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高考一轮总复习 集合与函数概念


第一部分

集合与函数概念
知识网络

集合与函数概念

集合

映射

函数

集 合 表 示 法

集 合 的 关 系

集 合 的 运 算

映 射 的 概 念

函 数 及 其 表 示

函 数 基 本 性 质

列 举 法

描 述 法

图 示 法

包 含

相 等

交 集

并 集

补 集

子集与真子集

函 数 的 概 念

函 数 的 表 示 法

单 调 性 与 最 值

函 数 的 奇 偶 性

第一讲
知识梳理
一:集合的含义及其关系

集合

1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的 3 种表示方法:列举法、描述法、韦恩图; 3.集合中元素与集合的关系: 文字语言 属于 不属于 4.常见集合的符号表示 数集 符号 二: 自然数集 正整数集
N? 或 N?

符号语言

?

?

整数集

有理数集
Q

实数集

复数集

N

Z

R

C

集合间的基本关系 表示 文字语言 符号语言

关系 相等 集合 A 与集合 B 中的所有元 素都相同 子集 A 中任意一元素均为 B 中的元 素 真子集 A 中任意一元素均为 B 中的元 素,且 B 中至少有一元素不 是 A 的元素 空集 空集是任何集合的子集, 是任 何非空集合的真子集 三:集合的基本运算 ①两个集合的交集: A ? B =

A ? B且 B ? A ?
A?B

A ? B或B ? A

A

B

? ? A ,?

B(B ?? )

? x x ? A且x ? B? ; ? ? ? ?


②两个集合的并集: A ? B = x x ? A或x ? B ; ③设全集是 U,集合 A ? U ,则 CU A ? x x ? U 且x ? A 交 并

?
A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B}

?
A ? B ? {x | x ? A, 或x ? B}

CU A ? ? x x ? U 且x ? A?

方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.

重、难点突破
1.集合的概念 掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性,要特别注意集合中元素的互异性, 在解题过程中最易被忽视,因此要对结果进行检验; 2.集合的表示法 (1)列举法要注意元素的三个特性; (2)描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质,如

?x y ? f (x)?、 ?y y ? f (x)?、 ?( x, y) y ? f ( x)? 等的差别,如果对集合中代表元素认识不清,将导致求
解错误:

问题:已知集合 M ? ? x

? x2 y 2 ? ? x y ? ? ? 1? , N ? ? y ? ? 1? , 则M ? N= ( 4 ? 3 2 ? ? 9 ?



A. ? ;B. ?(3,0), (0,2)? ;C.

? ?3,3? ;D. ?3, 2?

[错解]误以为集合 M 表示椭圆 顶点,于是错选 B

x2 y2 x y ? ? 1 ,集合 N 表示直线 ? ? 1 ,由于这直线过椭圆的两个 9 4 3 2

[正解] C; 显然 M ? x ? 3 ? x ? 3 , N ? R ,故 M ? N ? [?3,3] (3)Venn 图是直观展示集合的很好方法,在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用 Venn 图。 3.集合间的关系的几个重要结论 (1)空集是任何集合的子集,即 ? ? A (2)任何集合都是它本身的子集,即 A ? A (3)子集、真子集都有传递性,即若 A ? B , B ? C ,则 A ? C 4.集合的运算性质 ( 1 ) 交 集 : ① A ? B ? B ? A ; ② A ? A ? A ; ③ A ?? ? ? ; ④ A ? B ? A , A ? B ? B ⑤

?

?

A? B ? A ? A ? B ;
( 2 ) 并 集 : ① A ? B ? B ? A ; ② A ? A ? A ; ③ A ?? ? A ; ④ A ? B ? A , A ? B ? B ⑤

A? B ? A ? B ? A;
(3)交、并、补集的关系 ① A ? CU A ? ? ; A ? CU A ? U ② CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) ; CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B)

热点考点题型探析
考点一:集合的定义及其关系 题型 1:集合元素的基本特征 [例 1] 定义集合运算: A ? B ? ? z | z ? xy, x ? A, y ? B? .设

A ? ?1, 2? , B ? ?0, 2? ,则集合 A ? B 的所有元素之和为(
A.0;B.2;C.3;D.6



[解题思路]根据 A ? B 的定义,让 x 在 A 中逐一取值,让 y 在 B 中逐一取值, xy 在值就是 A ? B 的元素 [解析]:正确解答本题,必需清楚集合 A ? B 中的元素,显然,根据题中定义的集合运算知 A ? B = ?0,2,4? ,

故应选择 D 【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平,所以成为高考的一个热点,这时要充分 理解所定义的运算即可,但要特别注意集合元素的互异性。 题型 2:集合间的基本关系 [例 2].数集 X ? ?(2n ? 1)? , n ? Z ? 与 Y ? ?(4k ? 1)? , k ? Z ?之的关系是( A. X )

Y ;B. Y

X ; C. X ? Y ;D. X ? Y

[解题思路]可有两种思路:一是将 X 和 Y 的元素列举出来,然后进行判断;也可依选择支之间的关系进行 判断。 [解析] 从题意看,数集 X 与 Y 之间必然有关系,如果 A 成立,则 D 就成立,这不可能; 同样,B 也不能成立;而如果 D 成立,则 A、B 中必有一个成立,这也不可能,所以只能是 C 【名师指引】新定义问题是高考的一个热点,解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义,逐个进行检 验,不方便进行检验的,就设法举反例。 [新题导练] 1.第二十九届夏季奥林匹克运动会于 2008 年 8 月 8 日在北京举行,若集合 A={参加北京奥运会比赛的运 动员},集合 B={参加北京奥运会比赛的男运动员},集合 C={参加北京奥运会比赛的女运动员},则下列关 系正确的是( A. A ? B ) B. B ? C C. A ? B ? C D. B ? C ? A

[解析] D;因为全集为 A ,而 B ? C =全集= A

1,0 2.(2006?山东改编)定义集合运算: A ? B ? z ? x y ? xy , x ? A, y ? B ,设集合 A ? ? ?, B ? ?2,3? ,
2 2

?

?

则集合 A ? B 的所有元素之和为 [解析]18,根据 A ? B 的定义,得到 A ? B ? ?0,6,12?,故 A ? B 的所有元素之和为 18 3. (2007· 湖北改编) P 和 Q 是两个集合, 设 定义集合 P ? Q ? ?x | x ? P, 且x ? Q? , 如果 P ? x log 3 x ? 1 ,

?

?

Q ? ?x x ? 1? ,那么 P ? Q 等于
[解析]

?x 1 ? x ? 3?;因为 P ? ?x log

3

x ? 1? ? (0,3) , Q ? ?x x ? 1? ? (?1,1) ,所以

P ? Q ? (1,3)
4.研究集合 A ? x y ? x ? 4 , B ? y y ? x ? 4 , C ? ( x, y ) y ? x ? 4 之间的关系
2 2 2

?

?

?

?

?

?

[解析] A 与 C , B 与 C 都无包含关系,而 B

A ;因为 A ? x y ? x 2 ? 4 表示

?

?

y ? x 2 ? 4 的 定 义 域 ,故 A ? R ; B ? y y ? x 2 ? 4 表 示 函数 y ? x 2 ? 4 的 值 域 , B ? [?4,??) ;

?

?

C ? ?( x, y ) y ? x 2 ? 4?表示曲线 y ? x 2 ? 4 上的点集,可见, B

A ,而 A 与 C , B 与 C 都无包含关系

考点二:集合的基本运算 [例 3] 设集合 A ? x x ? 3x ? 2 ? 0 , B ? x x ? 2(a ? 1) x ? (a ? 5) ? 0
2 2 2

?

?

?

?

(1) 若 A ? B ? ?2?,求实数 a 的值; (2)若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围若 A ? B ? ?2?, [解题思路]对于含参数的集合的运算,首先解出不含参数的集合,然后根据已知条件求参数。

1 [解析]因为 A ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 ? ? ,2?,
2

?

?

(1)由 A ? B ? ?2?知, 2 ? B ,从而得 2 ? 4(a ? 1) ? (a ? 5) ? 0 ,即
2 2

a 2 ? 4a ? 3 ? 0 ,解得 a ? ?1或 a ? ?3
当 a ? ?1时, B ? x x ? 4 ? 0 ? ?2,?2? ,满足条件;
2

?

?

当 a ? ?3 时, B ? x x ? 4 x ? 4 ? 0 ? ?2? ,满足条件
2

?

?

所以 a ? ?1或 a ? ?3 (2)对于集合 B ,由 ? ? 4(a ? 1) ? 4(a ? 5) ? 8(a ? 3)
2 2

因为 A ? B ? A ,所以 B ? A ①当 ? ? 0 ,即 a ? ?3 时, B ? ? ,满足条件; ②当 ? ? 0 ,即 a ? ?3 时, B ? ?2?,满足条件;

1 ③当 ? ? 0 ,即 a ? ?3 时, B ? A ? ? ,2?才能满足条件,
5 ? ?1 ? 2 ? ?2(a ? 1) ?a ? ? 由根与系数的关系得 ? ?? 2 ,矛盾 2 ?1 ? 2 ? a ? 5 ?a 2 ? 7 ?
故实数 a 的取值范围是 a ? ?3 【名师指引】对于比较抽象的集合,在探究它们的关系时,要先对它们进行化简。同时,要注意集合的子 集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况. [新题导练] 6.若集合 S ? y y ? 3 , x ? R , T ? y y ? x ? 1, x ? R ,则 S ? T 是(
x 2

?

?

?

?



A. S ;B. T ;C. ? ;D. 有限集
x [解析] A;由题意知,集合 S ? y y ? 3 , x ? R 表示函数 y ? 3 , x ? R 的值域,故

?

x

?

2 集合 S ? (0,??) ; T ? y y ? x ? 1, x ? R 表示函数 y ? x ? 1, x ? R 的值域,

?

2

?

T ? [?1,??) ,故 S ? T ? S
7. 已知集合 M ? ( x, y ) x ? y ? 2 ,N ? ( x, y ) x ? y ? 4 , 那么集合 M ? N 为 ( B. (3,?1) ;C. ?3,?1? ;D. ?(3,?1)? [解析]D; M ? N 表示直线 x ? y ? 2 与直线 x ? y ? 4 的交点组成的集合,A、B、C 均不合题意。 8.集合 A ? {x | ax ? 1 ? 0} , B ? x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,且 A ? B ? B ,求实数 a 的值.

?

?

?

?

) x ? 3, y ? ?1 ; A.

?

?

1 ;先化简 B 得, B ? ?1, 2? .由于 A ? B ? B ? A ? B ,故 1 ? A 或 2 ? A . 2 1 因此 a ? 1 ? 0 或 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1 或 a ? . 2
[解析] 0,1, 容易漏掉的一种情况是: A ? ? 的情形,此时 a ? 0 . 故所求实数 a 的值为 0,1,

1 . 2

备选例题 1:已知 M ? y y ? x ? 1 , N ? ( x, y ) x ? y ? 1 ,则 M ? N 中的元素个数是(
2 2

?

?

?

?



A. 0 ;B. 1;C. 2 ;D.无穷多个 [解析]选 A;集合 M 表示函数 y ? x ? 1 的值域,是数集,并且 M ? R ,而集合 N 表示满足

x 2 ? y 2 ? 1 的有序实数对的集合,即表示圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的点,是点集。所以,集合 M 与集合 N 中的元素
均不相同,因而 M ? N ? ? ,故其中元素的个数为 0 [误区分析]在解答过程中易出现直线 y ? x ? 1 与圆 x ? y ? 1 有两个交点误选 C; 或者误认为 y ? x ? 1 中
2 2

y ? R ,而 x 2 ? y 2 ? 1 中 ? 1 ? y ? 1 ,从而 M ? N ? [?1,1] 有无穷多个解而选 D。注意,明确集合中元素
的属性(是点集还是数集)是准确进行有关集合运算的前提和关键。 备选例题 2:已知集合 A 和集合 B 各有 12 个元素, A ? B 含有 4 个元素,试求同时满足下面两个条件的 集合 C 的个数: (Ⅰ) C

A ? B ,且 C 中含有 3 个元素;

(Ⅱ) C ? A ? ? ( ? 表示空集) [解法一]因为 A 、 B 各有 12 个元素, A ? B 含有 4 个元素, 因此, A ? B 的元素个数是 12 ? 12 ? 4 ? 20 故满足条件(Ⅰ)的集合 C 的个数是 C 20 上面集合中,还满足 C ? A ? ? 的集合 C 的个数是 C 8
3 3

3 3 因此,所求集合 C 的个数是 C 20 ? C8 ? 1084

[解法二]由题目条件可知,属于 B 而不属于 A 的元素个数是 12 ? 4 ? 8
1 2 因此,在 A ? B 中只含有 A 中 1 个元素的所要求的集合 C 的个数为 C12 C8 2 1 含有 A 中 2 个元素的所要求的集合 C 的个数为 C12 C8

含有 A 中 3 个元素的所要求的集合 C 的个数为 C12
1 2 2 1 3 所以,所求集合 C 的个数是 C12C8 ? C12C8 ? C12 ? 1084

3

基础巩固训练:
1. 设全集 U ? R , A ? x x( x ? 3) ? 0 , B ? x x ? ? 1 , 则右图中阴影部分 表示的集合为 ( )

?

?

?

?

U

A

B

A. x x ? 0 ;B. x ?3 ? x ? 0 ;C. x ?3 ? x ? ?1 ;D. x x ? ?1 [解析]C;图中阴影部分表示的集合是 A ? B ,而 A ? x ? 3 ? x ? 0 ,故

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

A ? B ? ?x ? 3 ? x ? ?1?
2.已知 A ? x x (1 ? x ) ? 0 , B ? x log 2 x ? 0

?

?

?

?

则 A? B =

A. (0,1) ;B. (0, 2) ;C. (??,0) ;D. (??, 0) ? (0, ? ? ? [解析] A;因为 A ? x 0 ? x ? 1 , B ? x 0 ? x ? 1 ,所以 A ? B ? x 0 ? x ? 1 3.集合 {?1, 0,1} 的所有子集个数为 [解析]8;集合 {?1, 0,1} 的所有子集个数为 2 3 ? 8 4.集合 A 中的代表元素设为 x ,集合 B 中的代表元素设为 y ,若 ?x ? B 且 ?y ? A ,则 A 与 B 的关系是 [解析] B ? A 或 A ? B ? ? ;由子集和交集的定义即可得到结论 5.设集合 S ? x | x ? 2 ? 3 , T ? ?x | a ? x ? a ? 8?, S ? T ? R ,则 a 的取值范围是( A. ? 3 ? a ? ?1 ;B. ? 3 ? a ? ?1 C. a ? ?3 或 a ? ?1 ;D. a ? ?3 或 a ? ?1 [解析]A; S ? x | x ? 2 ? 3 ? x x ? ?1或x ? 5 , T ? ?x | a ? x ? a ? 8? , S ? T ? R 所以 ?

?

?

?

?

?

?

?

?



?

? ?

?

?a ? ?1 ,从而得 ? 3 ? a ? ?1 ?a ? 8 ? 5

综合提高训练

6. P ? m ? 1 ? m ? 0 , Q ? m ? R mx ? 4mx ? 4 ? 0对于任意实数x恒成立
2

?

?

?

?

则下列关系中立的是( A. P

)

Q ; B. Q

P ;C. P ? Q ;D. P ? Q ? ?

[解析]A;当 m ? 0 时,有 ?

