伤城文章网 > 数学 > 2015年高中数学学业水平考试知识点大全(必修1-5)

2015年高中数学学业水平考试知识点大全(必修1-5)


高中数学必修 1-5 知识点
必修一 一、 集合与函数概念

并集: 由集合 A 和集合 B 的元素合并在一起组成的集合, 如果遇到重复的只取一次。 记作: A∪B 交集:由集合 A 和集合 B 的公共元素所组成的集合,如果遇到重复的只取一次记作:A∩ B 补集:就是作差。 1、集合 ?a1 , a2 ,...,an ? 的子集个数共有 2 个;真子集有 2 –1 个;非空子集有 2 –1 个;非空的真子
n n n

有 2 –2 个. 2、求 y ? f ( x) 的反函数:解出 x ? f ?1 ( y) , x, y 互换,写出 y ? f ?1 ( x) 的定义域;函数图象关于 y=x 对称。 3、 (1)函数定义域:①分母不为 0;②开偶次方被开方数 ? 0 ;③指数的真数属于 R、对数
的真数 ? 0 . 4、 函数的单调性: 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)< ( ? )f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增(减)函数,函数的单调性是在定义域内的某个区间上 的性质,是函数的局部性质。 5、奇函数:是 f (- x ) = - f (x ) ,函数图象关于原点对称(若 x ? 0 在其定义域内,则 f (0) ? 0 ) ; 偶函数:是 f (- x ) = f (x ) ,函数图象关于 y 轴对称。 6、指数幂的含义及其运算性质: (1)函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数。
x

n

(2)指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 当 0 ? a ? 1 为减函数,当 a ? 1 为增函数; ① a ?a ? a
r s r ?s

;② (a ) ? a ;③ (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r, s ? Q) 。
r s rs r r r

(3)指数函数的图象和性质

y ? ax

0<a<1

a>1





定义域 性 质 值域 定点 单调性

R (0 , +∞) 过定点(0,1) ,即 x = 0 时,y = 1 (1)a > 1,当 x > 0 时,y > 1;当 x < 0 时,0 < y < 1。 (2)0 < a < 1,当 x > 0 时,0 < y < 1;当 x < 0 时,y > 1。 在 R 上是减函数 在 R 上是增函数
1

对称性 奇偶性

y ? a x 和 y ? a ? x 关于 y 轴对称
非奇非偶函数

7、对数函数的含义及其运算性质: (1)函数 y ? log a x(a ? 0, a ? 1) 叫对数函数。 (2)对数函数 y ? log a x(a ? 0, a ? 1) 当 0 ? a ? 1 为减函数,当 a ? 1 为增函数; ①负数和零没有对数;②1 的对数等于 0 : loga 1 ? 0 ;③底真相同的对数等于 1: loga a ? 1 , (3)对数的运算性质:如果 a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0,那么: ① loga MN ? loga M ? loga N ; ② log a

M ? log a M ? log a N ; N

③ loga M n ? n loga M (n ? R) 。

(4)换底公式: loga b ?

logc b (a ? 0且a ? 1, c ? 0且c ? 1, b ? 0) logc a

(5)对数函数的图象和性质:

y ? loga x

0<a<1

a>1

图 象

定义域 值域 (2)在 R 上是减函数 性 质

(0 , +∞) R (1)过定点(1,0) ,即 x = 1 时,y = 0 (2)在 R 上是增函数

(3)同正异负,即 0 < a < 1 , 0 < x < 1 或 a > 1 , x > 1 时,log a x > 0; 0 < a < 1 , x > 1 或 a > 1 , 0 < x < 1 时,log a x < 0。 (4)非寄非偶函数。

? 8、幂函数:函数 y ? x 叫做幂函数(只考虑 ? ? 1,2,3,?1,

1 的图象) 。 2

2

9、方程的根与函数的零点:如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并 且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 (a , b) 内有零点,即存在 c ? (a, b) ,使得

f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。
必修二 一、直线 平面 简单的几何体 1、长方体的对角线长 l 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ;正方体的对角线长 l ? 3a 2、球的体积公式: v ?

4 ? R 3 ; 球的表面积公式: S ? 4? R 3

2

3、柱体、锥体、台体的体积公式:

1 V柱体 = S h ( S 为底面积, h 为柱体高); V锥体 = Sh ( S 为底面积, h 为柱体高) 3 1 V台体 = ( S ’+ S' S + S ) h ( S ’, S 分别为上、下底面积, h 为台体高) 3
4、点、线、面的位置关系及相关公理及定理: (1)四公理三推论: 公理 1:若一条直线上有两个点在一个平面内,则该直线上所有的点都在这个平面内。 公理 2:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。 公理 3:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这 个公共点的直线。 推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. (2)空间线线,线面,面面的位置关系: 空间两条直线的位置关系: 相交直线——有且仅有一个公共点; 平行直线——在同一平面内,没有公共点; 异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。 空间直线和平面的位置关系: (1)直线在平面内(无数个公共点) ; (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点) ; (3)直线和平面平行(没有公共点)它们的图形分别可表示为如下,符号分别可表示为 a ? ? ,
3

a ? ? A , a // ? 。
空间平面和平面的位置关系: (1)两个平面平行——没有公共点; (2)两个平面相交——有一条公共直线。 5、直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么该直线与这个平面 平行。
a ??? ? b 符号表示: ? ? ? ? a // ? 。 a // b ? ?

