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高一数学下学期全册模块复习课件+配套单元过关检测及综合质量检测 (21)


课时提升作业 二十六
直线与圆的位置关系

(25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1,则 a= ( )

A.-

B.-

C.

D.2

【解析】选 A.由题可知,圆心为(1,4),结合题意得

=1,解得 a=- .

2.(2018·福州高一检测)圆心坐标为(2,-1)的圆在直线 x-y-1=0 上截得的弦长 为2 ,那么这个圆的方程为 ( )

A.(x-2)2+(y+1)2=4 B.(x-2)2+(y+1)2=2 C.(x-2)2+(y+1)2=8 D.(x-2)2+(y+1)2=16

【解析】选 A.d=

=

,r=

=2,所以圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4. )

3.过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于 M,N 两点,则|MN|= ( A.2 C.4 【解析】选 C.由已知得 kAB= B.8 D.10 =- ,kCB=

=3,所以 kABkCB=-1,所以 AB⊥CB,即

△ ABC 为直角三角形 , 其外接圆圆心为 (1,-2), 半径为 5, 所以外接圆方程为
-1-

(x-1)2+(y+2)2=25,令 x=0,得 y=±2

-2,所以|MN|=4 )

,故选 C.

4.直线 ax-y+2a=0 与圆 x2+y2=9 的位置关系是 (

A.相离 C.相切

B.相交 D.不确定

【解析】 选 B.当 a=0 时,直线 y=0 显然与该圆相交;当 a≠0 时,圆心(0,0)到直线

ax-y+2a=0 的距离 d=

<

=2<3(半径),也与该圆相交.

【补偿训练】如果直线 ax+by=4 与圆 x2+y2=4 有两个不同的交点,那么点 P(a,b) 与圆的位置关系是 ( A.P 在圆外 B.P 在圆上 C.P 在圆内 D.P 与圆的位置关系不确定 )

【解析】选 A.由题意,得 选 A.

<2,得 a2+b2>4,即点 P(a,b)在圆 x2+y2=4 外,故

5.(2018·衡阳高一检测)圆 x2+y2-2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分 别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为 ( A.5 B.10 C.15 ) D.20

【解题指南】利用过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦求解. 【解析】选 B.由题意可知,圆的圆心坐标为(1,3),半径为 该圆内,故过点 E(0,1)的最短弦长|BD|=2
-2-

,且点 E(0,1)位于 ,过点 E(0,1)的最

=2

长弦长等于该圆的直径,即|AC|=2 |AC|·|BD|= ×2 ×2 =10 .

,且 AC⊥BD,因此四边形 ABCD 的面积等于

【补偿训练】 过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4 的弦,其中最短弦的长为________. 【解题指南】先判断最短弦的位置,然后构造由半径、弦心距和弦长的一半组成 的直角三角形进行求解. 【解析】最短弦为过点(3,1),且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦,易知弦心距 d= 答案:2 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2018 ·济南高一检测 ) 过点 P(-1,2) 且与圆 C:x2+y2=5 相切的直线方程是 ______________. 【解析】点 P(-1,2)是圆 x2+y2=5 上的点,圆心为 C(0,0),则 kPC= k= ,y-2= (x+1).故所求切线方程是 x-2y+5=0. 答案:x-2y+5=0 7.已知直线 l 将圆 C:x2+y2+x-2y+1=0 平分,且与直线 x+2y+3=0 垂直,则 l 的方程 为____________. 【解析】因为圆 C:x2+y2+x-2y+1=0 的圆心坐标为 直线 x+2y+3=0 的斜率 k=- , 则与直线 x+2y+3=0 垂直的直线斜率 k=2, = ,所以最短弦长为 2 =2 =2 .

=-2,所以

,

-3-

所以所求的直线方程为 y-1=2 即 2x-y+2=0. 答案:2x-y+2=0 8.过直线 x+y-2

,

=0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线,若两条切线的夹角是 60°,

则点 P 的坐标是______. 【解析】 设 P(x,y),则由已知可得 PO(O 为原点)与切线的夹角为 30°,有|PO|=2, 由 答案:( , ) 可得

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.(2018·宜昌高一检测)已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 相交于 P,Q 两 点,O 为原点,且 OP⊥OQ,求实数 m 的值. 【解析】设点 P,Q 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 由 OP⊥OQ,得 kOPkOQ=-1,

即 · =-1,x1x2+y1y2=0.① 又(x1,y1),(x2,y2)是方程组 的实数解,即 x1,x2 是方程 5x2+10x+4m-27=0②的两个根, 所以 x1+x2=-2,x1x2= .③

因为 P,Q 在直线 x+2y-3=0 上,

所以 y1y2= (3-x1)· (3-x2)
-4-

= [9-3(x1+x2)+x1x2]. 将③代入,得 y1y2= .④

将③④代入①,解得 m=3.代入方程②,检验Δ>0 成立,所以 m=3. 10.已知圆 C:x2+(y-1)2=5,直线 l:mx-y+1-m=0. (1)求证:对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点. (2)若直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,|AB|= 【 解 析 】 (1) 方 法 一 : 由 (m2+1)x2-2m2x+m2-5=0. 因为Δ=(-2m2)2-4(m2+1)(m2-5)=16m2+20>0,对于一切 m∈R 恒成立,所以直线 l 与 圆 C 总有两个不同的交点. 方法二:l 的方程可变形为 y-1=m(x-1),故直线恒过定点 P(1,1). 因为|PC|2=12+(1-1)2<5,所以 P(1,1)在圆 C 内,所以直线 l 与圆 C 总有两个不同的 交点. ,求直线 l 的倾斜角. 消 去 y 并 整 理 , 得

方 法 三 : 圆 C 的 圆 心 (0,1) 到 直 线 l 的 距 离 d=

,所以

d2-5=

<0.即圆心到直线 l 的距离小于圆的半径,所以直线 l 和圆 C 必有

两个不同的交点.