?m ? 0
2 ? ? ? ( 4 m ) ? 4 ? m ? ( ?4 ) ? 0

,即

Q ? ?m ? R ? 1 ? m ? 0?;当 m ? 0 时, mx 2 ? 4mx ? 4 ? 0 也恒成立,故 Q ? ?m ? R ? 1 ? m ? 0?,所以 P
Q

1 7.设 f (n) ? 2n ? 1(n ? N ) , P ? ? ,2,3,4,5?, Q ? ?3,4,5,6,7?,记
? ? ? ? ? ? P ? ?n ? N f (n) ? P?, Q ? n ? N ? f (n) ? Q ,则 ( P ? C N Q) ? (Q ? C N P) =(

?

?

)

1 1 A. ?0,3?; B. ? ,2?; C. ?3,4,5? ; D. ? ,2,6,7?
? ? ? 1 ? [解析] A;依题意得 P ? ?0,1,2?, Q ? ? ,2,3?,所以 ( P ? C N Q) ? ?0? , ? ? (Q ? C N P) ? ?3?,故应选 A
8 . 设 A 、 B 是 非 空 集 合 , 定 义 A ? B ? {x x ? A ? B且x ? A ? B} , 已 知 A= {x | y ? B= { y | y ? 2 , x ? 0} ,则 A×B 等于(
x

2x ? x2 } ,



A. ? 0, ?? ? ;B. ? 0,1? ? ? 2, ?? ? ;C. ? 0,1? ? ? 2, ?? ? ;D. ? 0,1? ? (2, ??) [解析]D; 2 x ? x 2 ? 0 ? 0 ? x ? 2 ,∴A=[0,2], x ? 0 ? 2 x ? 1 ,∴B=(1,+∞) , ∴A∪B=[0, +∞) ,A∩B=(1,2],则 A×B= ? 0,1? ? (2, ??)

第2讲

函数与映射的概念
知识梳理

1.函数的概念 (1)函数的定义: 设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的每一个数 x ,在集合 B 中都 有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数,通常记为 y ? f ( x), x ? A (2)函数的定义域、值域 在函数 y ? f ( x), x ? A 中, x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做 y ? f (x) 的定义域;与 x 的值相对

应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 f ( x) x ? A 称为函数 y ? f (x) 的值域。 (3)函数的三要素:定义域、值域和对应法则 2.映射的概念 设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的任意元素,在集合 B 中都有唯一 确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从 A 到 B 的映射,通常记为 f : A ? B

?

?

重、难点突破 1.关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域,如果没有弄清所给函数之间的关系,求解容易出错误 问题 1:已知函数 y ? f (x) 的定义域为 [a,b] ,求 y ? f ( x ? 2) 的定义域 [误解]因为函数 y ? f (x) 的定义域为 [a,b] ,所以 a ? x ? b ,从而 a ? 2 ? x ? 2 ? b ? 2 故 y ? f ( x ? 2) 的定义域是 [a ? 2, b ? 2] [正解]因为 y ? f (x) 的定义域为 [a,b] ,所以在函数 y ? f ( x ? 2) 中, a ? x ? 2 ? b , 从而 a ? 2 ? x ? b ? 2 ,故 y ? f ( x ? 2) 的定义域是 [a ? 2, b ? 2] 即本题的实质是求 a ? x ? 2 ? b 中 x 的范围 问题 2:已知 y ? f ( x ? 2) 的定义域是 [a,b] ,求函数 y ? f (x) 的定义域 [误解]因为函数 y ? f ( x ? 2) 的定义域是 [a,b] ,所以得到 a ? x ? 2 ? b ,从而

a ? 2 ? x ? b ? 2 ,所以函数 y ? f (x) 的定义域是 [a ? 2, b ? 2]
[正解]因为函数 y ? f ( x ? 2) 的定义域是 [a,b] ,则 a ? x ? b ,从而 a ? 2 ? x ? 2 ? b ? 2 所以函数 y ? f (x) 的定义域是 [a ? 2, b ? 2] 即本题的实质是由 a ? x ? b 求 x ? 2 的范围 即 f (x) 与 f ( x ? 2) 中 x 含义不同 2. 求值域的几种常用方法 (1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法,如求函数 y ? ? sin x ? 2 cos x ? 4 ,可
2

变为 y ? ? sin x ? 2 cos x ? 4 ? (cos x ? 1) ? 2 解决
2 2

(2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求,如函数

y ? log 1 (? x 2 ? 2 x ? 3) 就是利用函数 y ? log 1 u 和 u ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的值域来求。
2
2

2x ? 1 的值域 x ? 2x ? 2 2x ? 1 1 2 由y? 2 得 yx ? 2( y ? 1) x ? 2 y ? 1 ? 0 ,若 y ? 0 ,则得 x ? ? ,所以 y ? 0 是函数值域中 2 x ? 2x ? 2
(3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数 y ?
2

的一个值;若 y ? 0 ,则由 ? ? [?2( y ? 1)] ? 4 y (2 y ? 1) ? 0 得
2

3 ? 13 3 ? 13 ? y? 且y ? 0 ,故所求 2 2

值域是 [

3 ? 13 3 ? 13 , ] 2 2

2 cos x ? 3 的值域,因为 cos x ? 1 2 cos x ? 3 5 5 5 ,而 cos x ? 1 ? (0,2] ,所以 ? y? ? 2? ? (??,? ] ,故 cos x ? 1 cos x ? 1 cos x ? 1 2 1 y ? (??,? ] 2 3x (5)利用基本不等式求值域:如求函数 y ? 2 的值域 x ?4
(4)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。如求函数 y ? 当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 0 时, y ?

3 x? 4 x

,若 x ? 0 ,则 x ?

4 4 ? 2 x? ? 4 x x

若 x ? 0 ,则 x ?

4 4 4 3 3 ? ?( ? x ? ) ? 2 (? x) ? ( ) ? 4 ,从而得所求值域是 [? , ] x ?x ?x 4 4
4 2

(6)利用函数的单调性求求值域:如求函数 y ? 2 x ? x ? 2( x ? [?1,2]) 的值域 因 y ? 8 x ? 2 x ? 2 x(4 x ? 1) , 故函数 y ? 2 x ? x ? 2( x ? [?1,2]) 在 (?1,? ) 上递减、 (? 在
3 2 4 2

1 2

1 ,0) 上递 2

增、在 (0, ) 上递减、在 ( ,2) 上递增,从而可得所求值域为 [

1 2

1 2

15 ,30 ] 8

(7)图象法:如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域(求某些分段函数的 值域常用此法)。

热点考点题型探析 考点一:判断两函数是否为同一个函数 [例 1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1) f ( x) ? (2) f ( x) ?

x 2 , g ( x) ? 3 x 3 ;
x x
, g ( x) ? ?

?1 ?? 1

x ? 0, x ? 0;

(3) f ( x) ? (4) f ( x) ?

2 n ?1

x 2 n ?1 , g ( x) ? (2 n ?1 x ) 2 n ?1 (n∈N*);
x ? 1 , g ( x) ?

x

x2 ? x ;

(5) f ( x) ? x ? 2 x ? 1 , g (t ) ? t ? 2t ? 1
2 2

[解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数,就要考查函数的三要素。 [解析] (1)由于 f ( x ) ? 是同一函数. (2)由于函数 f ( x) ? 以它们不是同一函数. (3)由于当 n∈N*时,2n± 为奇数,∴ f ( x) ? 1 域、值域及对应法则都相同,所以它们是同一函数. ( 4 ) 由 于 函 数 f ( x) ?
2 n ?1

x 2 ? x , g ( x) ? 3 x 3 ? x ,故它们的值域及对应法则都不相同,所以它们不

x x

的定义域为 (??,0) ? (0,??) ,而 g ( x ) ? ?

?1 ?? 1

x ? 0, x ? 0;

的定义域为 R,所

x 2 n ?1 ? x , g ( x) ? (2 n?1 x ) 2 n ?1 ? x ,它们的定义

x

x ? 1 的 定 义 域 为 x x ? 0 , 而 g ( x) ?

?

?

x2 ? x 的 定 义 域 为

?x x ? 0或x ? ?1?,它们的定义域不同,所以它们不是同一函数.
(5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数. [答案](1)、(2)、(4)不是;(3)、(5)是同一函数 【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系确定的, 所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数为同一函数。第(5)小题易错判断成 它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透,在函数的定义域及对应法则 f 不变的条件下,自变量变换 字母对于函数本身并无影响,比如 f ( x) ? x ? 1 , f (t ) ? t ? 1 , f (u ? 1) ? (u ? 1) ? 1 都可视为同一函
2 2 2

数. [新题导练] 1.下列函数中与函数 y ? x 相同的是( A .y = ( x )2 ; B. y =
3

)

t 3 ; C. y = x 2 ; D. y=

x2 x

[解析] B;因为 y = 2.与函数 y ? 0.1

3

t 3 ? t ,所以应选择 B
的图象相同的函数是 ( )

lg(2 x ?1)

A. y ? 2 x ? 1 ( x ?

1 1 1 1 1 ;C. y ? ) ;B. y ? ( x ? ) ; D. y ?| | 2 2x ? 1 2x ? 1 2 2x ? 1
lg( 2 x ?1)

[解析] C; 根据对数恒等式得 y ? 0.1 故应选择 C 考点二:求函数的定义域、值域

? 10

lg

1 2 x ?1

?

1 1 lg(2 x ?1) , 且函数 y ? 0.1 的定义域为 ( ,?? ) , 2x ? 1 2

题型 1:求有解析式的函数的定义域

[例 2].函数 f (x) ?

1 ln( x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4 ) 的定义域为( ) x

A. (??,?4) ? [2,??) ;B. (?4,0) ? (0,1) ;C. [, ?4,0) ? (0,1] ;D. [, ?4,0) ? (0,1) [解题思路]函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。 [解析]欲使函数 f (x) 有意义,必须并且只需

? x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? 2 ?? x ? 3 x ? 4 ? 0 ? x ? [?4,0) ? (0,1) ,故应选择 D ? 2 x ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ? ?x ? 0 ?
【名师指引】如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x 的取值范围,实际操作时 要注意:①分母不能为 0;② 对数的真数必须为正;③偶次根式中被开方数应为非负数;④零指数幂中, 底数不等于 0;⑤ 负分数指数幂中,底数应大于 0;⑥若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应 集合的交集;⑦ 如果涉及实际问题,还应使得实际问题有意义,而且注意:研究函数的有关问题一定要注 意定义域优先原则,实际问题的定义域不要漏写。 题型 2:求抽象函数的定义域 [例 3]设 f ? x ? ? lg

2? x x 2 ,则 f ? ? ? f ? ? 的定义域为( ? ? ? ? 2? x ?2? ? x?



A. ?? 4,0? ? ?0,4? ;B. ?? 4,?1? ? ?1,4? ;C. ?? 2,?1? ? ?1,2? ;D. ?? 4,?2? ? ?2,4?
x 2 [解题思路]要求复合函数 f ? ? ? f ? ? 的定义域,应先求 f (x) 的定义域。 ? ? ? ? 2? ? ? x?

? ??2 ? 2? x ? [解析]由 ? 0 得, f ( x) 的定义域为 ?2 ? x ? 2 ,故 ? 2? x ??2 ? ? ?
解得 x ? ? ?4, ?1? ? ?1, 4 ? 。故 f ?

x ? 2, 2 2 ? 2. x

? x? ?2? ? ? f ? ? 的定义域为 ?? 4,?1? ? ?1,4? .选 B. ?2? ? x?

【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数 f ( x) 的定义为 [a, b] ,则函数 f [ g ( x)] 的定义域是满足不等 式 a ? g ( x) ? b 的 x 的取值范围; 一般地, 若函数 f [ g ( x)] 的定义域是 [a, b] , 指的是 x ? [a, b] , 要求 f ( x) 的定义域就是 x ? [a, b] 时 g ( x) 的值域。 题型 3;求函数的值域
2 [例 4]已知函数 y ? x ? 4ax ? 2a ? 6(a ? R) ,若 y ? 0 恒成立,求 f (a) ? 2 ? a a ? 3 的值域

[解题思路]应先由已知条件确定 a 取值范围,然后再将 f (a ) 中的绝对值化去之后求值域

[解析]依题意, y ? 0 恒成立,则 ? ? 16 a ? 4(2a ? 6) ? 0 ,解得 ? 1 ? a ?
2

3 , 2

所以 f (a) ? 2 ? a(a ? 3) ? ?(a ? ) 2 ? 以 f (a ) 的值域是 [?

3 2

17 3 19 ,从而 f (a) max ? f (?1) ? 4 , f (a) min ? f ( ) ? ? ,所 4 2 4

19 ,4] 4

【名师指引】求函数的值域也是高考热点,往往都要依据函数的单调性求函数的最值。

[新题导练] 3. 函数 f ( x ) ?

x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)

的定义域为



[解析] [3, ??) ;由 ?

? x ? 2 ?1 ? 0 ? x ? 1 ? 0, x ? 1 ? 1

解得 x ? 3

4.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 的值域为 [a, b] ,则函数 y ? f ( x ? 1) 的值域为( A. [a ? 1, b ? 1] ;B. [a, b] ;C. [a ? 1, b ? 1] ;D.无法确定

)

[解析] B;函数 y ? f ( x ? 1) 的图象可以视为函数 y ? f ( x) 的图象向右平移一个单位而得到,所以,它们 的值域是一样的 5.若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [1,3] ,则函数 g ( x) ?

f (2 x) 的定义域是 x ?1 1 2 3 2

[解析] [ ,1) ? (1, ] ;因为 f ( x) 的定义域为 [1,3] ,所以对 g ( x) ,1 ? 2x ? 3 但 x ? 1 故 x ? [ ,1) ? (1, ] 6.若函数 y ? f ( x) 的值域是 [ ,3] ,则函数 F ? x ? ? f ? x ? ? 是 [解析] [2,

1 2

3 2

2 3

1 的值域 f ( x)

10 1 2 ] ; F (x) 可以视为以 f (x) 为变量的函数,令 t ? f (x) ,则 F ? t ? ( ? t ? 3) 3 t 3

F? ? 1?

1 t 2 ? 1 (t ? 1)(t ? 1) 1 2 ? 2 ? ,所以, F ? t ? 在 [ ,1] 上是减函数,在 [1,3] 上是增函数,故 F (x) 2 2 t 3 t t t
10 ,最小值是 2 3

的最大值是

考点三:映射的概念 [例 5] 为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 ? 密文(加密) ,接收方由密文 ? 明文(解密) , 已 知 加 密 规 则 为 : 明 文 a, b, c, d 对 应 密 文 a ? 2 b, 2b ? c, 2c? 3d , 4d . 如 , 明 文 1, 2,3, 4 对 应 密 文 例

5,7,18,16. 当接收方收到密文 14,9, 23, 28 时,则解密得到的明文为(



A. 7, 6,1, 4 ;B. 6, 4,1, 7 ;C. 4, 6,1, 7 ;D. 1, 6, 4, 7 [解题思路] 密文与明文之间是有对应规则的,只要按照对应规则进行对应即可。 [解析] 当接收方收到密文 14,9,23,28 时,

? a ? 2b ? 14 ?a ? 6 ? 2b ? c ? 9 ?b ? 4 ? ? 有? ,解得 ? ,解密得到的明文为 C. ? 2c ? 3d ? 23 ? c ?1 ? 4d ? 28 ?d ? 7 ? ?
【名师指引】理解映射的概念,应注意以下几点: (1)集合 A、B 及对应法则 f 是确定的,是一个整体系统; (2)对应法则有“方向性”,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从集合 B 到集合 A 的对应关系一 般是不同的; (3)集合 A 中每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的,这是映射区别于一般对应的本质 .. 特征; (4)集合 A 中不同元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (5)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象.