图形表示:

6、两个平面平行的判定定理:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平 行。 a?? ? b?? ? ? ? 符号表示: a b ? P ? ? ? // ? 。图形表示: ? a // ? ? b // ? ? ? 7、. 直线与平面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与已知平面相 交,那么交线与这条直线平行。
a // ? 符号表示: a ? ? ? ? ? ? a // b 。 图形表示: ? ? b? ?

?

8、两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们交线的平行。符号 ? / / ? , ? ? ? a, ? ? ? b ? a / /b 表示: 9、直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么 这条直线垂直于这个平面。符号表示:

a ? ? , b ? ? , a b ? P, l ? a, l ? b ? l ? ?
10、.两个平面垂直的判定定理:一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 符号表示: l ? ? , l ? ? ? ? ? ? 11、直线与平面垂直的性质:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 a ??? 符号表示: ? ? a // b 。 b ?? ? 12、平面与平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直,那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于 P l l ? ? , ? ? ? m, l ? m ? l ? ? . 另一个平面。符号表示: 13、异面直线所成角:平移到一起求平移后的夹角。 直线与平面所成角:直线和它在平面内的射影所成的角。 (如右图) 14、异面直线所成角的取值范围是 ?0?,90?? ; 直线与平面所成角的取值范围是 ?0?,90?? ; 二面角的取值范围是 ?0?,180?? ; 两个向量所成角的取值范围是 ?0?,180??
4

?

?

H

二、直线和圆的方程 1、斜 率: k ? tan ? , k ? (??,??) ;直线上两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) ,则斜率为

k?

y2 ? y1 x2 ? x1

2、直线的五种方程 : (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ( (P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ; ( x1 ? x2 )、( y1 ? y2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(3)两点式 3、两条直线的平行、重合和垂直: (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 ‖ l 2 ? k1 ? k 2且b1 ≠ b2 ; ② l1与l2重合时 ? k1 ? k 2且b ? b2 ; ③ l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ① l1 || l2 ?

A1 B1 C1 ;② l1 ? l2 ? A ? ? 1 A2 ? B 1B2 ? 0 A2 B2 C2

2 2 4、两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式 │P1P2│= ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 )

5、两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的中点坐标公式

M(

x1 ? x 2 y ? y2 , 1 ) 2 2
Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

6、点 P(x0,y0)到直线(直线方程必须化为一般式)Ax+By+C=0 的距离公式 d=

7、平行直线 Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0 的距离公式 d=
2 2 2

C 2 ? C1 A2 ? B 2

8、圆的方程:标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r ,圆心

?a, b ? ,半径为 r ;

2 2 一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , (配方: ( x ? D ) 2 ? ( y ? E ) 2 ? D ? E ? 4 F ) 2 2 4 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个以 ( ? D ,? E ) 为圆心,半径为 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 的圆; 2 2 2 9、点与圆的位置关系:

点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:
2 2 2

若d ?

(a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内.
2 2 2 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:

10、直线与圆的位置关系:

5

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; Aa ? Bb ? C . d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .其中 d ? A2 ? B 2 11、弦长公式:
若直线 y=kx+b 与二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 由

二次曲线方程

y=kx+m
则知直线与二次曲线相交所截得弦长为:

ax2+bx+c=0(a≠0)

AB = ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2
2 1 ? k 2) (x1 ? x 2) ? 4 x1 x 2 = 1 ? k 2 x1 ? x2 = (

?

?

= 1?

1 1 y1 ? y 2 ? (1 ? 2 ) ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 2 k k
2

?

?
B

Z

F z

C y
Y

= 1? k

b ? 4ac a
2

13、 空间直角坐标系,两点之间的距离公式: ⑴ xoy 平面上的点的坐标的特征 A(x,y,0) :竖坐标 z=0 xoz 平面上的点的坐标的特征 B(x,0,z) :纵坐标 y=0 yoz 平面上的点的坐标的特征 C(0,y,z) :横坐标 x=0 x 轴上的点的坐标的特征 D(x,0,0) :纵、竖坐标 y=z=0 y 轴上的点的坐标的特征 E(0,y,0) :横、竖坐标 x=z=0 z 轴上的点的坐标的特征 E(0,0,z) :横、纵坐标 x=y=0

x D
X

O

E A

(y 2 -y 1) ? (z 2 -z 1) ⑵│P1P2│= (x 2 -x 1) ?
2 2 2

必修三 算法初步与统计:

以下是几个基本的程序框流程和它们的功能
图形符号 名称 终端框(起止框) 束 表示一个算法输入输出的 输入、输出框 信息
6

功能 表示一个算法的起始和结

赋值、计算(语句、结果的 处理框(执行框) 传送) 判断某一条件是否成立时, 判断框 在出口处标明 “是” 或 “Y” , 不成立时标明“否”或“N” 连接程序框 (流程进行的方 流程线 向) 连接点 注释框 循环框 连接程序框图的两部分 帮助注解流程图 程序做重复运算

一、算法的三种基本结构: (1)顺序结构(2)条件结构(3)循环结构 二、算法基本语句:1、输入语句:输入语句的格式:INPUT “提示内容” ; 变量。2、输出语句:输出语 句的一般格式:PRINT“提示内容” ;表达式。3、赋值语句:赋值语句的一般格式:变量=表达式。4、 条件语句(1)“IF—THEN—ELSE”语句。5、循环语句:直到型循环结构“DO—LOOP UNTIL”语句和 当型循环结构“WHILE—WEND” 。 三.三种常用抽样方法: 1、简单随机抽样;2.系统抽样;3.分层抽样。4.统计图表:包括条形图,折线图,饼图,茎叶图。 四、频率分布直方图:具体做法如下: (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) ; (2)决定组 距与组数; (3)将数据分组; (4) 列频率分布表; (5)画频率分布直 方 组距
频率

图。注:频率分

布直方图中小正方形的面积=组距×频率。 2、频率分布直方图: 频率=小矩形面积 (注意:不是小矩形的高度)
频数 样本容量
频数=样本容量 ? 频率

计算公式: 频率=

频率=小矩形面积=组距 ?

