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【精品学习】九年级数学上册24.2.2直线和圆的位置关系2教案新版新人教版


学习永无止境+小初高

24.2.2
一、教学目标

直线和圆的位置关系(2)

1.判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理. 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. 二、课时安排 1 课时 三、教学重点 理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理. 四、教学难点 能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. 五、教学过程 (一)导入新课 右图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系?

砂轮上打磨工件时飞出的火星
(二)讲授新课 小组合作 探究 1: 切线的判定定理 问题:已知圆 O 上一点 A,怎样根据圆的切线定义过点 A 作圆 O 的切线? 观察: (1) 圆心 O 到直线 AB 的距离 和圆的半径有什么数量关系? (2)二者位置有什么关系?为什么?

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归纳: 切线的判定定理——经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 判一判: 下列各直线是不是圆的切线?如果不是,请说明为什么?

判断一条直线是一个圆的切线有三个方法: 1.定义法:直线和圆只有一个公共点时,我们说这条直线是圆的切线; 2.数量关系法:圆心到这条直线的距离等于半径(即 d=r)时,直线与圆相切; 3.判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 探究 2:切线的性质定理 思考:如图,如果直线 l 是⊙O 的切线,点 A 为切点,那么 OA 与 l 垂直吗?

O A
切线性质:圆的切线垂直于经过切点的半径. 探究 3:性质定理的证明 证法 1:反证法 小亮的理由是:直径 AB 与直线 CD 要么垂直,要么不垂直。

l

(1)假设 AB 与 CD 不垂直,过点 O 作一条直径垂直于 CD,垂足为 M,

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学习永无止境+小初高 (2)则 OM<OA,即圆心到直线 CD 的距离小于⊙O 的半径,因此,CD 与⊙O 相交.这与已知 条件“直线与⊙O 相切”相矛盾. (3)所以 AB 与 CD 垂直.

证法 2:构造法 作出小⊙O 的同心圆大⊙O,CD 切小⊙O 于点 A,且 A 点为 CD 的中点,连接 OA,根据垂径 定理,则 CD ⊥OA, 即圆的切线垂直于经过切点的半径.

(三)重难点精讲 例 1 已知:直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB.求证:直线 AB 是⊙O 的切

线. 分析:由于 AB 过⊙O 上的点 C,所以连接 OC,只要证明 AB⊥OC 即可. 证明:连接 OC(如图). ∵ OA=OB,CA=CB, ∴ OC 是等腰三角形 OAB 底边 AB 上的中线. ∴ AB⊥OC. ∵ OC 是⊙O 的半径,

∴ AB 是⊙O 的切线. 学习永无止境+小初高

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例 2 如图,△ABC 中,AB =AC ,O 是 BC 中点,⊙O 与 AB 相切于 E.求证:AC 是⊙O 的切线.

分析:根据切线的判定定理,要证明 AC 是⊙O 的切线,只要证明由点 O 向 AC 所作的垂 线段 OF 是⊙O 的半径就可以了,而 OE 是⊙O 的半径,因此只需要证明 OF=OE.

证明:连接 OE ,OA, 过 O 作 OF ⊥AC. ∵⊙O 与 AB 相切于 E , ∴OE ⊥ AB.

又∵△ABC 中,AB =AC ,

O 是 BC 中点.
∴AO 平分∠BAC, 又 OE ⊥AB ,OF⊥AC. ∴OE =OF. ∵OE 是⊙O 半径,OF =OE,OF ⊥ AC. ∴AC 是⊙O 的切线. 归纳: 证切线时辅助线的添加方法: 学习永无止境+小初高

学习永无止境+小初高 (1) 有交点,连半径,证垂直; (2) 无交点,作垂直,证半径. 有切线时常用辅助线添加方法 (1) 见切点,连半径,得垂直. 切线的其它重要结论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. (四)归纳小结 1. 切线的判定方法 2. 证切线时常用辅助线添加方法: ①有公共点,连半径,证垂直; ②无公共点,作垂直,证半径. 3. 切线的性质 (五)随堂检测 1.判断下列命题是否正确. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 经过半径外端的直线是圆的切线.( ) 垂直于半径的直线是圆的切线. ( ) 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. ( ) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. ( ) 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. ( )

2. 2. 如图所示, A 是⊙O 上一点,且 AO=5,PO=13,AP=12, 则 PA 与⊙O 的位置关系 是 .

3.如图,在⊙O 的内接四边形 ABCD 中,AB 是直径,∠BCD=120°,过 D 点的切线 PD 与 直线 AB 交于点 P,则∠ADP 的度数为( A.40° B.35° ) D.45°

C.30°

4.如图,△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 交边 BC 于 P, PE⊥AC 于 E.

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学习永无止境+小初高 求证:PE 是⊙O 的切线.

5.已知:△ABC 内接于⊙O,过点 A 作直线 EF. (1)如图 1,AB 为直径,要使 EF 为⊙O 的切线,还需添加的条件是(只需写出两种情 况) : ① _________ ;② _____________ . (2)如图 2,AB 是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证:EF 是⊙O 的切线.

F A E
【答案】 1. ××√√√ 2.相切 3.C 4. 证明:连接 OP. ∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵OB=OP,∴∠B=∠OPB, ∴∠OBP=∠C. ∴OP∥AC. ∵PE⊥AC, ∴PE⊥OP. 学习永无止境+小初高

F O C
图1

B A E

O
图2

C

B

学习永无止境+小初高 ∴PE 为⊙O 的切线. 5. 证明:连接 AO 并延长交⊙O 于 D,连接 CD,则 AD 为⊙O 的直径. ∴ ∠D+ ∠DAC=90 °, ∵ ∠D 与∠B 同对 AC , ∴ ∠D= ∠B, 又∵ ∠CAE= ∠B, ∴ ∠D= ∠CAE, ∴ ∠DAC+ ∠EAC=90°, ∴EF 是⊙O 的切线. 六.板书设计 24.2.2 1. 切线的判定方法 2. 证切线时常用辅助线添加方法: ①有公共点,连半径,证垂直; ②无公共点,作垂直,证半径. 3. 切线的性质 例题:1 例题 2: 学生板书 直线和圆的位置关系(2)

七、作业布置 课本 P98 练习 1、2 练习册相关练习 八、教学反思

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