[新题导练] 7.集合 A={3,4},B={5,6,7},那么可建立从 A 到 B 的映射个数是__________,从 B 到 A 的映射个数是 __________. [解析] 9 , 8;从 A 到 B 可分两步进行:第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法(可对应 5 或 6 或 7), 第二步 A 中的元素 4 也有这 3 种对应方法.由乘法原理,不同的映射种数 N1=3× 3=9.反之从 B 到 A,道理 相同,有 N2=2× 2=8 种不同映射. 2× 8.若 f :y=3x+1 是从集合 A={1,2,3,k}到集合 B={4,7,a4,a2+3a}的一个映射,求自然数 a、k 的值及 集合 A、B. [解析] a=2,k=5,A={1,2,3,5},B={4,7,10,16};

?a 4 ? 10, ? ∵f 1) 1+1=4, 2) 2+1=7, 3) 3+1=10, k) ( =3× f ( =3× f ( =3× f ( =3k+1, 由映射的定义知 (1)? 2 ?a ? 3a ? 3k ? 1, ? ? 2 ?a ? 3a ? 10, 或(2) ? 4 ?a ? 3k ? 1. ?
∵a∈N,∴方程组(1)无解. 解方程组(2) ,得 a=2 或 a=-5(舍) ,3k+1=16,3k=15,k=5. ∴A={1,2,3,5},B={4,7,10,16}. 备 选 例 题 : 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f (x) 的全体:存在非零常数 T ,对任意 x ? R ,有

f ( x ? T ) ? Tf ( x) 成立。
(1)函数 f ( x) ? x 是否属于集合 M ?说明理由; (2)设函数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) 的图象与 y ? x 的图象有公共点,证明: f ( x) ? a ? M
x x

[解析] 1) ( 对于非零常数 T, f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意 x∈R, x+T= Tx 不能恒成立, 所以 f(x)= x ? M . (2)因为函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)的图象与函数 y=x 的图象有公共点, 所以方程组: ?

?y ? ax ?y ? x

有解,消去 y 得 ax=x,

显然 x=0 不是方程 ax=x 的解,所以存在非零常数 T,使 aT=T. 于是对于 f(x)=ax 有 f ( x ? T ) ? a
x ?T

? a T ? a x ? T ? a x ? Tf ( x) 故 f(x)=ax∈M.

基础巩固训练
1.已知函数 f ( x) ?

1 1? x

的定义域为 N , g ( x) ? ln(1 ? x) 的定义域为 M ,则 M ? N ?

[解析] (?,??) ;因为 M ? (?1, ??), N ? (??,1) ,故 M ? N ? R 2.函数 y ?

log 1 (3x ? 2) 的定义域是
3

[解析]

( 2 ,1] ;由 0 ? 3x ? 2 ? 1 得到 ? x ? 1 3
2x ?1 的值域是 2x ?1
2x ?1 y ?1 y ?1 x 知 y ? 1 ,从而得 2 ? ,而 2 x ? 0 ,所以 ? 0 ,即 ? 1 ? y ? 1 x 1? y 1? y 2 ?1
)

2 3

3.函数 y ?

[解析] (?1,1) ;由 y ?

4.从集合 A 到 B 的映射中,下列说法正确的是(

A.B 中某一元素 b 的原象可能不只一个;B.A 中某一元素 a 的象可能不只一个 C.A 中两个不同元素的象必不相同; D.B 中两个不同元素的原象可能相同

[解析]A;根据映射的定义知可排除 B、C、D 5.下列对应法则 f 中,构成从集合 A 到集合 B 的映射是( A. A ? {x | x ? 0}, B ? R, f : x ?| y |? x B. A ? {?2,0,2}, B ? {4}, f : x ? y ? x C. A ? R, B ? { y | y ? 0}, f : x ? y ?
2



2

1 x2

D. A ? {0,2}, B ? {0,1}, f : x ? y ?

x 2 25 , 4] ,则 m 的取值范围是( ? 4

[解析]D;根据映射的定义知,构成从集合 A 到集合 B 的映射是 D 6.若函数 y ? x ? 3x ? 4 的定义域为 [0, m] ,值域为 [ ?
2



A. ?0,4? ;B. [ , ; C. [ ,4] ;D. [ , ?) 3] ?

3 2

3 2

3 2

25 3 ,其图象的对称轴为直线 x ? , 4 2 25 25 3 其最小值为 ? , 并且当 x ? 0 及 x ? 3 时,y ? ?4 , 若定义域为 [0, m] , 值域为 [ ? , 4] , 则 ?m?3 ? 4 4 2
[解析]B;因为函数 y ? x ? 3x ? 4 即为 y ? ( x ? ) 2 ?
2

3 2

综合提高训练
8.设函数 f ( x) ? ln

2? x x 1 ,则函数 g ( x) ? f ( ) ? f ( ) 的定义域是 2? x 2 x

? ?? 2 ? 1 1 2? x ? [解析] (?4,? ) ? ( ,4) ;由 ? 0 得, f ( x) 的定义域为 ? 2 ? x ? 2 。故 ? 2 2 2? x ?? 2 ? ? ?
解得 ? 4 ? x ? ?

x ?2 2 1 ?2 x

1 1 或 ? x ? 4。 2 2 1 9.设函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 的定义域是 [n, n ? 1] ( n 是正整数),那么 f (x) 的值域中共有 2


个整

1 1 1 ? ( x ? ) 2 ? ,可见, f (x) 在 [n, n ? 1] ( n 是正整数)上是增函 2 2 4 1 1 数,又 f (n ? 1) ? f (n) ? [( n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? ] ? (n 2 ? n ? ) ? 2n ? 2 2 2
[解析] 2n ? 2 ;因为 f ( x) ? x 2 ? x ? 所以,在 f (x) 的值域中共有 2n ? 2 个整数

第3讲

函数的表示方法
知识梳理

一、函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法 1.图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系; 2.列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; 3.解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。 二、分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

重、难点突破
掌握求函数的解析式的一般常用方法: (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) ,则用待定系数法; (2)若已知复合函数 f [ g ( x)] 的解析式,则可用换元法或配凑法; 问题 1.已知二次函数 f (x) 满足 f (2 x ? 1) ? 4 x ? 6 x ? 5 ,求 f (x)
2

方法一:换元法 令 2 x ? 1 ? t (t ? R) ,则 x ?
2

t ?1 t ?1 2 t ?1 ,从而 f (t ) ? 4( ) ? 6? ? 5 ? t 2 ? 5t ? 9(t ? R) 2 2 2

所以 f ( x) ? x ? 5 x ? 9( x ? R) 方法二:配凑法 因为 f (2 x ? 1) ? 4 x ? 6 x ? 5 ?? (2 x ? 1) ? 10 x ? 4 ? (2 x ? 1) ? 5(2 x ? 1) ? 9
2 2 2

所以 f ( x) ? x ? 5 x ? 9( x ? R)
2

方法三:待定系数法 因 为 f (x) 是 二 次 函 数 , 故 可 设 f ( x) ? ax ? bx ? c , 从 而 由 f (2 x ? 1) ? 4 x ? 6 x ? 5 可 求 出
2 2

a ? 1、b ? ?5、c ? 9 ,所以 f ( x) ? x 2 ? 5 x ? 9( x ? R)
(3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f (x) 问题 2:已知函数 f (x) 满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3x ,求 f (x) 因为 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3x ?? ①

1 x

1 x

1 1 1 代 x 得 f ( ) ? 2 f ( x) ? 3 ? ?? ② x x x 1 2 由①②联立消去 f ( ) 得 f ( x) ? ? x( x ? 0) x x


热点考点题型探析
考点 1:用图像法表示函数 [例 1] (09 年广东南海中学)一水池有 2 个进水口, 1 个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、 乙所示. 6 5 2 某天 01 点到 6 点,该水池的蓄水量如图丙所示.给出以下 3 个论断: 进水量
0

出水量

蓄水量
0 3 6 时间 4

1 时间

01时间







(1) 0 点到 3 点只进水不出水; (2) 3 点到 4 点不进水只出水; (3) 4 点到 6 点不进水不出水. 则一定不正确的论断是 ... (把你认为是符合题意的论断序号都填上) .

[解题思路]根据题意和所给出的图象,对三个论断进行确认即可。 [解析]由图甲知,每个进水口进水速度为每小时 1 个单位,两个进水口 1 个小时共进水 2 个单位,3 个小时 共进水 6 个单位,由图丙知①正确;而由图丙知,3 点到 4 点应该是有一个进水口进水,出水口出水,故 ②错误;由图丙知,4 点到 6 点可能是不进水不出水,也可能是两个进水口都进水,同时出水口也出水, 故③不一定正确。从而一定不正确的论断是(2) ... 【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点,它要求考生熟悉 基本的函数图象特征,善于从图象中发现其性质。高考中的热点题型是“知式选图”和“知图选式” 。

[新题导练] 1.一给定函数 y ? f (x) 的图象在下列图中,并且对任意 a1 ? (0,1) ,由关系式 a n ?1 ? f (a n ) ? 0 得到的数 列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 0(n ? N * ) ,则该函数的图象是( )

A [解析] A.;令 ?

B

C

D

? an ? x ,则 y ? f ( x) 等价于 a n?1 ? f (a n ) , y ? f ( x) 是由点 (an , an ?1 ) 组 ? an ?1 ? y

成,而又知道 an ? an ?1 ,所以每各点都在 y=x 的上方。 2.函数 y ? e
|ln x|

? | x ? 1 | 的图象大致是(

)

[解析] D;当 x ? 1时, y ? x ? ( x ? 1) ? 1 ,可以排除 A 和 C;又当 x ? 考点 2:用列表法表示函数 [例 2] 已知函数 f ( x) , g ( x) 分别由下表给出

1 3 时, y ? ,可以排除 B 2 2

x
f ( x)

1 1

2 3

3 1

x
g ( x)

1 3

2 2

3 1

则 f [ g (1)] 的值为

;满足 f [ g ( x)] ? g[ f ( x)] 的 x 的值是

[解题思路]这是用列表的方法给出函数,就依照表中的对应关系解决问题。 [解析]由表中对应值知 f [ g (1)] = f (3) ? 1 ; 当 x ? 1时, f [ g (1)] ? 1, g[ f (1)] ? g (1) ? 3 ,不满足条件 当 x ? 2 时, f [ g (2)] ? f (2) ? 3, g[ f (2)] ? g (3) ? 1 ,满足条件, 当 x ? 3 时, f [ g (3)] ? f (1) ? 1, g[ f (3)] ? g (1) ? 3 ,不满足条件, ∴满足 f [ g ( x)] ? g[ f ( x)] 的 x 的值是 x ? 2 【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系,解决问题的关键是从表格发现对应关系,用好对应 关系即可。

[新题导练] 3.设 f、g 都是由 A 到 A 的映射,其对应法则如下表(从上到下) : 映射 f 的对应法则是表 1 原象 象 映射 g 的对应法则是表 2 原象 象 1 4 2 3 3 1 4 2 1 3 2 4 3 2 4 1

则与 f [g (1)] 相同的是(



A. g[ f (1)] ;B. g[ f (2)] ;C. g[ f (3)] ;D. g[ f (4)] [解析] A;根据表中的对应关系得, f [ g (1)] ? f (4) ? 1 , g[ f (1)] ? g (3) ? 1

4.二次函数 y ? ax ? bx ? c ( x ∈R)的部分对应值如下表:
2

x
y

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

则不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集是 [解析] (?2,3) ;由表中的二次函数对应值可得,二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两根为-2 和 3,又根据

f (0) ? f (?2) 且 f (0) ? f (3) 可知 a ? 0 ,所以不等式

ax2 ? bx ? c ? 0 的解集是 (?2,3)
考点 3:用解析法表示函数 题型 1:由复合函数的解析式求原来函数的解析式 [例 3] 已知 f (

1? x 1? x2 ,则 f (x) 的解析式可取为 )= 1? x 1? x2

[解题思路]这是复合函数的解析式求原来函数的解析式,应该首选换元法 [解析] 令 故应填

1? x t ?1 2t 2x ,∴ f (t ) ? 2 .∴f ( x) ? 2 . ? t ,则 x ? 1? x t ?1 t ?1 x ?1

2x 1? x2

【名师指引】求函数解析式的常用方法有:① 换元法( 注意新元的取值范围);② 待定系数法(已知 函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等);③ 整体代换(配凑法);④ 构造方程组(如自变量互为倒 数、已知 f (x) 为奇函数且 g (x) 为偶函数等)。 题型 2:求二次函数的解析式 [例 4] 二次函数 f (x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,且 f (0) ? 1 。 ⑴求 f (x) 的解析式; ⑵在区间 [?1,1] 上, y ? f (x) 的图象恒在 y ? 2 x ? m 的图象上方,试确定实数 m 的范围。 [解题思路](1)由于已知 f (x) 是二次函数,故可应用待定系数法求解;(2)用数表示形,可得求

2 x ? m ? f ( x) 对于 x ? [?1,1] 恒成立,从而通过分离参数,求函数的最值即可。
[解析]⑴设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,则
2

f ( x ? 1) ? f ( x) ? [a( x ? 1) 2 b( x ? 1) ? c] ? (ax 2 ? bx ? c) ? 2ax ? a ? b

与已知条件比较得: ?

?2a ? 2, ? a ? 1, 解之得, ? 又 f (0) ? c ? 1 , ?a ? b ? 0 ?b ? ? 1

? f ( x) ? x 2 ? x ? 1
⑵由题意得: x 2 ? x ? 1 ? 2 x ? m 即 m ? x 2 ? 3x ? 1 对 x ? ? ?1,1? 恒成立,

易得 m ? ( x 2 ? 3x ? 1) min ? ?1 【名师指引】如果已知函数的类型,则可利用待定系数法求解;通过分离参数求函数的最值来获得参数的 取值范围是一种常用方法。

[新题导练] 5.若 f (sin x) ? 3 ? cos 2 x ,则 f [sin( [解析] 3 ? cos 2x ; f [sin(
2

?
2

? x)] ?

?
2

? x)] ? f (sin x) ? 3 ? cos 2 x ? 3 ? (1 ? 2sin 2 x) ? 2sin 2 x ? 2
2 2

所以 f ( x) ? 2 x ? 2 ,因此 f (cos x) ? 2cos x ? 2 ? (2cos x ? 1) ? 3 ? 3 ? cos 2 x 6.设 y ? f ( x) 是一次函数,若 f ? 0 ? ? 1 且 f ?1? , f ? 4 ? , f ?13? 成 等比数列,则 f ? 2 ? ? f ? 4 ? ? ? ? f ? 2n ? ? ;

[解析] n(2n ? 3) ;设 f ( x) ? kx ? b ,由 f (0) ? 1 得 b ? 1 ,从而 f ( x) ? kx ? 1
2 又由 f ?1? , f ? 4 ? , f ?13? 成等比数列得 (k ? 1)(13k ? 1) ? (4k ? 1) ,解得 k ? 2

所以 f ( x) ? 2 x ? 1 ,

f ? 2 ? ? f ? 4 ? ? ? ? f ? 2n ? ? [2 ? 2 ? 1] ? [2 ? 4 ? 1] ? ? ? [2 ? n ? 1] ? n(2n ? 3)
7.设 f ? x ? ? A.