频率 组距

各组频数之和=样本容量, 3、茎叶图:茎表示高位,叶表示低位。

各组频率之和=1

折线图:连接频率分布直方图中小长方形上端中点,就得到频率分布折线图。
7

4、刻画一组数据集中趋势的统计量:平均数,中位数,众数。 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数; 将一组数据按照从大到小(或从小到大)排列,处在中间位置上的一个数据(或中间两位数据的平 均数)叫做这组数据的中位数; 5、刻画一组数据离散程度的统计量:极差 ,极准差,方差。 (1)极差一定程度上表明数据的分散程度,对极端数据非常敏感。 (2)方差,标准差越大,离散程度越大。方差,标准差越小,离散程度越小,聚集于平均数的程度 越高。 (3)计算公式:

标准差:

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? n

? ( xn ? x)2 ]

方差: s 2 ? 1 [( x ? x ) 2 ? ( x ? x ) 2 ? 1 2

n

? ( xn ? x ) 2 ]

? ,截距为 a ? x+ a ? ,即回归方程为 y ? (此直线必过点( x , y ) ? =b 直线回归方程的斜率为 b ) 。
6、频率分布直方图:在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,方长方形的高 与频数成正比,各组频数之和等于样本容量,频率之和等于 1。 五、随机事件:在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母 A,B,C?表示. 随机事件的概率: 在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 总接近于某个常数, 在它附近摆 动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P(A) 。由定义可知 0≤P(A)≤1,显然必然事件的 概率是 1,不可能事件的概率是 0。 1、事件间的关系: (1)互斥事件:不能同时发生的两个事件叫做互斥事件; (2)对立事件:不能同时发生,但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件; (3)包含:事件 A 发生时事件 B 一定发生,称事件 A 包含于事件 B(或事件 B 包含事件 A) ; (4)对立一定互斥,互斥不一定对立。 2、概率的加法公式: (1)当 A 和 B 互斥时,事件 A+B 的概率满足加法公式:P(A+B)=P(A)+P(B) (A、B 互斥) (2)若 事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B). 3、古典概型: (1)正确理解古典概型的两大特点:1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;2)每个基本事
8

件出现的可能性相等; (2)掌握古典概型的概率计算公式: P( A) ? 4、几何概型:

事件A包含的基本事件个数 实验中基本事件的总数

?

m n

(1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则 称这样的概率模型为几何概率模型。 (2)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出 现的可能性相等. (3)几何概型的概率公式: P( A) ?
事件A构成的区域的长度(面积或体积) 实验的全部结果构成的区域的长度(面积或体积)

m 5、排列: (1) 、排列数公式: An = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) =

n! * .( n , m ∈N ,且 m ? n ).0!=1 (n ? m)!

(2) 、 全排列: n 个不同元素全部取出的一个排列;An ? n! ? n(n ? 1)(n ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ? 1 ? n ? (n ? 1)!; 6、组合: (1) 、 组合数公式: C 必修四 一、 三角函数
m n =

n

Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! 0 = = (n, 且 m ? n ); m ∈N*, Cn ? 1 。 m 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)! Am

8 0 1、弧度制: (1) 、1

?

? ? 弧度,1 弧度 ? (

180

?

) ? ? 57 ?18 ' ;弧长公式: l ?| ? | r ( l 为 ? 所对的弧

长, r 为半径,正负号的确定:逆时针为正,顺时针为负) 。 2、三角函数: (1) 、定义: y x y x sin ? ?    cos? ?     t an? ?    cot? ?    r r x y 3、特殊角的三角函数值:

? 的角度

0?
0 0
1

30 ?

45 ?

60 ?

90 ?

120 ?

135 ?

150 ?

180 ?

270 ?

360 ?
2?

? 的弧度
sin ?

?
6 1 2
3 2

?
4
2 2
2 2
1
2

?
3
3 2

?
2
1

2? 3
3 2

3? 4
2 2
? 2 2
?1
s i? n c o? s

5? 6

?
0
?1

3? 2
?1

1 2
? 3 2

0
1

cos?
tan ?

1 2
3
2

0


?1 2
? 3
t a? n?

