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圆、椭圆的参数方程的应用 ppt课件(27张) 重点中学高中数学 苏教版 选修四


第2课时 圆、椭圆的参数方程的应用 1.能用曲线的参数方程去研究曲线的性质. 课标解读 2.会用参数法解决圆锥曲线中的最值、定值等问 题. 1.圆的参数方程 圆的参数方程的常见形式为 ? ?x=a+rcos α, ? ? ?y=b+rsin α (α为参 数).其中,参数α的几何意义是以圆心A(a,b)为顶点,且与 x轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P所在半径成的 角. 2.椭圆的参数方程 ? ?x=acos θ, 椭圆的参数方程的常见形式为? ? ?y=bsin θ (θ为参数). 1.椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区别和联 系? 【提示】 x2 y2 椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)和圆x2+y2=r2普通 a b 方程都是平方和等于1的形式,故参数方程都运用了三角代 换法,只是参数方程的常数不同. 2.椭圆的参数方程中参数φ的几何意义是什么? 【提示】 1 ? ?x′=ax, ? ?y′=1y, b ? 从几何变换的角度看,通过伸缩变换,令 x2 y2 椭圆 a2 + b2 =1可以变成圆x′2+y′2=1.利用 ? ?x′=cos φ, 2 2 圆x′ +y′ =1的参数方程 ? ? ?y′=sin φ (φ是参数)可以得 ? ?x=acos φ, x2 y2 到椭圆a2+b2=1的参数方程? (φ是参数). ? ?y=bsin φ 因此,参数φ的几何意义应是椭圆上任意一点M所对应 的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为离心角),而不是OM的 旋转角,如图. 圆的参数方程的应用 在圆x2+2x+y2=0上求一点,使它到直线2x+ 3y-5=0的距离最大. 【自主解答】 圆的方程x2+2x+y2=0可化为(x+1)2+ y 2 ? ?x=-1+cos =1,所以设圆的参数方程为? ? ?y=sin θ. θ, 设P(-1+cos θ,sin θ),则点P到直线2x+3y-5=0的 距离为 |2?-1+cos θ?+3sin θ-5| d= 22+32 |2cos θ+3sin θ-7| = 13 | 13sin?θ+α?-7| 2 13 = (其中sin α= 13 , 13 3 13 cos α= 13 ). 3π 当sin(θ+α)=-1,θ+α= , 2 13+7 13 3π 即θ= 2 -α时,d取到最大值 ,此时x=-1+ 13 2 13 3 13 cos θ=-1- 13 ,y=sin θ=- 13 , 2 13 3 13 即点P(-1- ,- )即为所求. 13 13 已知点P(x,y)在圆x2+y2=1上,求x2+2xy+3y2的最大 值和最小值. ? ?x=cos α, ? ? ?y=sin α 【解】 数). 圆x2+y2=1的参数方程为 (α为参 ∴x2+2xy+3y2=cos2α+2cos αsin α+3sin2α 1+cos 2α 1-cos 2α = +sin 2α+3× 2 2 π =2+sin 2α-cos 2α=2+ 2sin(2α-4). 3π 则当α=kπ+ (k∈Z)时,x2+2xy+3y2取最大值为2+ 8 2, π 当α=kπ- (k∈Z)时,x2+2xy+3y2取最小值为2- 2. 8 椭圆参数方程的应用 已知实数x,y满足3x2+2y2=6x,求: (1)x+y的最大值; (2)x2+y2的取值范围. 【思路探究】 本题表面上看是代数题,但由于方程 3x2+2y2=6x可以表示一个椭圆,故可以用椭

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