1? x ,又记 f1 ? x ? ? f ? x ? , f k ?1 ? x ? ? f ? f k ? x ? ? , k ? 1, 2,?, 则 f 2008 ? x ? ? ( 1? x



1? x x ?1 1 ;B. ;C. x ;D. ? ; 1? x x ?1 x

1 ? f 1 ( x) ? [解析] C;由已知条件得到 f 2 ( x) ? f [ f 1 ( x)] ? 1 ? f 1 ( x) 1 1 ? f 1 ( x) x ? x ?1 f 3 ( x) ? f [ f 2 ( x)] ? ? 1 x ?1 1 ? f 1 ( x) 1? x 1? x f 5 ( x) ? f [ f 4 ( x)] ? 1? x 1?

1?

1? x 1? x ? ? 1 , 1? x x 1? 1? x 1?




x ?1 1 ? f 3 ( x) x ?1 ? x f 4 ( x) ? f [ f 3 ( x)] ? ? x ?1 1 ? f 3 ( x) 1? x ?1

可见, f n (x) 是以 4 为周期的函数,而 2008 ? 502 ? 4 ,所以, f 2008 ( x) ? f 4 ( x) ? x 8.设二次函数 f (x) 满足 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,且其图象在 y 轴上的截距为 1,在 x 轴上截得的线段长为

2 ,求 f (x) 的解析式。
[解析] f ( x) ?

2 2 8 x ? x ? 1 ;设 f(x)=ax2+bx+c, 7 7

由 f(x)满足 f(x-2)=f(-x-2),可得函数 y=f(x)的对称轴为 x=-2,所以

?b ? ?2 2a

由 y=f(x)图象在 y 轴上的截距为 1,可得 f (0) ? 1 ,即 c=1 由 y=f(x) 图象在 x 轴上截得的线段长为 2 ,可得

b c | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? (? ) 2 ? 4 ? 2 a a
2 ? ? b 2 c ?a ? 7 ? (? ) ? 4 ? 2 a a ? ? 8 ? ? 所以联立方程组 ?c ? 1 ,可解得 ?b ? 7 ? ? ?b ?c ? 1 ? ? ?2 ? ? 2a ? ?
所以 f(x)=

2 2 8 x ? x ?1. 7 7

考点 4:分段函数 题型 1:根据分段函数的图象写解析式 [例 5] 为了预防流感,某学校对教室用药 物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中,室内每立方米空气中含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比;药物释放完毕后,y 与 t 的函数关

?1? 系式为 y ? ? ? ? 16 ?
答下列问题:

1? a

(a 为常数) ,如图所示,根据图中提供的信息,回

(Ⅰ)从药物释放开妈,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系式 为 ;

(Ⅱ)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开 始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室。

[思路点拨]根据题意,药物释放过程的含药量 y(毫克)与时间 t 是一次函数,药物释放完毕后,y 与 t 的 函数关系是已知的,由特殊点的坐标确定其中的参数,然后再由所得的表达式解决(Ⅱ) [解析] (Ⅰ)观察图象,当 0 ? t ? 0.1 时是直线,故 y ? 10t ;当 t ? 0.1 时,图象过 (0.1,1)

?1? 所以 1 ? ? ? ? 16 ? ?1? (Ⅰ) ? ? ? 16 ?

0.1? a

?10t ,0 ? t ? 0.1 ? ,即 a ? 0.1 ,所以 y ? ? 1 t ?0.1 ?(16 ) , t ? 0.1 ?
0.1? a

0.1? a

?1? ? 0.25 ? ? ? ? 16 ?

?1? ?? ? ? 16 ?

0.5

? t ? 0.6 ,所以至少需要经过 0.6 小时

【名师指引】分段函数的每一段一般都是由基本初等函数组成的,解决办法是分段处理。 题型 2:由分段函数的解析式画出它的图象

例 6] 设函数 f ( x ) ? x 2 ? 4 x ? 5 ,在区间 [ ? 2, 6 ] 上画出函数 f (x) 的图像。

[思路点拨]需将来绝对值符号打开,即先解 x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ,然后依分界点将函数分段表示,再画出图象。

? x2 ? 4x ? 5 ? [解析] f ( x) ? x ? 4 x ? 5 ? ? 2 ??( x ? 4 x ? 5) ?
2

?2 ? x ? ?1或5 ? x ? 6 ?1 ? x ? 5

,如右上图.

【名师指引】分段函数的解决办法是分段处理,要注意分段函数的表示方法,它是用联立符号将函数在定 义域的各个部分的表达式依次表示出来,同时附上自变量的各取值范围。

[新题导练] 9.已知函数 f ( x) ? ?

?2 x ? 3 ( x ? 0)
2 ? x ? 1 (x ? 0)

,则 f ? f ?1? ? ? ? ?
2

[解析] 2;由已知得到 f [ f (1)] ? f (2 ? 1 ? 3) ? f (?1) ? (?1) ? 1 ? 2 10.设 f ( x ) ? ?

?2? x ?1 , x ? 2. ? 则不等式 f ( x) ? 2 ? 0 的解集为 ?log 2 ( x 2 ? 1), x ? 2, ?

[解析] (1,2) ? ( 5 ,??) ;当 x ? 2 时,由 f ( x) ? 2 ? 0 得 2? x ?1 ? 2 ,得 1 ? x ? 2
2 当 x ? 2 时,由 f ( x) ? 2 ? 0 得 log 2 ( x ? 1) ? 2 ,得 x ? 5

备选例题 1:已知函数 f ( x) ?

x2 (a,b 为常数)且方程 f(x)-x+12=0 有两个实根为 x1=3, x2=4. ax ? b
(k ? 1) x ? k 2? x

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 k>1,解关于 x 的不等式; f ( x) ? [解析](1)将 x1 ? 3, x 2 ? 4分别代入方程

x2 ? x ? 12 ? 0 得 ax ? b

? 9 ? 3a ? b ? ?9 ?a ? ?1 x2 ? 解得 ? , 所以f ( x) ? ( x ? 2). ? 2? x ?b ? 2 ? 16 ? ?8 ? 4a ? b ?
(2)不等式即为

x2 (k ? 1) x ? k x 2 ? (k ? 1) x ? k ? , 可化为 ?0 2? x 2? x 2? x

即 ( x ? 2)( x ? 1)( x ? k ) ? 0. ①当 1 ? k ? 2, 解集为x ? (1, k ) ? (2,??). ②当 k ? 2时, 不等式为( x ? 2) ( x ? 1) ? 0解集为x ? (1,2) ? (2,??);
2

③ 当k ? 2时, 解集为x ? (1,2) ? (k ,??) . 备选例题 2:已知定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f

? f ( x) ? x

2

? x ? ? f ( x ) ? x 2 ? x.

(I)若 f (2) ? 3 ,求 f (1) ;又若 f (0) ? a ,求 f (a ) ; (II)设有且仅有一个实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 ,求函数 f ( x) 的解析表达式

解:(I)因为对任意x ? R,有f(f(x)-x2 ? x) ? f ( x) ? x 2 ? x 所以f(f(2)-22 ? 2) ? f (2) ? 22 ? 2 又由f(2)=3,得f(3-22 ? 2) 3 ? 22 ? 2, 即f (1) ? 1 ? 若f(0)=a,则f(a ? 02 ? 0) ? a ? 0 2 ? 0, 即f ( a) ? a

(II)因为对任意x ? R,有f ( f ( x) ? x 2 ? x) ? f ( x) ? x 2 ? x. 又因为有且只有一个实数x0,使得f ( x0 ) ? x0 所以对任意x ? R, 有f ( x) ? x 2 ? x ? x0
2 在上式中令x ? x0,有f ( x0 ) ? x0 ? x0 ? x0 2 又因为f ( x0 ) ? x0,所以x0 ? x0 ? 0,故x0 =0或x0 =1

若x0 =0,则f ( x) ? x 2 ? x ? 0,即f ( x) ? x 2 ? x 但方程x 2 ? x ? x有两个不相同实根,与题设条件矛盾。故x0 ? 0 若x0 =1,则有f ( x) ? x 2 ? x ? 1, 即f ( x) ? x 2 ? x ? 1.易验证该函数满足题设条件。 综上,所求函数为f ( x) ? x 2 ? x ? 1 (x ? R)

基础巩固训练 1.函数 y ? f ?x ? 的图象如图 2 所示.观察图象可知函数 y ? f ?x ? 的定义域、值域分别是( A. ?? 5,0? ? ?2,6? , ?0,5? ;B. ?? 5,6?, ?0,?? ? C. ?? 5,0? ? ?2,6? , ?0,??? ;D. ?? 5,???, ?2,5? [解析] C;由图象可以看出,应选择 C
-5 O



y

5
2 2 图2 6

x

2.某工厂从 2000 年开始,近八年以来生产某种产品的情况是:前四年年产量的增长速度越来越慢,后四 年年产量的增长速度保持不变,则该厂这种产品的产量 y 与时间 t 的函数图像可能是( y y y y )

t

t

t

t

o

4

8

o

4

8

o

4

8

o

4

8

A

B

C

[解析] B;前四年年产量的增长速度越来越慢,知图象的斜率随 x 的变大而变小,后四年年产量的增长速 度保持不变,知图象的斜率不变,∴选 B. 3. 设函数 f ( x) ? 为 [解析] 3;由 f (?3) ? f (0) , f (?1) ? ?2 可得 b ? 3, c ? 0 ,从而方程 f ( x) ? x 等价于

?

x 2 ? bx ? c, x ? 0, 若 f (?3) ? f (0) , f (?1) ? ?2 ,则关于 x 的方程 f ( x) ? x 的解的个数 2, x ? 0.

?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 或? 2 ,解 ? 2 得到 x ? 0 或 x ? ?2 ,从而得方程 f ( x) ? x 的解的个数 ? ? x ? f ( x) ? 2 ? x ? 3x ? x ? x ? 3x ? x
为3 4.已知 a, b 为常数,若 f ( x) ? x ? 4 x ? 3 ,
2

f (ax ? b) ? x 2 ? 10x ? 24 ,则 5a ? b =
[解析] 2;因为 f ( x) ? x ? 4 x ? 3 ,所以
2

f (ax ? b) ? (ax ? b) 2 ? 4(ax ? b) ? 3 ? a 2 x 2 ? (2ab ? 4a) x ? (b 2 ? 4b ? 3)

?a 2 ? 1 ? 2 又 f (ax ? b) ? x ? 10x ? 24 ,所以, ?2ab ? 4a ? 10 ? 2 ?b ? 4b ? 3 ? 24
解得 ?

?a ? 1 ? a ? ?1 或? ,所以 5a ? b ? 2 ?b ? 3 ?b ? ?7 ? a, a ? b ,函数 f ( x) ? max?sin x, cos x?( x ? R) ?b,a ? b

5.对 a、b ? R, max?a,b? ? ? 记 的最小值是( A. ? 1;B. )

2 2 ;C. ? ;D. 1 2 2

[解析] C;作出 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图象即可得到函数

f ( x) ? max?sin x, cos x?( x ? R) 的最小值是 ?
1 ? f 1 ( x ) x ? [0, 2 ) 6.已知函数 f ( x ) ? ? 其中 ? f 2 ( x ) x ? [ 1 ,1] 2

2 2

1 f1 ( x) ? ?2( x ? ) 2 ? 1 , f 2 ( x) ? ?2 x ? 2 。作出函数 f (x) 的图象; 2
[解析] 函数 f (x) 图象如下:

说明:图象过 ? 0, 象为直线段

? ?

1? ?1 ? ? 1? ?1 ? ? 、 ? ,1? 、 ?1,0 ? 点;在区间 ?0, ? 上的图象为上凸的曲线段;在区间 ? ,1? 上的图 2? ?2 ? ? 2? ?2 ?

王新敞
奎屯

新疆

综合提高训练 7.如图,动点 P 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的对角线 BD1 上.过点 P 作垂直于平面 BB1 D1 D 的直线,与 正方体表面相交于 M,N .设 BP ? x , MN ? y ,则函数 y ? f ( x) 的图象大致是( D1 A1 D A M B1 P N B C1 y y y y )

C

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

[解析] B;过点 P 作垂直于平面 BB1 D1 D 的直线,当点 P 运动时,线与正方体表面相交于 M,N 两点形成 的轨迹为平行四边形,可以看出 x 与 y 的变化趋势是先递增再递减,并且在 x 的中点值时 y 取最大 8.如图所示,单位圆中 AB 的长为 x , f ( x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的 2 倍,则函数

?

?

y ? f ( x) 的图像是(



AB AB [解析] D; 如图所示, 单位圆中 ? 的长为 x , f ( x)表示弧 ? 与弦 AB 所围成的弓形面积的 2 倍, ? 当 AB AB 的长小于半圆时,函数 y ? f ( x) 的值增加的越来越快,当 ? 的长大于半圆时,函数 y ? f ( x) 的值增加
的越来越慢,所以函数 y ? f ( x) 的图像是 D.

9.已知 f ( x) 是二次函数,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5), 且 f ( x) 在区间 ? ?1, 4? 上的最大值是 12。 (I)求 f ( x) 的解析式; (II)是否存在实数 m, 使得方程 f ( x) ?

37 ? 0 在区间 (m, m ? 1) 内有且只有两个不等的实数根?若 x

存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由。 [解析](I)? f ( x) 是二次函数,且 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5),

?可设 f ( x) ? ax( x ? 5)(a ? 0).
? f ( x) 在区间 ? ?1, 4? 上的最大值是 f (?1) ? 6a. ,由已知,得 6a ? 12,

? a ? 2, ? f ( x) ? 2 x( x ? 5) ? 2 x 2 ? 10 x( x ? R).
(II)方程 f ( x) ?
3

37 ? 0 等价于方程 2 x3 ? 10 x2 ? 37 ? 0. x
2 2

设 h( x) ? 2 x ? 10 x ? 37, 则 h '( x) ? 6 x ? 20 x ? 2 x(3x ? 10).