0


0

3 3

? 3 3

0

0

4、同角三角函数基本关系式: sin ? ? cos ? ? 1

t a? n c o? t ?1

5、诱导公式:(众变横不变,符号看象限) 正弦上为正;余弦右为正;正切一三为正。
9

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos? tan(?? ) ? ? tan? cot(?? ) ? ? cot?

sin(90? ? ? ) ? cos? cos(90? ? ? ) ? ? sin ? tan( 90? ? ? ) ? ? cot? cot( 90? ? ? ? ? tan? sin(90? ? ? ) ? cos? cos(90? ? ? ) ? sin ? tan( 90? ? ? ) ? cot? cot( 90? ? ? ) ? tan?

sin(180? ? ? ) ? ?sin? cos(180? ? ? ) ? ? cos? tan( 180? ? ? ) ? tan? cot( 180? ? ? ) ? cot? sin(180? ? ? ) ? sin ? cos(180? ? ? ) ? ? cos? tan( 180? ? ? ) ? ? tan? cot( 180? ? ? ) ? ? cot?

sin(270? ? ? ) ? ? cos? cos(270? ? ? ) ? sin ? t an(270? ? ? ) ? ? cot? cot (270? ? ? ) ? ? t an? sin(270? ? ? ) ? ? cos? cos(270? ? ? ) ? ? sin s? t an(270? ? ? ) ? cot? cot (270? ? ? ) ? t an?
6、两角和与差的正弦、余弦、正切: S(? ?? ) : sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

sin(360? ? ? ) ? sin ? cos(360? ? ? ) ? cos? tan( 360? ? ? ) ? tan? cot( 360? ? ? ) ? cot? sin(360? ? ? ) ? ? sin ? cos(360? ? ? ) ? cos? tan( 360? ? ? ) ? ? tan? cot( 360? ? ? ) ? ? cot?

S(? ?? ) : sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

C(? ?? ) : cos(a ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? C(? ?? ) : cos(a ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
T(? ?? ) :
t an( ? ? ?) ? t an? ? t an ? 1 ? t an? t an ?

T(? ? ? ) :

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

tan ? +tan ? = tan( ? + ? )( 1 ? tan?tan? ) 7、辅助角公式: a sin x ? b cos x ? a2 ? b2 ? ?

tan ? -tan ? = tan( ? - ? )( 1 ? tan?tan? )

?

? a b ? sin x ? cos x ? 2 2 a2 ? b2 ? a ?b ?
10

? a2 ? b2 (sin x ? cos? ? cos x ? sin ?) ? a2 ? b2 ? sin(x ? ?)

8、二倍角公式: (1) 、 S 2? :

sin 2? ? 2 sin ? cos ?

C 2? : cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1
2 tan ? 1 ? tan 2 ? (2) 、降次公式: (多用于研究性质) 1 sin ? cos ? ? sin 2? 2

T2? : tan 2? ?

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 1 1 ? ? cos 2? ? 2 2 2

cos 2 ? ?

1 ? cos 2? 1 1 ? cos 2? ? 2 2 2

9、在 y ? sin ? , y ? cos? , y ? tan? , y ? cot? 四个三角函数中只有 y ? cos ? 是偶函数,其它三个是
寄函数。 (指数函数、对数函数是非寄非偶函数)

10、在三角函数中求最值(最大值、最小值) ;求最小正周期;求单调性(单调第增区间、单调第减区
间) ;求对称轴;求对称中心点都要将原函数化成标准型;

如:

y ? A sin(?x ? ? ) ? b y ? A cos(?x ? ? ) ? b y ? A tan( ?x ? ? ) ? b y ? A cot( ?x ? ? ) ? b

再求解。

11、三角函数的图象与性质: 函数 图象 y=sinx y=cosx y=tanx

定 义 域 值域 奇 偶 性 周 期 性

R

R

{x | x ? k? ?

?
2

, k ? Z}

[ ?1,1]
奇函数

[ ?1,1]
偶函数

R
奇函数

2?

2?

?

11

在 [2k? ? 单调 性

?

2 上是增函数 在 2 上是减函数
当 x?

, 2 k? ?

?
2

] (k ? Z )

在 [2k? ? ? ,2k? ] (k ? Z ) 上是增函数 在 [2k? , 2k? ? ? ] (k ? Z ) 上是减函数


( k? ?

?
2

, k? ?

?
2

) (k ? Z )

上是增函数

[2k? ?

?

, 2 k? ?

3? ] (k ? Z ) 2
时 , 当
x ? 2k? , k ? Z

?
2

? 2k? , k ? Z

时 , 无

ymax ? 1
最值 当 x??

ymax ? 1
当 x ? (2k ? 1)? , k ? Z 时,

?
2

? 2k? , k ? Z 时 ,

ymin ? ?1

ymin ? ?1
对称中心 (k? ,0) , k ? Z 对称 性 对称轴: x ? k? ? 对 称 中 心 (k? ?

?
2

,0) , 对称中心 (k? ,0) ,k ? Z
对称轴:无

?
2

(k ? Z )

k ?Z
对称轴: x ? k? (k ? Z )

12.函数 y ? A sin ??x ? ? ? 的图象: (1)用“图象变换法”作图 由函数 y ? sin x 的图象通过变换得到 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象,有两种主要途径: “先平移后伸 缩”与“先伸缩后平移” 。 法一:先平移后伸缩
(? ?0) 或向右 (? ?0) y ? sin x ?向左 ?????? ?? y ? sin( x ? ? ) 平移|? |个单位
A倍 ?纵坐标变为原来的 ?????? ?? y ? A sin(?x ? ? ) 横坐标不变

(? ?0) 或向右 (? ?0) y ? sin x ?向左 ?????? ?? y ? sin( x ? ? ) 平移|? |个单位


? ????????? y ? sin (? x ? ?)
纵坐标不变

1 横坐标变为原来的 倍

法二:先伸缩后平移
(? ?0) 或向右 (? ?0) ??? y ?sin x ? ?????? y ? sin ?x ?向左 ?????? ?? y ? sin(?x ? ? )
纵坐标不变 1 横坐标变为原来的 倍

??????? ?? y ? A sin(?x ? ? )
纵坐标变为原来的A倍 横坐标不变

平移|? |个单位

?

