0,1),C (0,0,0).

→ → CB =(0,2,0),→ CA =(1,0,1),A B =→ AB =(-2,2,0).
1 1 1

设 n1=(a,b,c)为面 BA1C 的一个法向量,则 n1·→ CB =n1·→ CA1 =0, ?2b=0, 则? 取 n1=(1,0,-1). ?a+c=0, 同理,面 A1CB1 的一个法向量为 n2=(1,1,-1). ?9 分 n1·n2 6 所以 cos ?n1,n2?= = , |n1||n2| 3 6 故二面角 B-A1C-B1 的余弦值为 . ?12 分 3 (19)解: (Ⅰ)记事件: “一顾客购买一件饮品获得 i 等奖”为 Ai,i=1,2,则 6 1 4A3 4 3 P (A1)= 3= ,P (A2)= 3 = , 6 36 6 36 则一顾客一次购买一件饮品获得奖励的概率为 5 P (A1+A2)=P (A1)+P (A2)= . ?4 分 36 故一顾客一次购买两件饮品,至少有一件获得奖励的概率 5 2 335 p=1- 1- = . ?6 分 36 1296

(

)

x (Ⅱ)设一顾客每购买一件饮品所得奖金额为 X 元,则 X 的可能取值为 x, ,0. 2 1 x 4 x 2x x 由(Ⅰ)得 P (X=x)= ,P X= = ,E (x)= + = . ?9 分 36 2 36 36 36 12 该商场每天销售这种饮品所得平均利润 x x 1 Y=y[(36-20)-E (x)]= +24 16- =- (x-48)2+432. 4 12 48 当 x=48 时,Y 最大.故 x 设定为 48(元)为最佳. ?12 分 (20)解: p p (Ⅰ)抛物线 C 的准线 x=- ,依题意 M 4- ,4 , 2 2 p 则 42=2p 4- ,解得 p=4. 2 故抛物线 C 的方程为 y2=8x,点 M 的坐标为(2,4), ?3 分 2 y2 y 1 2 (Ⅱ)设 A ,y1 ,B ,y2 . 8 8 y1-4 8 8 直线 MA 的斜率 k1= 2 = ,同理直线 MB 的斜率 k2= . y1 y1+4 y2+4 -2 8 8 8 由题设有 + =0,整理得 y1+y2=-8. y1+4 y2+4 y1-y2 8 直线 AB 的斜率 k= 2 2= =-1. ?6 分 y1 y2 y1+y2 - 8 8 设直线 AB 的方程为 y=-x+b.

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

由点 M 在直线 AB 的上方得 4>-2+b,则 b<6. ?y2=8x, 由? 得 y2+8y-8b=0. ?y=-x+b 由 Δ=64+32b>0,得 b>-2.于是-2<b<6. ?9 分 |y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2=4 2b+4, 于是|AB|= 2|y1-y2|=8 b+2. 6-b 点 M 到直线 AB 的距离 d= ,则△MAB 的面积 2 1 S= |AB|·d=2 2(b+2)(6-b)2. 2 设 f (b)=(b+2)(6-b)2,则 f ?(b)=(6-b)(2-3b). 2 2 当 b∈ -2, 时,f ?(x)>0;当 b∈ ,6 时,f ?(x)<0. 3 3 2 128 3 当 b= 时,f (b)最大,从而 S 取得最大值 . ?12 分 3 9 (21)解: (Ⅰ)h (x)=f (x)-g (x)=ex-1-x,h ?(x)=ex-1. 当 x∈(-∞,0)时,h ?(x)<0,h (x)单调递减; 当 x∈(0,+∞)时,h ?(x)>0,h (x)单调递增. 当 x=0 时,h (x)取最小值 h (0)=0. ?4 分 x x x k x2 x k x2 (Ⅱ) f g - ≥1- 即 ek 1- ≥1- . ① k k k k k x x x x 由(Ⅰ)知,f -g ≥0,即 ek≥1+ , k k k x x x x x x2 又 1- >0,则 ek 1- ≥ 1+ 1- =1- 2>0. k k k k k x x k x2 k 所以 ek 1- ≥ 1- 2 . ② ?7 分 k k 设 φ (t)=(1-t)k-1+kt,t∈[0,1]. - 由 k>1 知,当 t∈(0,1)时,φ ?(t)=-k(1-t)k 1+k=k[1-(1-t)k]>0, φ (t)在[0,1]单调递增,当 t∈[0,1]时,φ (t)≥φ (0)=0. x2 x2 x2 k x2 因为 2∈[0,1),所以 φ 2 = 1- 2 -1+k· 2≥0, k k k k 因此不等式①成立,从而所证不等式成立. ?12 分 (22)解: (Ⅰ)连结 OA,则 OA=OD,所以∠OAD=∠ODA, 又∠ODA=∠ADE,所以∠ADE=∠OAD,所以 OA∥即 CE. 因为 AE⊥CE,所以 OA⊥AE. 所以 AE 是⊙O 的切线. ?5 分

(

)

(

)

[ ( ) ( )] [ ( )] () () ( ) ( )( ) [ ( )] ( )

( ) (

)

B A

O C

D E

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得△ADE∽△BDA, AE AB 2 4 所以 = ,即 = ,则 BD=2AD, AD BD AD BD 所以∠ABD=30?,从而∠DAE=30?, 2 3 所以 DE=AEtan 30?= . 3 由切割线定理,得 AE2=ED·EC, 2 32 3 4 3 所以 4= +CD ,所以 CD= . ?10 分 3 3 3 (23)解: ρ2cos2θ 2 2 cos2θ 1 (Ⅰ)曲线 C1 的极坐标方程为 +ρ sin θ=1,即 +sin2θ= 2. 4 4 ρ 在极坐标系中,设 M (ρ,θ),P (ρ1,α),则 ρ θ 题设可知,ρ1= ,α= . ① 2 2 2 cos α 1 因为点 P 在曲线 C1 上,所以 +sin2α= 2. ② 4 ρ1 θ θ cos2 sin2 2 2 1 由①②得曲线 C2 的极坐标方程为 2= + . ?6 分 ρ 16 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 1 1 θ = 1+3sin2 . 2 |OM|2 16 1 1 1 因为 , ,所以|OM|的取值范围是[2,4]. ?10 分 2的取值范围是 16 4 |OM| (24)解: x≤-1, ? ?3, (Ⅰ)记 f (x)=|x-1|-|x+2|=?-2x-1,-1<x<1, ? x≥1. ?-3, 1 1 1 1 由-2<-2x-1<0 解得- <x< ,则 M= - , . ?3 分 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 a+ b ≤ |a|+ |b|< × + × = . ?6 分 3 6 3 6 3 2 6 2 4 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 a2< ,b2< . 4 4 2 2 因为|1-4ab| -4|a-b| =(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2) =(4a2-1)(4b2-1)>0, ?9 分 2 2 所以|1-4ab| >4|a-b| ,故|1-4ab|>2|a-b|. ?10 分

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