10 ) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数; 3 10 当 x ? ( , ??) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。 3 10 1 ? h(3) ? 1 ? 0, h( ) ? ? ? 0, h(4) ? 5 ? 0, 3 27 10 10 ?方程 h( x) ? 0 在区间 (3, ), ( , 4) 内分别有惟一实数根,而在区间 (0,3), (4, ??) 内没有实数根, 3 3 37 所以存在惟一的自然数 m ? 3, 使得方程 f ( x) ? ? 0 在区间 (m, m ? 1) 内有且只有两个不同的实数根。 x
当 x ? (0,

第4讲

函数的单调性与最值
知识梳理

1、函数的单调性定义: 设函数 y ? f (x) 的定义域为 A ,区间 I ? A 如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 , x 2 ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 y ? f (x) 在 区间 I 上是单调增函数, I 称为 y ? f (x) 的单调增区间 如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 , x 2 ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 y ? f (x) 在 区间 I 上是单调减函数, I 称为 y ? f (x) 的单调减区间 如果用导数的语言来,那就是:

设函数 y ? f (x) ,如果在某区间 I 上 f ?( x) ? 0 ,那么 f (x) 为区间 I 上的增函数; 如果在某区间 I 上 f ?( x) ? 0 ,那么 f (x) 为区间 I 上的减函数; 2、函数的最大(小)值 设函数 y ? f (x) 的定义域为 A 如果存在定值 x0 ? A ,使得对于任意 x ? A ,有 f ( x) ? f ( x0 ) 恒成立,那么称 f ( x0 ) 为 y ? f (x) 的 最大值; 如果存在定值 x0 ? A ,使得对于任意 x ? A ,有 f ( x) ? f ( x0 ) 恒成立,那么称 f ( x0 ) 为 y ? f (x) 的 最小值。

重、难点突破 1.对函数单调性的理解 (1) 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域; (2)函数单调性定义中的 x1 , x 2 有三个特征:一是任意性;二是大小,即

x1 ? x2 ( x1 ? x2 ) ;三是同属于一个单调区间,三者缺一不可;
(3)若用导数工具研究函数的单调性,则在某区间 I 上 f ?( x) ? 0 ( f ?( x) ? 0 )仅是 f (x) 为区间 I 上的 增函数(减函数)的充分不必要条件。 (4)关于函数的单调性的证明,如果用定义证明 y ? f (x) 在某区间 I 上的单 调性,那么就要用严格的四个步骤,即①取值;②作差;③判号;④下结论。但是要注意,不能用区间 I 上的两个特殊值来代替。而要证明 y ? f (x) 在某区间 I 上不是单调递增的,只要举出反例就可以了,即只 要找到区间 I 上两个特殊的 x1 , x 2 ,若 x1 ? x2 ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 即可。如果用导数证明 y ? f (x) 在某 区间 I 上递增或递减,那么就证明在某区间 I 上 f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 。

1 分别在 (??,0) 和 (0,??) 内 x 1 都是单调递减的,但是不能说它在整个定义域即 (??,0) ? (0,??) 内是单调递减的,只能说函数 y ? 的 x
(5)函数的单调性是对某个区间而言的,所以受到区间的限制,如函数 y ? 单调递减区间为 (??,0) 和 (0,??) (6)一些单调性的判断规则:①若 f (x) 与 g (x) 在定义域内都是增函数(减函数) ,那么 f ( x) ? g ( x) 在 其公共定义域内是增函数(减函数) 。②复合函数的单调性规则是“异减同增”

2.函数的最值的求法 (1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法。 (2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用函数的单调性求最值。 (3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法(但有注意等号是否取得) 。 (4)导数法:当函数比较复杂时,一般采用此法 (5)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围。

热点考点题型探析
考点 1 函数的单调性 题型 1:讨论函数的单调性

? 1 , x ? 1, ? [例 1] (2008 广东)设 k ? R ,函数 f ( x ) ? ?1 ? x F ( x) ? f ( x) ? kx, x ? R . ?? x ? 1, x ? 1 ?
试讨论函数 F (x) 的单调性. [解题思路]分段函数要分段处理,由于每一段都是基本初等函数的复合函数,所以应该用导数来研究。

? 1 ? 1 , x ? 1, ? kx ? ? ,x?R. [解析]: 因为 f ( x ) ? ?1 ? x ,所以 F ( x) ? f ( x) ? k x ? ?1 ? x ?? x ? 1, x ? 1 ?? x ? 1 ? k x ? ?
(1)当 x<1 时,1-x>0, F ?( x) ?

1 ? k , ( x ? 1) (1 ? x) 2

①当 k ? 0 时, F ?( x) ? 0 在 (??,1) 上恒成立,故 F(x)在区间 (??,1) 上单调递增; ②当 k ? 0 时,令 F ?( x) ?

k 1 , ? k ? 0, ( x ? 1) ,解得 x ? 1 ? 2 k (1 ? x)

且当 x ? 1 ?

k k 时, F ?( x) ? 0 ;当 1 ? ? x ? 1 时, F ?( x) ? 0 k k k k ) 上单调递减,在区间 (1 ? ,1) 上单调递增; k k

故 F(x)在区间 (??,1 ?

(2)当 x>1 时, x-1>0, F ?( x) ? ?

1 2 x ?1

? k , ( x ? 1)

①当 k ? 0 时, F ?( x) ? 0 在 (1,??) 上恒成立,故 F(x)在区间 (1,??) 上单调递减; ②当 k ? 0 时,令 F ?( x) ? ?

1 2 x ?1

? k ? 0, ( x ? 1) ,解得 x ? 1 ?

1 , 4k 2

1 1 时, F ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 ? 时, F ?( x) ? 0 2 4k 4k 2 1 1 故 F(x)在区间 (1,1 ? ) 上单调递减,在区间 (1 ? 2 ,??) 上单调递增; 2 4k 4k
且当 1 ? x ? 1 ? 综上得,①当 k=0 时,F(x)在区间 (??,1) 上单调递增,F(x)在区间 (1,??) 上单调递减; ②当 k<0 时,F(x)在区间 (??,1) 上单调递增,在区间 (1,1 ?

1 ) 上单调递减,在区间 4k 2

(1 ?

k 1 ) 上单调递减,在区间 ,??) 上单调递增;③当 k ? 0 时,F(x)在区间 (??,1 ? 2 k 4k k ,1) 上单调递增,在区间 (1,??) 上单调递减. k

(1 ?

【名师指引】求函数的单调区间或研究函数的单调性是高考的一个热点,分段落函数用注意分段处理.

题型 2:研究抽象函数的单调性 [例 2] 定义在 R 上的函数 y ? f (x) , f (0) ? 0 ,当 x>0 时, f ( x) ? 1 ,且对任意的 a、b∈R,有 f(a+b) =f(a)· f(b). (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)求证:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)· f(2x-x2)>1,求 x 的取值范围. [解题思路]抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”,从关键等式和不等式的特点入手。 [解析](1)证明:令 a=b=0,则 f(0)=f 2(0). 又 f(0)≠0,∴f(0)=1. (2)证明:当 x<0 时,-x>0, ∴f(0)=f(x)· f(-x)=1. ∴f(-x)=

1 >0.又 x≥0 时 f(x)≥1>0, f ( x)

∴x∈R 时,恒有 f(x)>0. (3)证明:设 x1<x2,则 x2-x1>0. ∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)· 1). f(x ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. 又 f(x1)>0,∴f(x2-x1)· 1)>f(x1). f(x ∴f(x2)>f(x1).∴f(x)是 R 上的增函数. (4)解:由 f(x)· f(2x-x2)>1,f(0)=1 得 f(3x-x2)>f(0).又 f(x)是 R 上的增函数,

∴3x-x2>0.∴0<x<3. 【名师指引】解本题的关键是灵活应用题目条件,尤其是(3)中“f(x2)=f[(x2-x1)+x1]”是证明单调 性的关键,这里体现了向条件化归的策略.

[新题导练] 1.函数 f ? x ? ? log 2 4 x ? x 2 的单调递减区间是( A. (0, 4) ; B. (0, 2) ; C. (2, 4) ; D. (2, ??) [解析] C;由 4 x ? x 2 ? 0 得 0 ? x ? 4 ,又由 u ? 4 x ? x ? ?( x ? 2) ? 4 知函数 u 在 (2,4) 上是减函数,
2 2

?

?



根据复合函数的单调性知函数 f ? x ? ? log 2 4 x ? x 2 的单调递减区间是 (2,4) 2.函数 y ? log 1 ( x 2 ? 5 x ? 6) 的单调增区间为(
2

?

?



A. ? , ? ? ;B. (3, ?) ;C. ? ??, ? ;D. (??, ? 2) ? [解析] D;由 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 得 x ? 2 或 x ? 3 ,又函数 u ? x 2 ? 5 x ? 6 ? ( x ? ) 2 ? 在 (??, 上是减函数, y ? log 1 u 在 (0,??) 上是减函数,所以函数 2)
2

?5 ?2

? ?

? ?

5? 2?

5 2

1 4

2) y ? log 1 ( x ? 5x ? 6) 的单调增区间为 (??,
2 2

3.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 , a ?R .
3 2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x) 在区间 ? ? , ?
3 2

? 2 ? 3

1? ? 内是减函数,求 a 的取值范围. 3?

[解析] (1) f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 ; (2) a ≥
3 2 2

7 4

(1) f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 求导: f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 1 当 a2 ≤ 3 时, ?≤ 0 , f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 在 R 上递增

?a ? a 2 ? 3 当 a ? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ? 3
2

即 f ( x) 在 ? ??,

? ? ?

?a ? a 2 ? 3 ? ? 递增, ? 3 ?

? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? ? ?a ? a 2 ? 3 ? , , ? ? 递增 ? ? ? 递减, ? ? ? ? ? 3 3 3 ? ? ? ?

? ?a ? ? ? (2) ? ? ?a ? ? ?

a2 ? 3 2 ≤? 3 3 a2 ? 3 1 ≥? 3 3

,且 a 2

? 3 解得: a ≥

7 4

考点 2 函数的值域(最值)的求法 题型 1:求分式函数的最值

x 2 ? 2x ? a [例 3] 已知函数 f ( x) ? , x ? [1,??). x
当a ?

1 时,求函数 f (x) 的最小值; 2 1 1 [解题思路]当 a ? 时, f ( x) ? x ? ? 2 ,这是典型的“对钩函数”,欲求其最小值,可以考虑均值不 2 2x 1 1 1 时, f ( x) ? x ? ? 2, f ' ( x) ? 1 ? 2 2 2x 2x

等式或导数; [解析]当 a ?

? x ? 1,? f ?( x) ? 0 。? f (x) 在区间 [1,??) 上为增函数。 ? f (x) 在区间 [1,??) 上的最小值为 f (1) ?
【名师指引】对于函数 f ( x) ? x ? 是否成立,否则会得到 f ( x) ? ( x ?

7 。 2

1 ? 2, 若 x ? 0 ,则优先考虑用均值不等式求最小值,但要注意等号 2x
1 1 )? 2 ? 2 x? ?2? 2?2 2x 2x

而认为其最小值为 2 ? 2 ,但实际上,要取得等号,必须使得 x ?

1 1 ,这时 x ? [ ,??) 2x 2

所以,用均值不等式来求最值时,必须注意:一正、二定、三相等,缺一不可。其次,不等式恒成立问题 常转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法:利用均值不等式,利用函数单调性,二次 函数的配方法,考查不等式恒成立问题以及转化化归思想; 题型 2:利用函数的最值求参数的取值范围 [例 4] 已知函数 f ( x) ?

x 2 ? 2x ? a , x ? [1,??). x

若对任意 x ?[1, ??), f ( x) ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围。 [解题思路] 欲求参数 a 的取值范围,应从 x ?[1, ??), f ( x) ? 0 恒成立的具体情况开始。 [解析]? f ( x) ?

x 2 ? 2x ? a ? 0 在区间 [1,??) 上恒成立; x

? x 2 ? 2 x ? a ? 0 在区间 [1,??) 上恒成立; ? x 2 ? 2 x ? ?a 在区间 [1,??) 上恒成立;

?函数 y ? x 2 ? 2 x 在区间 [1,??) 上的最小值为 3,? ? a ? 3
即 a ? ?3 【名师指引】这里利用了分离参数的方法,将问题转化为求函数的最值。 题型 3:求三次多项式函数的最值 [例 5] 已知 a 为实数,函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? a) ,若 f ' (?1) ? 0 ,求函数 y ? f (x) 在 [? ,1] 上的最
2

3 2

大值和最小值。 [解题思路]求三次多项式函数在闭区间上的最值,应该用导数作为工具来研究其单调性。 [解析]∵ f (?1) ? 0,由f ( x) ? x ? ax ? x ? a, f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 1 ,
, 3 2 2

? 3 ? 2a ? 1 ? 0, a ? 2,

……………………3 分 ……………………4 分 得:

? f ?( x) ? 3x 2 ? 4 x ? 1
1 由f ?( x) ? 3( x ? )( x ? 1) 3

当 f ?( x) ? 0时,x ? ?1或x ? ? 当 f ?( x) ? 0时, 1 ? x ? ? ? 因此, f (x) 在区间 [?

1 3

……………………5 分 ……………………6 分

1 3

3 1 1 ,?1]和[? ,1] 内单调递减,而在 [?1,? ] 内单调递减, 2 3 3 1 50 且 f ( x) 极大值 ? f (?1) ? 2, f ( x) 极小值 ? f (? ) ? 3 27 3 13 50 13 又 f (? ) ? f (1) ? 6, 且 ? , 2 8 27 8
3 3 13 ? f ( x)在[? ,1]上的最大值f (1) ? 6, 最小值f (? ) ? ,………………10 分 2 2 8
【名师指引】用导数来研究其单调性和最值是高考考查的重点和热点,同时也是难点,要求考生熟练掌握 用导数来研究其单调性和最值的方法和步骤。

[新题导练] 4.若函数 y ? 3 ? x2 ln(
1? x ? 1 1 ? 的最大值与最小值分别为 M,m,则 M+m = ) x? ? , ? 2 2? 1? x ? ?

[解析] 6;由 f ( x) ? x 2 ln(

1? x 1 ) ? x 2 [ln(1 ? x) ? ln(1 ? x)] 知 f (x) 在 [0, ] 上是增函数 1? x 2

又 因 为 函 数 f ( x) ? x 2 ln (

1? x 1? x ? 1 1? 是 增 函 数 , 故 ) 是 奇 函 数 , 所 以 函 数 y ? 3 ? x2 l n ( )x ? ? , ? 2 2? 1? x 1? x ? ?

1 1 1? 1? 1 2 2 )] ? [3 ? (? 1 ) 2 ln( 2 )] ? 6 M+m= [3 ? ( ) ln( 1 1 2 2 1? 1? 2 2

5.已知函数 f ( x) ?

x 2 ? ax ? 4 ( x ? 0) 。 x

(Ⅰ)若 f (x) 为奇函数,求 a 的值; (Ⅱ)若 f (x) 在 [3,??) 上恒大于 0,求 a 的取值范围。 [解析](Ⅰ) a ? 0 ; (Ⅱ) a 的取值范围为 a ? ? (Ⅰ) f (x) 的定义域关于原点对称 若 f (x) 为奇函数,则 f (? x) ? (Ⅱ) f ?( x) ? 1 ?

13 3

(? x) 2 ? a (? x) ? 4 ? ? f ( x) ∴ a ? 0 ?x

4 x2

∴在 [3,??) 上 f ?( x) ? 0 ∴ f (x) 在 [3,??) 上单调递增 ∴ f (x) 在 [3,??) 上恒大于 0 只要 f (3) 大于 0 即可, ∴ 3a ? 13 ? 0 ? a ? ?

13 3 13 3

若 f (x) 在 [3,??) 上恒大于 0, a 的取值范围为 a ? ? 备选例题:已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 a, b 的值;

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? a

(Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;
2 2

[解析](Ⅰ)因为 f ( x) 是奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即

b ?1 1 ? 2x ? 0 ? b ? 1? f ( x) ? a?2 a ? 2 x ?1

1 1? 2 , 又由? f (1) ? ? f (?1) 知 ? ? 2 ? a ? 2. a?4 a ?1 1?
(Ⅱ)[解法一]由(Ⅰ)知 f ( x) ?

1 ? 2x 1 1 ?? ? x ,易知 f ( x) 在 (??, ??) 上 x ?1 2?2 2 2 ?1
f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0

为减函数。又因 f ( x) 是奇函数,从而不等式:
2 2 2

等价于 f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k ) ? f (k ? 2t ) ,因 f ( x) 为减函数,由上式推得:

t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 .即对一切 t ? R 有: 3t 2 ? 2t ? k ? 0 ,
从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? .

1 3

[解法二]由(Ⅰ)知 f ( x) ?

1 ? 2x .又由题设条件得: 2 ? 2 x ?1

1 ? 2t 2 ? 2t
即 (2

2

? 2t

2

? 2 t ?1

?

1 ? 22t 2 ? 22t

2

?k

2

? k ?1

? 0,
2

2 t 2 ? k ?1

? 2)(1 ? 2t

2

? 2t

) ? (2t

? 2t ?1

? 2)(1 ? 22t

2

?k

) ? 0,

整理得 2

3t 2 ? 2 t ? k

? 1,因底数2>1,故: 3t 2 ? 2t ? k ? 0
1 3

上式对一切 t ? R 均成立,从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? .