当函数 y ? A sin(?x ? ? ) (A>0, ? ? 0 , x ?[0, ? ?) )表示一个振动量时,A 就表示这个量 振动时离开平衡位置的最大距离, 通常把它叫做这个振动的振幅; 往复振动一次所需要的时间 T ?

2?

?



12

它叫做振动的周期;单位时间内往复振动的次数 f ?

? 叫做初相(即当 x=0 时的相位) 。
二、平面向量 1、平面向量的概念:

1 2? ? ,它叫做振动的频率;?x ? ? 叫做相位, T ?

?1? 在平面内,具有大小和方向的量称为平面向量.
有向线段的长度表示向量的大小, 箭头所指的方向表示向量的方向. ? 2 ? 向量可用一条有向线段来表示. ,记作 ?? . ? 3? 向量 ?? 的大小称为向量的模(或长度)

? 4 ? 模(或长度)为 0 的向量称为零向量;模为1 的向量称为单位向量. ? 5? 与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量,记作 ? a . ? 6 ? 方向相同且模相等的向量称为相等向量.
2、实数与向量的积的运算律:设λ 、μ 为实数,那么 ? ? ? ? ? (1) 结合律:λ (μ a )=(λ μ ) a ;(2)第一分配律:(λ +μ ) a =λ a +μ a ; (3)第二分配律:λ ( a ? b )=λ a +λ b .

? ? ? ? ? ? 3、向量的数量积的运算律:(1) a · b = b · a (交换律); ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)( ? a ) · b = ? ( a · b )= ? a · b = a · ( b ? );(3)( a ? b ) ·c = ?
?

?

? ? ? ? a ·c +b ·c .

4、平面向量基本定理: ? ? 如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数 λ 1、λ 2,使得 a =λ 1 e1 +λ 2 e2 . 不共线的向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 5、坐标运算: (1)设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ? ,则 a ? b ? ?x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ? 数与向量的积:λ a ? ? ?x1 , y1 ? ? ??x1 , ?y1 ? ,数量积: a? b ? x1 x2 ? y1 y 2 (2) 、设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,则 AB ? ?x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ? .(终点减起点) 6、平面两点间的距离公式: (1) d A, B = | AB |? (2)向量 a 的模| a |: | a | 2 ? a ? a ? x ? y ;
2 2
? ? ? ?
? ?
? ?

?

?

?

?

AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2
? ? ? ?

(3) 、平面向量的数量积: a? b ? a ? b cos? , 注意: 0 ? a ? 0 , 0 ? a ? 0 , a ? (?a) ? 0 (4) 、向量 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ? 的夹角 ? ,则,cos ? ? ( a ? ? x1 , y1 ?, b ? ? x 2 , y 2 ? )
? ?
? ?

? ?

?

?

?

?

x1 x2 ? y1 y2
? ?

x ? y12 x2 2 ? y2 2
2 1

7、重要结论: (1) 、两个向量平行: a// b ? a ? ? b (? ? R) , a// b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 (2) 、两个非零向量垂直

?

?

?

?

a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0
x ? x2 ? x? 1 ? ? 2 ? y ? y ? 1 ? y2 ? ? 2

(3) 、P 分有向线段 P 1P 2 的:设 P(x,y) ,P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,且 P 1P ? ? PP 2 ,

x ? ? x2 ? x? 1 ? ? 1? ? ? ? y ? y1 ? ? y2 ? 1? ? ?

13

则定比分点坐标公式

中点坐标公式

三、空间向量
1、空间向量的概念: (空间向量与平面向量相似)

?1? 在空间中,具有大小和方向的量称为空间向量.
有向线段的长度表示向量的大小, 箭头所指的方向表示向量的方向. ? 2 ? 向量可用一条有向线段来表示. ,记作 ?? . ? 3? 向量 ?? 的大小称为向量的模(或长度)

? 4 ? 模(或长度)为 0 的向量称为零向量;模为1 的向量称为单位向量. ? 5? 与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量,记作 ? a . ? 6 ? 方向相同且模相等的向量称为相等向量.
2、实数 ? 与空间向量 a 的乘积 ? a 是一个向量,称为向量的数乘运算.当 ? ? 0 时,? a 与 a 方向相同; 当 ? ? 0 时,? a 与 a 方向相反;当 ? ? 0 时,? a 为零向量,记为 0 .? a 的长度是 a 的长度的 3、设 ? , ? 为实数, a , b 是空间任意两个向量,则数乘运算满足分配律及结合律. 分配律: ? a ? b ? ? a ? ?b ;结合律: ? ? ?a ? ? ? ?? ? a . 4、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向量或平行向量,并规 定零向量与任何向量都共线. 5、向量共线的充要条件:对于空间任意两个向量 a , b b ? 0 , a // b 的充要条件是存在实数 ? ,使

? 倍.

?

?

?