(2)圆 C 的半径为 r=

,所以圆心到直线 l 的距离为 d= =
-5-

=

.

由点到直线的距离公式,得

,

解方程,得 m=±

.所以直线 l 的倾斜角为 或 π.

(20 分钟 40 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.直线 y=x+b 与曲线 x= 有且仅有一个公共点,则实数 b 的取值范围是 ( A.b= C.-1≤b≤1 【解题指南】曲线 x= B.-1<b≤1 或 b=D.以上都不正确 表示的是半圆,利用数形结合法求解. )

【解析】选 B.如图,作半圆的切线 l1 和经过端点 A,B 的直线 l3,l2,由图可知,当直 线 y=x+b 为直线 l1 或位于 l2 和 l3 之间(包括 l3,不包括 l2)时,满足题意.

因为 l1 与半圆相切,所以 b=当直线 y=x+b 位于 l2 时,b=-1; 当直线 y=x+b 位于 l3 时,b=1.

;

所以 b 的取值范围是-1<b≤1 或 b=-

. )

2.过点(0,1)的直线与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,则|AB|的最小值为 ( A.2 B.2 C.3
-6-

D.2

【解析】选 B.当圆心到直线距离最大时,弦长最短,易知当圆心与定点 G(0,1)的 连线与直线 AB 垂直时,圆心到直线 AB 的距离取得最大值,即 d=|OG|=1,此时弦长

最短,即



=

?|AB|≥2

,故选 B.

【补偿训练】圆 x2+y2-4x+6y-12=0 过点(-1,0)的最大弦长为 m,最小弦长为 n,则 m-n= ( A.10-2 ) B.5-

C.10-3

D.5-

【解析】选 A.圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=25,圆心(2,-3)到(-1,0)的距离为 =3 (-1,0)为中点的弦,即 n=2 所以 m-n=10-2 . <5. 所以最大弦长为直径 , 即 m=10, 最小弦长为以 =2 .

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 圆 x2+y2=4 上 有 且 仅 有 四 个 点 到 直 线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________. 【解析】 由题意知,若圆上有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则需圆心(0,0)

到直线的距离 d 满足 0≤d<1.因为 d= 解得-13<c<13. 答案:(-13,13)

=

,所以 0≤

<1,即 0≤|c|<13.

4.已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相交于 A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数 a=________. 【解析】由题意可知圆的圆心为 C(1,a),半径 r=2,则圆心 C 到直线 ax+y-2=0 的
-7-

距离 d=

=

.

因为△ABC 为等边三角形,所以|AB|=r=2.

又|AB|=2 答案:4±

,所以 2

=2,即 a2-8a+1=0,解得 a=4±

.

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.已知以点 A(-1,2)为圆心的圆与直线 l1:x+2y+7=0 相切,过点 B(-2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M,N 两点,Q 是 MN 的中点. (1)求圆 A 的方程. (2)当|MN|=2 时,求直线 l 的方程.

【解析】(1)设圆 A 的半径为 r, 因为圆 A 与直线 l1:x+2y+7=0 相切,

所以 r=

=2

,

所以圆 A 的方程为(x+1)2+(y-2)2=20. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时, 则直线 l 的方程 x=-2, 此时有|MN|=2 ,即 x=-2 符合题意.

当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的斜率为 k, 则直线 l 的方程为 y=k(x+2), 即 kx-y+2k=0, 因为 Q 是 MN 的中点,所以 AQ⊥MN,
-8-

所以|AQ|2+ 又因为|MN|=2 所以|AQ|=

=r2, ,r=2 =1, ,

解方程|AQ|=

=1,得 k= ,

所以此时直线 l 的方程为 y= (x+2), 即 3x-4y+6=0. 综上所述,直线 l 的方程为 x=-2 或 3x-4y+6=0. 6.已知☉O:x2+y2=1 和定点 A(2,1),由☉O 外一点 P(a,b)向☉O 引切线 PQ,切点为 Q,且满足|PQ|=|PA|. (1)求实数 a,b 间满足的等量关系. (2)求线段 PQ 的最小值. 【解析】(1)连接 OP,因为 Q 为切点, 所以 PQ⊥OQ,由勾股定理有 |PQ|2=|OP|2-|OQ|2.又因为|PQ|=|PA|,

所以|PQ|2=|PA|2, 即 a2+b2-1=(a-2)2+(b-1)2,
-9-

整理,得 2a+b-3=0. (2)由 2a+b-3=0 得 b=-2a+3, 所以|PQ|= = = , . = ,

所以当 a= 时,|PQ|min= 即线段 PQ 的最小值为

- 10 -


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