基础巩固训练 1.若函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?b 在区间 (??,0] 上为减函数,则实数 a 的取值范围是(
2



A. a ? 0 ;B. a ? 1 ;C. a ? 0 ;D. a ? 1 [ 解 析 ] C ; 因 为 f ( x ) ? x ? | x ? a | ?b ? ?
2

? 2 ? x ? x ? a ? b( x ? a ) ,由其图象知,若函数 ? x 2 ? x ? a ? b( x ? a ) ?

f ( x) ? x 2 ? | x ? a | ?b 在区间 (??,0] 上为减函数,则应有 a ? 0
2.若函数 h( x) ? 2 x ?

k k ? 在 (1,??) 上是增函数,则实数 k 的取值范围是( x 3



A. [?2 , ? ?) ;B. [2 , ? ?) ; C. (?? , ? 2] ;D. (?? , 2] [解析] A; 若函数 h( x) ? 2 x ?

k k k 则 ? 在 (1,??) 上是增函数, h?( x) ? 2 ? 2 ? 0 对于 x ? (1,??) 恒成立, x 3 x
2

即 k ? ?2x 2 对于 x ? (1,??) 恒成立,而函数 u ? ?2 x ( x ? [1,??)) 的最大值为 ? 2 ,实数 k 的取值范围是

[?2 , ? ?)
3.下列四个函数中,在区间 (0, ) 上为减函数的是(
x

1 4


1

1 ?1? A. y ? x? ? ;B. y ? ?( ) x ;C. y ? x log 2 x ;D. y ? x 3 2 ? 2? 1 1 1 [解析] C;显然 y ? ?( ) x 在 (0, ) 上是增函数, y ? x 3 在 (0, ) 上也是增函数 2 4 4
而对 y ? x? ? 求导得 y ? ? ( ) x ? x( ) x ln 2 ? ( ) x (1 ? x ln 2) ,对于 x ? (0, ) , y ? ? 0
1

?1? ?2?

x

1 2

1 2

1 2

1 4

,所以 y ? x? ? 在区间 (0, ) 上为增函数,从而应选择 C 4.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ,若存在实数 t ,当 x ? ?1, m? 时, f ( x ? t ) ? x 恒成立,则实数 m 的最大
2

?1? ? 2?

x

1 4

值是(



A.1;B.2;C.3;D.4 [解析] D;依题意,应将函数 f (x) 向右平行移动得到 f ( x ? t ) 的图象,为了使得在 ?1, m ?上, f ( x ? t ) 的 图象都在直线 y ? x 的下方,并且让 m 取得最大,则应取 t ? ?2 ,这时 m 取得最大值 4 5.已知 f ( x) ? ?

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 ?log a x, x ? 1

[解析] [ , ) ;要 y ? log a x 在 [1 ? ?) 上是减函数,则 0 ? a ? 1 ,要 (3a ? 1) x ? 4a 在 (??,1) 上为减函 , 数,则需 3a ? 1 ? 0 并且 (3a ? 1) ? 1 ? 4a ? 0 ,所以

1 1 7 3

1 1 ?a? 7 3

6.已知 t 为常数,函数 y ? x 2 ? 2 x ? t 在区间[0,3]上的最大值为 2,则 t ? [解析]1;显然函数 y ? x 2 ? 2 x ? t 的最大值只能在 x ? 1 或 x ? 3 时取到, 若在 x ? 1 时取到,则 1 ? 2 ? t ? 2 ,得 t ? 1或 t ? ?3 ; t ? 1, x ? 3 时, y ? 2 ; t ? ?3 , x ? 3 时, y ? 6 (舍去) 若在 x ? 3 时取到,则 9 ? 6 ? t ? 2 ,得 t ? 1或 t ? 5

t ? 1, x ? 1 时, y ? 2 ; t ? 5 , x ? 1 时, y ? 6 (舍去)
所以 t ? 1

综合提高训练
7.已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 4(0 ? a ? 3), 若 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? a ? 1 ? 0
2

则 f 1 ( x) 与 f 2 ( x) 的大小关系为 [解析] f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 4(0 ? a ? 3), 的图象开口向上,对称轴为 x ? ?1 ,因
2

0 ? a ? 3 ,故 x1 ? x2 ? (1 ? a) ? (?2,1) ,从而

x1 ? x 2 1 ? (?1, ) ,又 2 2

x1 ? x2 ,所以 x 2 的对应点到对称轴的距离大于 x1 的对应点到对称轴的距离,故
f ( x1 ) ? f ( x2 )
8.已知函数 f ( x) ?

3x ? 2 1 1 2 2009 ( x ? ) ,求 f ( )? f( ) ??? f ( ) 的值 2x ? 1 2 2010 2010 2010

[解析]

3x ? 2 3(1 ? x) ? 2 6027 ? ? 3, ;为 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2 x ? 1 2(1 ? x) ? 1 2

令S ? f (

1 2 2009 )? f( ) ??? f ( ) ,则 2010 2010 2010 2009 2008 1 S ? f( )? f( ) ??? f ( ), 2010 2010 2010

从而

1 2009 2 2008 2009 1 )? f( )] ? [ f ( )? f( )] ? ? ? [ f ( )? f( )] 2010 2010 2010 2010 2010 2010 ? 2009 ? 3 1 2 2009 6027 所以 S ? f ( )? f( ) ??? f ( )? 2010 2010 2010 2 2S ? [ f (
9.对于函数 f ( x) ? x ? 2 x, 在使f ( x) ? M 成立的所有常数 M 中,我
2

们把 M 的最大值-1 叫做 f ( x) ? x ? 2 x的下确界 , 则对于a, b ? R且 a, b不全为0,
2

a2 ? b2 的下确界为( ( a ? b) 2
A.



1 1 ;B.2;C. ;D.4 2 4
a2 ? b2 a2 ? b2 a2 ? b2 1 ? 2 ? 2 ? , 2 2 2 2 2 ( a ? b) a ? b ? 2ab (a ? b ) ? (a ? b ) 2

[解析] A;因为



a2 ? b2 1 的下确界为 2 ( a ? b) 2
5 4
*

10 . 设 [x] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 ( 如 [2] ? 2 , [ ] ? 1 ) , 对 于 给 定 的 n ? N , 定 义

Cnx ?

n( n? 1? ( ?? ?x ? 1 ) ) n , x ? ?1, ?? ? , x( x? 1? (x?? ?x ? 1 ) )

求当 x ? ? ,3 ? 时,函数 C8x 的值域 [解析] (4, 得 4?

?3 ?2

? ?

16 28 8 3 3 8 ] ? ( ,28] ;当 x ? [ ,2) 时, [ x] ? 1 , C8x ? ,因为函数 u ? 在 [ ,2) 上是减函数, 2 x 3 3 x 2

56 8 16 x ; 当 x ? [2,3) 时 , [ x] ? 2 , C8 ? , 因 为 2 ? x( x ? 1) ? 6 , 由 单 调 性 得 ? x( x ? 1) x 3

28 56 16 28 ?3 ? ? ? 28 ,故当 x ? ? ,3 ? 时,函数 C8x 的值域是 (4, ] ? ( ,28] 3 x( x ? 1) 3 3 ?2 ?

第5讲

函数的奇偶性和周期性
知识梳理

1.函数的奇偶性的定义: ① 对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x)〔或 f (? x) ? f ( x) ? 0 〕,则称 f (x) 为 奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。 ② 对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) 〔或 f (? x) ? f ( x) ? 0 〕,则称 f (x) 为 偶函数. 偶函数的图象关于 y 轴对称。 ③ 通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数,其定义域原点关于对称(也就是说,函 数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称) 2.函数的周期性命定义: 对于函数 f (x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得定义域内的每一个 x 值,都满足

f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 f (x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。

重、难点突破 1.函数的奇偶性的判断:可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式

f ( ? x) ? ? f ( x) ? f ( ? x) ? f ( x) ? 0 ?

f ( ? x) ? ?1( f ( x) ? 0) ,也可以利用函数图象的对称性去判断 f ( x)

函数的奇偶性.注意①若 f ( x) ? 0 ,则 f (x) 既是奇函数又是偶函数,若 f ( x) ? m(m ? 0) ,则 f (x) 是偶函 数; ②若 f (x) 是奇函数且在 x ? 0 处有定义, f (0) ? 0 ③若在函数 f (x) 的定义域内有 f (?m) ? f (m) , 则 则可以断定 f (x) 不是偶函数, 同样, 若在函数 f (x) 的定义域内有 f (?m) ? ? f (m) , 则可以断定 f (x) 不 是奇函数。 2.奇偶函数图象的对称性 (1) 若 y ? f (a ? x) 是偶函数,则 f (a ? x) ? f (a ? x) ? f (2a ? x) ? f ( x) ? f (x) 的图象关于直 线 x ? a 对称; (2) 若 y ? f (b ? x) 是偶函数,则 f (b ? x) ? ? f (b ? x) ? f (2b ? x) ? ? f ( x) ?

f (x) 的图象关于点 (b,0) 中心对称;
3.函数的周期性 周期性不仅仅是三角函数的专利,抽象函数的周期性是高考热点,主要难点是抽象函数周期的发现,主要 有几种情况: (1)函数值之和等于零型,即函数 f (a ? x) ? f (b ? x) ? 0(a ? b) 对于定义域中任意 x 满足 f (a ? x) ? f (b ? x) ? 0(a ? b) , 则有 f [ x ? (2b ? 2a)] ? f ( x) , 故函数 f (x) 的

周期是 T ? 2(b ? a) (2)函数图象有 x ? a , x ? b(a ? b) 两条对称轴型 函数图象有 x ? a , x ? b(a ? b) 两条对称轴,即 f (a ? x) ? f (a ? x) ,

f (b ? x) ? f (b ? x) ,从而得 f [ x ? (2b ? 2a)] ? f ( x) ,
故函数 f (x) 的周期是 T ? 2(b ? a) (3) 两个函数值之积等于 ? 1 ,即函数值互为倒数或负倒数型 若 f ( x ? a) ? f ( x ? b) ? 1(a ? b) ,则得 f ( x ? 2a) ? f [( x ? 2a) ? (2b ? 2a)] ,所以函数 f (x) 的周期是

T ? 2b ? 2a ;同理若 f ( x ? a) ? f ( x ? b) ? ?1(a ? b) ,则 f (x) 的周期是 T ? 2(b ? a)
(4) 分式递推型,即函数 f (x) 满足 f ( x ? a) ?

1 ? f ( x ? b) ( a ? b) 1 ? f ( x ? b)

由 f ( x ? a) ?

1 ? f ( x ? b) ?1 ,进而得 ( a ? b) 得 f ( x ? 2 a ) ? 1 ? f ( x ? b) f ( x ? 2b)

f ( x ? 2a) ? f ( x ? 2b) ? ?1,由前面的结论得 f (x) 的周期是 T ? 4(b ? a)

热点考点题型探析
考点 1 判断函数的奇偶性及其应用 题型 1:判断有解析式的函数的奇偶性 [例 1] 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+1|-|x-1|;(2)f(x)=(x-1)·

1? x ; 1? x

(3) f ( x ) ?

? x(1 ? x) 1? x2 ;(4) f ( x) ? ? | x ? 2 | ?2 ? x(1 ? x)

( x ? 0), ( x ? 0).

[思路点拨]判断函数的奇偶性应依照定义解决,但都要先考查函数的定义域。 [解析] (1)函数的定义域 x∈(-∞,+∞),对称于原点. ∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x), ∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数. (2)先确定函数的定义域.由 也不是偶函数. (3)去掉绝对值符号,根据定义判断.

1? x ≥0,得-1≤x<1,其定义域不对称于原点,所以 f(x)既不是奇函数 1? x

?1 ? x 2 ? 0, ?? 1 ? x ? 1, 由? 得? ?| x ? 2 | ?2 ? 0, ? x ? 0且x ? ?4.
故 f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,且有 x+2>0. 从而有 f(x)=

1 ? (? x) 2 1 ? x2 1? x2 1? x2 = ,∴f(-x)= =- =-f(x) ?x x?2?2 x x

故 f(x)为奇函数. (4)∵函数 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),并且当 x>0 时,-x<0, ∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x)(x>0). 当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x)(x<0). 故函数 f(x)为奇函数. 【名师指引】 1 ○ 函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为 D, 则

x ? D 时 ? x ? D ) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件
2 ○分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. 题型 2:证明抽象函数的奇偶性 [例 2] 定义在区间 (?1,1) 上的函数 f (x)满足:对任意的 x, y ? (?1,1) , 都有 f ( x) ? f ( y ) ? f ( 求证 f (x)为奇函数; [思路点拨]欲证明 f (x) 为奇函数,就要证明 f (? x) ? ? f ( x) ,但这是抽象函数,应设法充 分利用条件“对任意的 x, y ? (?1,1) ,都有 f ( x) ? f ( y ) ? f ( “赋值” [解析]令 x = y = 0,则 f (0) + f (0) = f ( ∴ f (0) = 0 令 x∈(-1, 1) ∴-x∈(-1, 1) ∴ f (x) + f (-x) = f ( ∴ f (-x) =-f (x) ∴ f (x) 在(-1,1)上为奇函数 【名师指引】对于抽象函数的奇偶性问题,解决的关键是巧妙进行“赋值” ,而抽象函数的不等式问题,

x? y ). 1 ? xy

x? y ) ”中的 x, y 进行合理 1 ? xy

0?0 ) ? f (0) 1? 0

x?x 1 ? x2

) = f (0) = 0

要灵活利用已知条件,尤其是 f (x1) -f (x2) = f (x1) + f (-x2)

[新题导练] 1.设函数 f ?x ? ? x ? 1 ?x ? a ? 为奇函数,则 a ? ___________。
2

?

?

[解析]0;由函数 f ?x ? ? x ? 1 ?x ? a ? 为奇函数得到 f ?0? ? 0 ,即 0 ? 1 ?0 ? a ? ? 0
2 2

?

?

?

?

所以 a ? 0 2.已知函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? 3a ? b 是定义域为 [a ? 1,2a] 的偶函数,则 a ? b 的值是( A.0;B. )

1 ;C.1;D. ? 1 3

[解析]B;由函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? 3a ? b 是定义域为 [a ? 1,2a] 的偶函数得 b ? 0 ,并且 a ? 1 ? ?2a ,即

a?

1 ,所以 a ? b 的值是 0 3

3.定义两种运算: a ? b ?

a 2 ? b 2 , a ? b ? (a ? b) 2 ,则 f ( x) ?