?

a ? ?b .
6、平行于同一个平面的向量称为共面向量. 7 、 向 量 共 面 定 理 : 空 间 一 点 ? 位 于 平 面 ?? C 内 的 充 要 条 件 是 存 在 有 序 实 数 对 x , y , 使

?? ?x ?? ? y ? C;或对空间任一定点 ? ,有 ?????? ??? x ? y C ;或若四点 ? , ? ,? ,C
共面,则 ?? ? x?? ? y?? ? z?C ? x ? y ? z ? 1? . 8、已知两个非零向量 a 和 b ,在空间任取一点 ? ,作 ?? ? a , ?? ? b ,则 ???? 称为向量 a , b 的夹角,记作 ?a, b ? .两个向量夹角的取值范围是: ? a, b ? ? ? 0, ? ? . 9、对于两个非零向量 a 和 b ,若 ? a , b ? ?

?
2

,则向量 a , b 互相垂直,记作 a ? b .

? a ,b ? 称 为 a , b 的 数 量 积 , 记 作 a ?b . 即 10 、 已 知 两 个 非 零 向 量 a 和 b , 则 a b c o s
14

a ? b ? a b cos? a , b ? .零向量与任何向量的数量积为 0 .
11、 a ? b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos? a , b ? 的乘积. 12、若 a , b 为非零向量, e 为单位向量,则有 ?1? e ? a ? a ? e ? a cos?a, e ? ;

? a b a与b同向 2 ? a ? b ? ; ,a ?a ? a , a ? a ?a ; a ? b ? a ? b ? 0 ? 2? ? 3? ? ? a b a与b反向 ? ?

?

?

?

?

? 4 ? cos? a, b ? ?

a ?b a b


? ? ? ?

13、量数乘积的运算律: ?1? a ? b ? b ? a ; ? 2 ? ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;

? 3? ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c .
14、空间向量基本定理:若三个向量 a , b , c 不共面,则对空间任一向量 p ,存在实数组 ?x, y, z? , 使得 p ? xa ? yb ? zc . 15、三个向量 a , b , c 不共面,则所有空间向量组成的集合是

? p p ? xa ? yb ? zc , x, y, z ? R? .这个集合可看作是由向量 a , b , c 生成的,
?a, b , c? 称为空间的一个基底, a , b , c 称为基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空
间的一个基底. 16、设 e1 , e2 , e3 为有公共起点 ? 的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底) ,以 e1 , e2 ,

e3 的公共起点 ? 为原点,分别以 e1 , e2 , e3 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐
标系 ?xyz .则对于空间任意一个向量 p ,一定可以把它平移,使它的起点与原点 ? 重合,得到向 量 ?? ? p .存在有序实数组 ?x, y, z? ,使得 p ? xe1 ? ye2 ? ze3 .把 x , y , z 称作向量 p 在单位 正交基底 e1 , e2 , e3 下的坐标,记作 p ? ? x, y, z ? .此时,向量 p 的坐标是点 ? 在空间直角坐标系

?xyz 中的坐标 ? x, y, z ? .
17、设 a ? ? x1 , y1 , z1 ? , b ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则 ?1? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? .

? 2 ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? .
15

? 3? ?a ? ?? x1, ? y1, ? z1 ? . ? 4 ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 . ? 5? 若 a 、 b 为非零向量,则 a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0 . ? 6 ? 若 b ? 0 ,则 a // b ? a ? ?b ? x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , z1 ? ? z2 .
?7?
a ? a ? a ? x12 ? y12 ? z12 .

?8? cos? a, b ? ?

a ?b a b

?

x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2
2 2 2 x ? y12 ? z12 ? x2 ? y2 ? z2 2 1



? 9 ? ? ? x1, y1, z1 ? , ? ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则 d?? ? ?? ? ? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ?
2 2

2



18、若空间不重合两条直线 a , b 的方向向量分别为 a , b ,则 a // b ? a // b ?

a ? ?b ? ? ? R ? ,异面垂直时 a ? b ? a ? b ? a ? b ? 0 .
19、若空间不重合的两个平面 ? , ? 的法向量分别为 a , b ,则 ? // ? ? a // b ?

a ? ?b , ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 .
20、直线 l 垂直 ? ,取直线 l 的方向向量 a ,则向量 a 称为平面 ? 的法向量. 21、法向量的定义:垂直于平面或者垂直于线的向量(方向不管) 。 22、若直线 a 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 n ,且 a ? ? ,则 a // ? ? a // ? ? a ? n ? a ? n ? 0 , a ? ? ? a ? ? ? a // n ? a ? ? n . ★法向量的计算

? ? 方法一: 已知 AB ? ( x1 , y1 , z1 ),AC ? ( x2 , y2 , z2 ) ,设面平 ABC 的一个法

? ? ? ? ? ? 向量为 n ? ( x, y, z ) ,由 n ⊥面 ABC 得所以: n ? AB, n ? AC ;
所以 即
? ? n ? AB ? 0 ? ? n ? AC ? 0

xx1 ? yy1 ? zz1 ? 0 xx2 ? yy2 ? zz 2 ? 0

上面两个方程,要解三个未知数,为了计算方便,取 z(或 x 或 y)等于一 个数,可求出另两个未知数,得出平面的一个法向量。 ? ? 方法二:若 AB ? ( x1 , y1 , z1 ),AC ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则平面 ABC 的一个法向量
16

为:

? ? ? n ? AB ? AC ?

y1 ( y2

z1

z1 x1

x1

y1 ) y2

z2 ,z2

x2 ,x2

=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)

立体几何中的向量方法
------距离问题 一、求点到平面的距离 1. (一般)传统方法: 利用定义先作出过这个点到平面的垂线段, 再计算这个垂线段的长度; 2.还可以用等积法求距离; 3.向量法求点到平面的距离. 在 Rt ?PAO 中,

?P

?

O

?P

sin ? ?

d | AP |

? d ?| AP | sin ?
?
A

d
?
O

n

又 sin ? ?

| AP ? n | | AP || n |
(其中 AP 为斜向量, n 为法向量)
?
A

l

?P

?d ?

| AP ? n | |n|

d
?
O

n

二、直线到平面的距离 转化为点到线的距离:

d?

| AP ? n | |n|

(其中 AP 为斜向量, n 为法向量)
?

?P

d
A
O

三、平面到平面的距离 也是转化为点到线的距离:

n

?

d?

| AP ? n | |n|

(其中 AP 为斜向量, n 为法向量)

a

P ?

四、异面直线的距离 如图,异面直线也是转化为点到线的距离:

d
b

n

d?

| AP ? n | |n|

?

A

(其中 AP 为两条异面直线上各取一点组成的向量, n 是与 a, b 都垂直的向量) 例 1.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,棱长为 1, E 为 C1 D1 的中点,求下列问题: (1) 求 B1 到面 A1 BE 的距离;
17

解:如图,建立空间直角坐标系 D ? xyz ,则

1 ? A1 E ? (?1, ,0), A1 B ? (0,1,?1), ,设 n ? ( x, y, z) 为面 A1 BE 的法向量 2

1 ? ? ?n ? A1 E ? 0 ?? x ? y ? 0 则? ?? 2 ? n ? A B ? 0 ? 1 ? ?y ? z ? 0
取 x ? 1 ,得 y ? 2, z ? 2 ,? n ? (1,2,2)

z

D1
A1
D

E

C1 B1
C
B

y

A

选点 B1 到面 A1 BE 的斜向量为 A1 B1 ? (0,1,0) 得点 B1 到面 A1 BE 的距离为 d ? (2)求 D1C 到面 A1 BE 的距离;

x

| A1 B1 ? n | |n|

?

2 3
A1

z
D1
E

C1 B1

解:由(1)知平面A1BE的法向量 n ? (1,2,2) 斜向量D1 A1 ? (1,0,0)
?点D1到面A1BE的距离为d ?
(3) 求面 A1 DB 与面 D1CB1 的距离;

D

C

y

A

x

B

| D1 A1 ? n | n

?

1 3
A1

z
D1
E

C1 B1

解 :由图知平面 A1 BD的法向量为n ? AC1 ? (?1,1,1)
A

D

C

y

又斜向量D1 A1 ? (1,0,0)
?点D1到面A1BD的距离为d ? | D1 A1 ? n | n ? 1 3

x

B

即面A1BD与D1CB1的距离为
(4) 求异面直线 D1 B 与 A1 E 的距离.

3 3

z
D1
A1
D

E

解 : 如图建立空间直角坐标 系D ? xyz
1 则D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 1 ? A1 E ? (?1, ,0), D1 B ? (1,1,?1) 2

C1
B1
C
B

y

A

设n ? ( x, y, z)是与A1 E, D1 B 都垂直的向量,则
18

x

? ? y ? 2x ?n ? A1 E ? 0 ,取 x ? 1 ,得一个法向量为 n ? (1,2,3) ?? ? z ? 3x ? ? n ? D B ? 0 1 ?
选 A1 E与BD1 的两点向量 D1 A1 ? (1,0,0) 得 A1 E与BD1 的距离为 d ? 练习 1: 1. 如图在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AC ? BC ? 1 , ?ACB ? 90? ,AA 1 ? 的距离. C1 A1 B1 求点 B1 到面 A1 BC 2,

| D1 A1 ? n | |n|

?

14 14

C A 2.已知棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,求平面 DA1C1 和平面 AB1C 间的距离
D1

B

C1

A1

B1

D A
B

C

3.已知棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,求直线 DA 1 和 AC 间的距离。

D1

C1 B1

A1
D A

C
B

19

4.已知棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别是 B1C1 和 C1 D1 的中点,求点 A1 到平 面 DBEF 的距离。

5.如图在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC ? CA ? 1 , AA 1 ?

2 ,求点 B1 到面 A1 BC 的距离.

6.在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?A ? 90? , O, O1, G 分别为 BC, B1C1, AA1 的中点,且 (1) 求 O1 到面 ACB ( 1 1 的距离; (2) 求 BC 到面 GB1C1 的距离. (
2 ) 2 2 6 ) 3

A B? A C ?

1

AA ? 2.