2? x ( x ? 2) ? 2

是______________函数, (填奇、偶、非奇非偶,既奇又偶四个中的一个) [解析]奇;依 a ? b ?

a 2 ? b 2 和 a ? b ? ( a ? b) 2 得

2? x 4 ? x2 4 ? x2 ,其定义域为 [?2,0) ? (0,2] ,所以 f ( x) ? ? ? ( x ? 2) ? 2 ( x ? 2) 2 ? 2 x ? 2 ? 2
f ( x) ? 4 ? x2 4 ? x2 ?? ,可见, f (x) 是奇函数 (2 ? x) ? 2 x

4.已知函数 f ( x) ?

ax 2 ? 1 (a、b、c∈Z)是奇函数,又 f (1) ? 2 , f (2) ? 3 ,求 a、b、c 的值. bx ? c

[解析] a ? 1 b ? 1 c ? 0 ;由 f(-x)=-f(x),得-bx+c=-(bx+c). , ,

4a ? 1 <3, a ?1 1 解得-1<a<2.又 a∈Z,∴a=0 或 a=1.若 a=0,则 b= ,与 b∈Z 矛盾.∴a=1,b=1,c=0. 2
∴c=0,由 f(1)=2,得 a+1=2b,由 f(2)<3,得 考点 2 函数奇偶性、单调性的综合应用 [例 3] (普宁市城东中学 09) 已知奇函数 f (x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数, f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 , 若 求实数 m 的取值范围。 [思路点拨]欲求 m 的取值范围,就要建立关于 m 的不等式,可见,只有从

f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 出发,所以应该利用 f (x) 的奇偶性和单调性将外衣“ f ”脱去。
[解析] ? f (x) 是定义在 (?2,2) 上奇函数

?对任意 x? (?2,2) 有 f ? ? x ? ? ? f ? x ?
由条件 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 得 f (m ? 1) ? ? f (2m ? 1) = f (1 ? 2m)

? f (x) 是定义在 (?2,2) 上减函数
1 2 ? ?2 ? 1 ? 2m ? m ?1 ? 2 ,解得 ? ? m ? 2 3 1 2 ?实数 m 的取值范围是 ? ? m ? 2 3
【名师指引】利用函数的奇偶性可以求对称区间上的函数的表达式 [例 4]设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 并在区间(-∞,0)内单调递增, 2+a+1)<f(3a2-2a+1).求 a 的取 f(2a 值范围,并在该范围内求函数 y=(

1 a 2 ?3a ?1 ) 的单调递减区间. 2

[思路点拨]欲由 f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)求 a 的取值范围,就要设法利用函数 f(x)的单调性。 而函数 y=(

1 a 2 ?3a ?1 ) 是一个复合函数,应该利用复合函数单调性的判定方法解决 2

[解析]设 0<x1<x2,则-x2<-x1<0,∵f(x)在区间(-∞,0)内单调递增, ∴f(-x2)<f(-x1),∵f(x)为偶函数,∴f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1), ∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0,+∞)内单调递减.

1 7 1 2 又2a 2 ? a ? 1 ? 2(a ? ) 2 ? ? 0,3a 2 ? 2a ? 1 ? 3(a ? ) 2 ? ? 0. 4 8 3 3
由 f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)得:2a2+a+1>3a2-2a+1.解之,得 0<a<3. 又 a2-3a+1=(a- ∴函数 y=(

3 2 5 )- . 2 4

3 1 a 2 ?3a ?1 ) 的单调减区间是 [ , ??) 2 2 2 3 3 结合 0<a<3,得函数 y=( ) a ?3a ?1 的单调递减区间为[ ,3). 2 2
【名师指引】偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,而奇函数在关于原点对称的两个区间上 的单调性相同。

[新题导练] 5.若 f ( x) 是奇函数,且在 ? 0, ?? ? 内是增函数,又 f (3) ? 0 ,则 xf ( x) ? 0 的解集是( A. {x ? 3 ? x ? 0或x ? 3} ;B. {x x ? ?3或0 ? x ? 3} C. {x x ? ?3或x ? 3} ; D. {x ? 3 ? x ? 0或0 ? x ? 3} [解析]D;因为 f ( x) 在 ? 0, ?? ? 内是增函数, f (3) ? 0 ,所以当 0 ? x ? 3 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 3 时, )

f ( x) ? 0 ,又因 f ( x) 是奇函数,其图象关于原点对称,所以当 ? 3 ? x ? 0 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 3 时,

f ( x) ? 0 ,可见 xf ( x) ? 0 的解集是 {x ? 3 ? x ? 0或0 ? x ? 3}
6.在 R 上定义的函数 f ? x ? 是奇函数,且 f ?x ? ? f ?2 ? x ? ,若 f ? x ? 在区间 ?1,2? 是减函数,则函数 f ? x ? ( )

A.在区间 ?? 3,?2?上是增函数,区间 ?3,4? 上是增函数 B.在区间 ?? 3,?2?上是增函数,区间 ?3,4? 上是减函数 C.在区间 ?? 3,?2?上是减函数,区间 ?0,1? 上是增函数 D.在区间 ?? 2,?1?上是减函数,区间 ?3,4? 上是减函数 [解析] C;由 f ?x ? ? f ?2 ? x ? 知 f ? x ? 的图象关于直线 x ? 1对称,由 f ? x ? 在区间 ?1,2? 是减函数知 f ? x ? 在 区间 ?0,1? 是增函数,又由 f ?x ? ? f ?2 ? x ? 及 f ? x ? 是奇函数,得到

f ?x ? 2? ? f [2 ? ( x ? 2)] ? f (? x) ? ? f ( x) ,进而得 f ?x ? 4? ? f ( x) ,所以 f ? x ? 是以 4 为周期的函数,
故 f ? x ? 在 ?? 3,?2?上是减函数。 7.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 有最小正周期 4,且 x ? ? 0,2 ? 时, f ( x) ? 析式

3x 。求 f ( x) 在 ? ?2, 2? 上的解 9x ? 1

? 3x ? 9 x ? 1 , 0 ? x ? 2, ? ? [解析] f ( x ) ? ?0, x ? {?2, 0, 2}, ? 3x ?? x , ?2 ? x ? 0 ? 9 ?1 ?
⑴当 ?2 ? x ? 0 时, 0 ? ? x ? 2, f (? x) ?

3? x 3x ? x , 9? x ? 1 9 ? 1 3x , 1 ? 9x

又 f ( x) 为奇函数,? f ( x) ? ? f (? x) ? ?

当 x ? 0 时,由 f (?0) ? ? f (0) ? f (0) ? 0 ? f ( x) 有最小正周期 4,

? f (?2) ? f (?2 ? 4) ? f (2) ? f (?2) ? f (2) ? 0

? 3x ? 9 x ? 1 , 0 ? x ? 2, ? ? 综上, f ( x ) ? ?0, x ? {?2, 0, 2}, ? 3x ?? x , ?2 ? x ? 0 ? 9 ?1 ?
考点 3 函数奇偶性、周期性的综合应用

[例 5] (09 年惠州第三次调研考)已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 1 对 于 x ? R 恒成立,且 f ( x) ? 0 ,则 f (119) ? ________

[思路点拨]欲求 f (119) ,应该寻找 f (x) 的一个起点值,发现 f (x) 的周期性 [解析]由 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 1 得到 f ( x ? 2) ?

1 , 从而得 f ( x ? 4) ? f ( x) , 可见 f (x) 是以 4 为周期的 f ( x)

函数,从而 f (119 ) ? f (4 ? 29 ? 3) ? f (3) , 又由已知等式得 f (3) ?

1 f (1)

又由 f ( x) 是 R 上的偶函数得 f (1) ? f (?1) 又在已知等式中令 x ? ?1 得 f (1) ? f (?1) ? 1 ,即 f (1) ? 1 所以 f (119 ) ? 1 【名师指引】近年将函数的奇偶性、周期性综合在一起考查逐步成为一个热点,解决问题的关键是发现函 数的周期性(奇偶性) 。 [新题导练] 8.设 f ? x ? 是定义在 R 上的正值函数,且满足

f ?x ? 1? f ?x ? 1? ? f ?x ?.若 f ? x ? 是周期函数,则它的一个周期是(
A . 3 ; B . 2 ;C .6 ; D .4



[解析] C ;由 f ? x ? 是定义在 R 上的正值函数及 f ?x ? 1? f ?x ? 1? ? f ?x ?得

f ?x ? 1? ?

f ?x ? f ?x ? 1? f ( x ? 1) , f ?x ? 2? ? , ? f ?x ? 1? f [( x ? 1) ? 1] f ( x)

f ( x ? 1) f ( x ? 2) 1 f ( x) f ? x ? 3? ? ? ? ,所以 f ?x ? 6? ? f ( x) ,即 f ? x ? 的一个周期是 6 f ( x ? 1) f ( x ? 1) f ( x)
9.函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ?x ? 2? f ( x) ? 1 ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ?? 5? ? __________ [解析] ?

1 1 ;由 f ?x ? 2? f ( x) ? 1 得 f ?x ? 2? ? ,进而得 f ?x ? 4? ? f ( x) f ( x) 5 1 1 1 ? ?? f (?1 ? 2) f (1) 5

所以 f ?? 5? ? f (?5 ? 4) ? f (?1) ?

备选例题:设函数 f ( x)在(??,??)上满足f (2 ? x) ? f (2 ? x), f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,且在闭区间 [0,7] 上,只有 f (1) ? f (3) ? 0.

(Ⅰ)试判断函数 y ? f (x) 的奇偶性; (Ⅱ)试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间 [?2005 ,2005 ] 上的根的个数,并证明你的结论. [解析] (Ⅰ)方法一:若 f (x) 是偶函数,则

f (? x) ? f [2 ? ( x ? 2)] ? f [2 ? ( x ? 2)] ? f (4 ? x) ? f ( x)
于是有 f (7) ? f (4 ? 3) ? f (3) ? 0 ,这与在闭区间 [0,7] 上,只有 f (1) ? f (3) ? 0. 矛盾 故 f (x) 不是偶函数; 若 f (x) 是奇函数,则 f (0) ? f (?0) ? ? f (0) ? 0 ,这与在闭区间 [0,7] 上,只有 f (1) ? f (3) ? 0. 矛盾, 故若 f (x) 不是奇函数 所以 f (x) 既不是偶函数,也不是奇函数 方法二:因为在闭区间 [0,7] 上,只有 f (1) ? f (3) ? 0. 故 f (0) ? 0 ,即 f (x) 不是奇函数 又由 f (2 ? x) ? f (2 ? x) 知, f (?1) ? f (5) ,而 f (5) ? 0 ,所以 f (?1) ? 0 ,又 f (1) ? 0. 所以 f (?1) ? f (1) ,可见 f (x) 不是偶函数 所以 f (x) 既不是偶函数,也不是奇函数 (Ⅱ)方法一:因为 f ( x) ? f [2 ? ( x ? 2)] ? f [2 ? ( x ? 2)] ? f (4 ? x)

f ( x) ? f [7 ? ( x ? 7)] ? f [7 ? ( x ? 7)] ? f (14 ? x)
所以 f (14 ? x) ? f (4 ? x) ,即 f [10 ? (4 ? x)] ? f (4 ? x) 所以 f (10 ? x) ? f ( x) ,即 f ( x) ? f ( x ? 10n)(n ? Z ) 又 f (1) ? f (3) ? 0. ,所以 x ? 10n ? 1 和 x ? 10n ? 3(n ? Z ) 都是方程 f ( x) ? 0 的根 由 ? 2005 ? 10n ? 1 ? 2005 和 ? 2005 ? 10n ? 3 ? 2005 及 n ? Z 得到

n ? 0,?1,?2,?,?200
故方程 f ( x) ? 0 在闭区间 [?2005 ,2005 ] 上的根至少有 802 个 如果存在 c ? (7,10] 使得 f (c) ? 0 ,则 f (14 ? c) ? f (c) ? 0 但 7 ? 14 ? c ? 4 ,这与在闭区间 [0,7] 上,只有 f (1) ? f (3) ? 0. 矛盾 故 f ( x) ? 0 在 [0,10] 上只有两个根,即 x ? 1和 x ? 3 设 d 是方程 f ( x) ? 0 在闭区间 [?2005 ,2005 ] 上任意一个根,则存在整数 n ,使得

d ? 10n ? r, r ? [0,10] ,且 f (d ) ? f (10n ? r ) ? f (r ) ? 0
由上可知 r ? 1 或 r ? 3 ,所以 d ? 10n ? 1 或 d ? 10n ? 3 ( n ? Z ) 所以故方程 f ( x) ? 0 在闭区间 [?2005 ,2005 ] 上仅有 802 个根 方法二: f ( x) ? f [2 ? ( x ? 2)] ? f [2 ? ( x ? 2)] ? f (4 ? x) ? f [7 ? (3 ? x)] ? f [7 ? (3 ? x)] ? f (10 ? x) 由 知 f (x) 是周期为 10 的函数, 由 f (7 ? x) ? f (7 ? x) 知 f (x) 的图象关于直线 x ? 7 对称 又因为 f ( x) ? 0 在 [0,7] 上仅有 f (1) ? f (3) ? 0. 所以 f ( x) ? 0 在 [7,10] 上没有根 即 f ( x) ? 0 在 [0,10] 上只有两个根,即 x ? 1和 x ? 3 于是, f ( x) ? 0 在 [0,2000 ] 内只有 400 个根,在 [2000 ,2005 ] 上仅有 2 个根,在 [?2000 ,0] 内仅有 400 个 根,在 [?2005 ,?2000 ] 上没有根。 所以故方程 f ( x) ? 0 在闭区间 [?2005 ,2005 ] 上仅有 802 个根

基础巩固训练
1. 已知 f (x) 是定义在 R 上的函数, 且满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) , “ f (x) 为偶函数” “2 为函数 f (x) 则 是 的一个周期”的 ( )

A.充分不必要条件;B.必要不充分条件;C.充要条件;D.既不充分也不必要条件 [解析]C;由 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 得 f ( x ? 2) ? f [1 ? (1 ? x)] ? f [1 ? (1 ? x)] ? f (? x) 若 f (x) 为偶函数,则 f ( x ? 2) ? f ( x) ,即 2 为函数 f (x) 的一个周期; 若 2 为函数 f (x) 的一个周期,则 f ( x ? 2) ? f ( x) ,又由 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 得

f ( x ? 2) ? f (? x) ,所以 f (? x) ? f ( x) ,即 f (x) 为偶函数
2.若偶函数 f ( x) 在 (??, ?1) 上是增函数,则下列关系式中成立的是( A. f (? ) ? f (?1) ? f (2) ;B. f (?1) ? f (? ) ? f (2) ; )

3 2 3 3 C. f (2) ? f (?1) ? f (? ) ;D. f (2) ? f (? ) ? f (?1) 2 2

3 2

[解析]D;因为 f (x) 为偶函数,故 f (2) ? f (?2) ,又 ? 2 ? ? 以 f (2) ? f (? ) ? f (?1)

3 ? ?1 , f ( x) 在 (??, ?1) 上是增函数,所 2

3 2

3.设函数 f (x) (x∈R)为奇函数, f (1) ?

1 , 2


f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (5) ? (

5 ;D.5 2 1 5 [解析]C;特取 f ( x) ? x ,则 f (5) ? 2 2 x ?x 3 ?3 4.函数 f ( x) ? 在其定义域内是( 2
A.0;B.1; C.

)

A. 是增函数又是偶函数;B. 是增函数又是奇函数 C. 是减函数又是偶函数;D. 是减函数又是奇函数 [解析]B;因为 f (? x) ?

3? x ? 3 x ? ? f ( x) ,故 f (x) 是奇函数;又 2

f ( x) ?

3 x ? 3? x 1 x 1 x ? [3 ? ( ) ] ,可见 f (x) 是增函数,所以应选 B 2 2 3

5.偶函数 f ( x) ( x ? R) 满足: f (? 4) ? f (1) ? 0 ,且在区间 [0, 3] 与 [3,??) 上分别递减和递增,则不等 式 xf ( x) ? 0 的解集为( )

A. (??,?4) ? (4,??) ;B. (?4,?1) ? (1,4) C. (??,?4) ? (?1,0) ;D. (??,?4) ? (?1,0) ? (1,4) [解析]D; 由已知条件通过 f ( x) ( x ? R) 的草图得知函数 f ( x) ( x ? R) 的值在 (??,?4) 、(?1,1) 、(4,??) 上 都为正,在 (?4,?1) 、 (1,4) 上为负,故不等式 xf ( x) ? 0 的解集为

(??,?4) ? (?1,0) ? (1,4)
6.已知 f (x) 是定义域为 R 的奇函数,若当 x ? (0, ??) 时,

f ( x) ? lg x ,则满足 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是



[解析] (?1,0) ? (1, ??) ;当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,由已知条件得 f (? x) ? lg(? x) ,又

f (x) 是定义域为 R 的奇函数,故得 f ( x) ? ? lg(? x) ,即 f ( x) ? ?