立体几何中的向量方法
------空间角问题

20

空间的角主要有:异面直线所成的角;直线和平面所成的角;二面角. (1)求异面直线所成的角 设 a 、b 分别为异面直线 a、b 的方向向量,则两异 面直线所成的角 (2)求线面角 设 l 是斜线 l 的方向向量, n 是平面 ? 的法向量, 则斜线 l 与平面 ? 所成的角 ? = arcsin | (3)求二面角 法一、在 ? 内 a ? l ,在 ? 内 b ? l ,其方向如图,则二 面角 ? ? l ? ? 的平面角 ? = arccos
ab | a || b | ln | | l || n |

? = arccos |

ab | | a || b |

法二、设 n1, n2 , 是二面角 ? ? l ? ? 的两个半平面的法 量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二 角 ? ? l ? ? 的平面角 ? = arccos
n1 n2 | n1 || n2 |

向 面

例1. 如图, 在棱长为2的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E、 F 分别是棱 A1D1, A1B1 的 中点. (Ⅰ)求异面直线 DE与FC1 所成的角; (II)求 BC1 和面 EFBD 所成的角; (III)求 B1 到面 EFBD 的距离
21

解: (Ⅰ)记异面直线 DE与FC1 所成的角为 ? , 则 ? 等于向量 DE与FC1 的夹角或其补角,

? cos ? ?| ?| ?|

DE FC1 | DE | | FC1 |

|

( DD1 ? D1 E ) ( FB1 ? B1C1 ) | | DE | | FC1 | ?2 2 2 |? ,?? ? arccos 5 5 5 5

(II)如图建立空间坐标系 D ? xyz , 则 DE ? (1,0,2) , DB ? (2,2,0) 设面 EFBD 的法向量为 n ? ( x, y,1) 得 n ? (?2,2,1) 又 BC1 ? (?2,0,2) 由? ?
? DE ? n ? 0 ? ? DB ? n ? 0

记 BC1 和面 EFBD 所成的角为 ? 则
sin ? ?| cos? BC1, n? |?| BC1 ? n 2 |? 2 | BC1 || n |

∴ BC1 和面 EFBD 所成的角为 . (III)点 B1 到面 EFBD 的距离d等于 向量 BB1 在面 EFBD 的法向量上的投影的绝对值,
?d ? | BB1 n | 1 ? 3 |n|

? 4

例 2.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 底面ABCD , PD ? DC , 点 E 是 PC 的中点,作 EF ? PB 交 PB 于点 F . (1)求证: PA // 平面EDB ; (2)求证: PB ? 平面EFD (3)求二面角 C ? PB ? D 的大小.

22

P

F
D

E

C
B

A

练习: 1.在正四面体 S ? ABC 中,棱长为 a ,E,F分别为 SA 和 BC 的中点,求异面直线 BE 2 和 SF 所成的角. ( arccos ) 3 2.在边长为1的菱形 ABCD 中, ?ABC ? 60? ,将菱形沿对角线 AC 折起,使
1 BD=1,求二面角 B ? AC ? D 的余弦值. ( ) 3 典型例题:
★★1.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值 为 。 ★★★2.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形,∠ACB= 90 ? ,EA⊥ 平面ABCD, EF∥ AB,FG∥ BC,EG∥ AC.AB=2EF. (Ⅰ )若M是线段AD的中点,求证:GM∥ 平面ABFE; (Ⅱ )若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小.

折起后

★ ★ ★ 3. 如 图 , 在 五 棱 锥 P — ABCDE 中 , PA ? 平 面 ABCDE , AB//CD , AC//ED , AE//BC ,

?ABC ? 45?, AB ? 2 2, BC ? 2 AE ? 4 ,三角形 PAB 是等腰三角形。
(Ⅰ)求证:平面 PCD ? 平面 PAC; (Ⅱ)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥 P—ACDE 的体积。

23

必修五: 一、解三角形: (1)三角形的面积公式: S ? ? (2)正弦定理:

1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A : 2 2 2

a b c ? ? ? 2 R, 边用角表示: a ? 2 R sin A,  b ? 2 R sin B,c ? 2 R sin C sin A sin B sin C
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A
(3) 、余弦定理:

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? (a ? b) 2 ? 2ab(1 ? cocC)

(4)求角:

cos A ?
二. 数列

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2      cos B ?      cosC ? 2bc 2ac 2ab

?a ? S1 (n ? 1) 1、数列的前 n 项和: S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ; 数列前 n 项和与通项的关系: an ? ? 1 ?Sn ? Sn?1 (n ? 2)
2 、等差数列 : (1) 、定义:等差数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数

(an ? an?1 ? d ) ;
(2) 、通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d (其中首项是 a1 ,公差是 d ; )

(3) 、前 n 项和: S n ?

na1 (d ? 0) n(a1 ? a n ) n(n ? 1) (d≠0) ? na1 ? d 2 2
a?b 或 2 A ? a ? b ,三个数成等差常设:a-d,a,a+d 2

A? (4) 、等差中项: A 是 a 与 b 的等差中项:

3、 等比数列: (1) 、 定义: 等比数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ( (q ? 0) 。

an ? q) an?1

(2) 、通项公式: an ? a1q n?1 (其中:首项是 a1 ,公比是 q )

na1 ,( q ? 1) ? ? n (3) 、前 n 项和:S n ? ? a1 ? an q ? a1 (1 ? q ) , ( q ? 1) ? 1? q 1? q ?
G b 2 (4) 、等比中项: G 是 a 与 b 的等比中项: ,? 即 G ? ab (或 G ? ? ab ,等比中项有两个) a G 三:不等式

1、 重要不等式: (1)a, b ? R ? a ? b ? 2ab 号).
2 2



a 2 ? b2 ab ? 2

(当且仅当 a=b 时取“=”

24

2、均值不等式: (2) a, b ? R ? ? (当且仅当 a=b 时取“=”号). 一正、二定、三相等

a?b ? ab 2

或 ab ? (

a?b 2 ) 2

注意:解指数、对数不等式的方法:同底法,同时对数的真数大于 0;

25


搜索更多“2015年高中数学学业水平考试知识点大全(必修1-5)”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com