?lg x, x ? 0 ?? lg(? x), x ? 0

当 x ? 0 时由 f ( x) ? 0 得 x ? 1;当 x ? 0 时由 f ( x) ? 0 得 ? 1 ? x ? 0

综合提高训练 7.设 f (x) 是 (??,??) 上的奇函数, f ( x ? 2) ? f ( x) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ,则 f (7.5) 为

[ 解 析 ] ? 0.5 ; 由 f ( x ? 2) ? ? f ( x) 得 f ( x ? 4) ? f ( x) , 故 f (x) 是 以 4 为 周 期 的 函 数 , 故

f (7.5) ? f (?0.5 ? 8) ? f (?0.5) ,又 f (x) 是 (??,??) 上的奇函数,且当

0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x 所以 f (7.5) ? f (?0.5) ? ? f (0.5) ? ?0.5
8.符号 [x] 表示不超过 x 的最大整数,如 [? ] ? 3 , [?1.08] ? ?2 ,定义函数 {x} ? x ? [ x] .给出下列四 个命题:①函数 {x} 的定义域是 R,值域为 [0,1] ;②方程 {x} ? 函数 {x} 是增函数.其中正确命题的序号有( A.①④;B.③④;C.②③;D.②④ [解析] C;依据函数 {x} ? x ? [ x] 的定义知函数 {x} 的定义域是 R,但 0 ? x ? [ x] ? 1 ,故①错误;而方程 )

1 有无数个解;③函数 {x} 是周期函数;④ 2

{x} ?

1 1 ,即方程 x ? [ x] ? 有无数个解,故②正确;由于当 x 取整数时,都有 x ? [ x] ? 0 ,所以函数 {x} 2 2

不是增函数,即④是错误的,从而应选 C 9.设 f ( x) 是连续的偶函数,且当 x ? 0 时 f ( x) 是单调函数, 求满足 f ( x) ? f (

x?4 ) ? 0 的所有 x 之和 x?5

[解析] ? 2 ;根据题意,由已知得 f ( x) ? f ( 调函数,故得 x ?

x?4 x?4 或x ? ? x?5 x?5

x?4 ) ,又 f ( x) 是连续的偶函数,且当 x ? 0 时 f ( x) 是单 x?5

即 x 2 ? 4 x ? 4 ? 0??① 或 x 2 ? 6 x ? 4 ? 0?? ② ①的两根之和为 4 ,②的两根之和为 ? 6 ,所以所有根的和为 ? 2

第一部分 综合检测
一、选择题 1.集合 M ? {0, } , P ? {x | x ? M } ,则下列关系中,正确的是( 2 A. M )

P ;B. P

M ;C. P ? M ;D. P ? M

[解析] D;由集合 P 的定义知,应选 D(注意:本题易错选 C)
2 2.若 ?是 x x ? a, a ? R 的真子集, 则实数 a 的取值范围是(

?

?



A.

? 0, ?? ? ;B. ? 0, ?? ? ;C. ? ??, 0? ;D. ? ??, 0 ?

[解析] B;由题意知,集合 x x ? a, a ? R 不是空集,故实数 a ? 0 即其取值范围是 ? 0, ?? ?
2

?

?

3.已知集合 M ? {?1,0,1}, N ? { y | y ? cos x, x ? M } ,则集合 N 的真子集个数为(



A.3;B.4;C.7;D.8 [解析]B;由题意得 N ? ? , cos1? ,所以 N 的真子集个数为 4 1 4. 下列判断正确的是( A.函数 f ( x) ? )

1? x x 2 ? 2x 是奇函数;B.函数 f ( x) ? (1 ? x) 是偶函数 1? x x?2
x 2 ? 1 是非奇非偶函数
D.函数 f ( x) ? 1 既是奇函数又是偶函数

C.函数 f ( x) ? x ?

[解析] C;显然,函数 f ( x) ?

x 2 ? 2x 的定义域为 (??,2) ? (2,??) ,不关于原点对称,故排除 A;函数 x?2

f ( x) ? (1 ? x)
择C

1? x 的定义域为 [?1,1) 也不关于原点对称,故排除 B;又函数 f ( x) ? 1 不是奇函数,所以应选 1? x

5.已知定义在正整数集上的函数 f (x) 满足条件: f (1) ? 2 , f (2) ? ?2 , f (n ? 2) ? f (n ? 1) ? f (n) ,则

f (2009) 的值为(



A.-2;B.2;C.4;D.-4 [ 解 析 ] B ; 由 f (x) 的 定 义 知 , f (x) 是 定 义 在 正 整 数 集 上 的 周 期 为 6 的 函 数 , 故

f (2009 ) ? f (6 ? 334 ? 5) ? f (5) ? 2
6.为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原

a 信息为 a0 a1a2,i ?{0, ( i ? 0,2 ) 1, ,传输信息为 h0 a0 a1a2 h1 ,其中 h0 ? a0 ? a1,h1 ? h0 ? a2 , ? 运算 1}
规则为: 0 ? 0 ? 0 , 0 ?1 ? 1 , 1 ? 0 ? 1 , 1 ?1 ? 0 ,例如原信息为 111,则传输信息为 01111.传输信 息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( A.11010;B.01100;C.10111;D.00011 [解析]C;假设传输信息为“10111” ,那么 h0 , a0,a1,a 2,h1 的值分别为“1,0,1,1,1”这 5 个数,据 题目条件必有 h0 ? a0 ? a1 ? 0 ? 1 ? 1 ; h1 ? h0 ? a 2 ? 1 ? 1 ? 0 ,这与 h1 ? 1 矛盾,故此信息错误。 7.定义在 R 上的函数 f (x) 既是奇函数,又是周期函数, T 是它的一个正周期.若将方程 f ( x) ? 0 在闭区 间 ?? T , T ? 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为( ) A.0;B.1;C.3;D.5 [解析] D;特取 f ( x) ? sin x , T ? 2? ,则 sin x ? 0 在 ?? 2? , 2? ? 上的根有 5 个。 8.函数 f ( x) ?
2007 n ?1



? x ? n 的最小值为(



A. 1003×1004

B. 1004×1005

C. 2006×2007
2007 n ?1

D. 2005×2006

[解析] A ;根据绝对值的几何意义, f ( x) ?

? x ? n 表示数轴上与数 x 对应的点到数1,2,3,?,2007 对

应的点的距离之和,当此点对应于数 1004 时 f (x) 取得最小值,为

f ( x) min ? 2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? 1003 ) ? 1003 ? 1004
二、填空题: 9. 在实数集 R 上定义运算 ? : a ? b ? a ? b ? 4 , 并定义: R 存在元素 e 使得对 ?a ? R , e ? a ? a , 若 有 则 e 称为 R 上的零元,那么,实数集上的零元 e 之值是 [解析] ? 4 ;根据“零元”的定义, e ? a ? e ? a ? 4 ? a ,故 e ? ?4 10.设 P ? ?3, 4 ,5?,Q ? ?4 ,5, 6, 7? ,定义 P※Q= ?(a, b) | a ? P,b ? Q?,则 P※Q 中元素的个 数为 .
1

1 [解析]12;根据定义, a ? P ,故 a 有 C 3 种确定方法; b ? Q ,故 b 有 C 4 种确定方法,所以 P※Q 中元素 1 1 的个数为 C3 ? C 4 ? 12

11.已知函数 y ? f (x) 是以 2 为周期的偶函数,且当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? x ? 1, 则 f ( ) 的值_______.
2

7 2

7 1 1 3 ;由 y ? f (x) 是以 2 为周期的函数得 f ( ) ? f (4 ? ) ? f (? ) ,又 y ? f (x) 是偶函数, 2 2 2 4 1 1 1 3 2 且当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? x ? 1, 所以 f (? ) ? f ( ) ? ( ) 2 ? 1 ? ? 2 2 2 4
[解析] ? 12.设 a, b ? R ,集合 ? , a ? b, a? ? ?0, 1

b ? b ? , b?, 则 的值是 a ? a ?
? ?

[解析] ? 1;由 ?1,a ? b,a? ? ?0, ,b ? 可知 a ? 0 ,则只能 a ? b ? 0 ,则有以下对应关系

? b ? a

?a ? b ? 0 ?b ? ① ? ?a ?a ?b ? 1 ?
所以



?a ? b ? 0 ?b ? a ? ?1 ? ② ? ?1 解①得 ? 符合题意,②无解, a ?b ? 1 ? ?b ? a ?

b ? ?1 a

13. f (x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f (2) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间(0,6)内解的个 数的最小值是 [解析]4;因 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,故 f (?2) ? f (2) ? 0 ,又知 3 为 f (x) 的一个周期,所以

f (4) ? f (1) ? f (?2 ? 3) ? f (?2) ? 0 , f (5) ? f (2 ? 3) ? f (2) ? 0 ,所以区间(0,6)内 f ( x) ? 0 的

解的个数的最小值为 4 14 . 设 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 y ? f (x) 的 图 象 关 于 直 线 x ?

1 对称,则 2

f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ?
[解析]0;由 y ? f (x) 的图象关于直线 x ?

1 对称得 f (? x) ? f (1 ? x) ,又 f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 2

故 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,从而 f ( x ? 2) ? f ( x) ,故 f (5) ? f (3) ? f (1)

f (4) ? f (2) ,又 f (1) ? f (0) ? 0 , f (2) ? f (?1) ? ? f (1) ? 0
所以 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? 0 15. 若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解 析式为 y=x ,值域为{0,4}的“同族函数”共有_________个. [解析]3 个;显然,定义域可为 ?0,2?, ?0,?2?, ?0,2,?2? 三、解答题 16.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | 6 ? x ? x ? 0} ,集合 B ? {x |
2
2

2x ?1 ? 1} x?3

(Ⅰ)求集合 A 与 B ; [解析](Ⅰ)? 6 ? x ? x
2

(Ⅱ)求 A ? B 、 (CU A) ? B.

? 0,? x 2 ? x ? 6 ? 0 ,
??????4 分

不等式的解为 ?3 ? x ? 2 ,? A ? {x | ?3 ? x ? 2}

?

2x ?1 2x ?1 x?4 ? 1,? ? 1 ? 0,即 ? 0,? x ? ?3或x ? 4 , x?3 x?3 x?3
?????????? 7分

? B ? {x | x ? ?3或x ? 4}

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 A ? {x | ?3 ? x ? 2} , B ? {x | x ? ?3或x ? 4} ,

? A? B ? ?

????????????????????10 分

? CU A ? {x | x ? ?3或x ? 2} ,? (CU A) ? B ? {x | x ? ?3或x ? 2}. ??????13 分
17.已知集合 A={x| x2-3x-10≤0},B={x| m+1≤x≤2m-1},若 A ? B 且 B≠ ? ,求实数 m 的取值 ? 范围。 [解析] A={x| x2-3x-10≤0}={x| -2≤x≤5}, ????2 分

x -2
如图:

m+1 0

2m-1

5

? m ? 1 ? ?2 ? B 且 B≠ ? , 则 ? 2m ? 1 ? 5 , 若A ? ? ?m ? 1 ? 2 m ? 1 ?
解得 2≤m≤3 ????13 分

????7 分

∴ 实数 m 的取值范围是 m∈[2, 3] . 18.已知函数 y=f(x)=

????13 分

5 ax 2 ?1 (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数, x>0 时, 当 f(x)有最小值 2, 其中 b∈N 且 f(1)< . bx ? c 2

试求函数 f(x)的解析式 [解析]∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), 即

ax 2 ? 1 ax 2 ? 1 ?? ? bx ? c ? bx ? c bx ? c ? bx ? c
∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=

∴c=0,

……………4 分

a ax 2 ? 1 a 1 ≥2 , ? x? bx b bx b2

…………6 分

当且仅当 x=

1 a 时等号成立,于是 2 =2,∴a=b2, 2 a b

…………8 分

5 a ? 1 5 b2 ?1 5 得 < 即 < , ………10 分 b 2 2 2 b 1 ∴2b2-5b+2<0,解得 <b<2, ????12 分 2 1 又 b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+ . ????14 分 x
由 f(1)< 19.已知函数 y ? f (x) ,若存在 x0,使得f ( x0 ) ? x0 ,则 x 0 称是函数 y ? f (x) 的一个不动点,设 f ( x) ? (Ⅰ)求函数

? 2x ? 3 . 2x ? 7

y ? f (x) 的不动点;
f ( x) ? a x?a ?k? f ( x) ? b x?b

(Ⅱ)对(Ⅰ)中的二个不动点 a 、 b (假设 a ? b ) ,求使 恒成立的常数 k 的值; 解: (Ⅰ)设函数 y ? f ( x)的不动点为x0 , 则

- 2 x0 ? 3 1 ? x0,解得x0 ? ? ,x0 ? 3 ?7 分 2 x0 - 7 2

? 2x ? 3 ?3 1 2x ? 7 ? 8 x ? 24 x?3 ? ? 8? (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 a ? 3, b ? ? , 1 1 2 ? 2x ? 3 1 ? ?x? x? 2x ? 7 2 2 2
可知使

f ( x) ? a x?a ?k? 恒成立的常数 k ? 8 . ????????14 分 f ( x) ? b x?b
1 . x2

20.设函数 f (x) 是定义在 [?1 ,0)∪(0, 1] 上的奇函数,当 x? [?1 ,0)时, f (x) = 2ax ?

(1) 求当 x?(0, 1] 时, f (x) 的表达式; (2) 若 a>-1,判断 f (x) 在(0, 1] 上的单调性,并证明你的结论. [解析](1)设 x?(0, 1] ,则 ? x ? [?1 0) ,????2 分 ,

1 ,????4 分 x2 1 又因为 f(-x)=-f(x),所以 f(x)= 2ax ? 2 x?(0, 1] . ????6 分 x 1 2 (2) x?(0, 1] 时,f(x)= 2ax ? 2 , f ' ( x) ? 2a ? 3 , ????10 分 x x 1 x3?(0, 1] ,? 3 ? 1 , ????12 分 x 2 ' 又 a>-1,所以 2a ? 3 >0,即 f ( x) ? 0 ,所以 f(x)在(0, 1] 上递增. ????14 分 x
所以 f(-x)= ? 2ax ? 21.若函数 y=f(x)是周期为 2 的偶函数,当 x∈[2,3]时,f(x)=x-1.在 y=f(x)的图象上有两点 A、B,它们的纵坐 标相等,横坐标都在区间[1,3]上,定点 C 的坐标为(0,a)(其中 2<a<3), (1) 求当 x∈[1,2]时,f(x)的解析式; (2) 定点 C 的坐标为(0,a)(其中 2<a<3),求△ABC 面积的最大值. [解:析](1)∵f(x)是以 2 为周期的周期函数,当 x∈[2,3]时,f(x)=x-1, ∴当 x∈[0,1]时,f(x)=f(x+2)=(x+2)-1=x+1. ????1 分 ????2 分 ????4 分 ????6 分

∵f(x)是偶函数,∴当 x∈[-1,0]时,f(x)=f(-x)=-x+1, 当 x∈[1,2]时,f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=-x+3.

(2)设 A、B 的横坐标分别为 3-t,t+1,1≤t≤2,则|AB|=(t+1)-(3-t)=2t-2,

1 a ? 1 2 a 2 ? 2a ? 1 2 ∴△ABC 的面积为 S= (2t-2)·(a-t)=-t +(a+1)t-a(1≤t≤2)=-(t- )+ . 4 2 2
∵2<a<3,∴

a 2 ? 2a ? 1 3 a ?1 a ?1 < <2.当 t= 时,S 最大值= . ????12 分 4 2 2 2


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