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河北省唐山市开滦二中2014—2015学年度高二12月月考数学文试题Word版含答案


开滦二中 2014~2015 学年高二年级第一学期 12 月考试

数学试卷(文)

说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 页至第 2 页,

第Ⅱ卷第 3 页至第 6 页。考试时间为 120 分钟,满分为 150 分。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)

一、选择题:(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 本大题共 12 小题, 每小题 5 分,共 60 分.)

1.椭圆 x2 ? y2 ? 1的焦距为 (

)

16 9

A.10

B.5

C. 7

D. 2 7

2.下列各组直线中,互相垂直的一组是

()

A. 2x ? 3y ? 5 ? 0 与 4x ? 6 y ? 5 ? 0 B. 2x ? 3y ? 5 ? 0 与 4x ? 6 y ? 5 ? 0

C. 2x ? 3y ? 6 ? 0 与 3x ? 2 y ? 6 ? 0 D. 2x ? 3y ? 6 ? 0 与 2x ? 3y ? 6 ? 0

3.如图,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1

的正方形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧.面.积.为

?
(A)
4

(B) 5 ? 4

()

(C) ?

(D) 3 ? 2

正视图

侧视图

4.已知直线 l 、 m 、 n 与平面? 、 ? ,给出下列四个命题

俯视图

①若m∥ l ,n∥ l ,则m∥n

③若 m∥? ,n∥? ,则 m∥n

其中正.确.命.题.的.个.数.是

(A) 4

(B)3

②若m⊥? ,m∥?, 则? ⊥?

④若 m⊥? ,? ⊥? ,则 m∥? 或 m ? ?

(

)

(C)2

(D)1

5.两圆 x2 ? y2 ? 9 和 x2 ? y2 ? 8x ? 6 y ? 9 ? 0 的位置关系是 (

)

(A) .外切

(B) 内切

(C) 相交

(D) 外离

6、双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1的焦点到它的渐近线的距离为

()

A. e

B. c

C. a

D. b

7、与两点 ??3, 0?,?3, 0? 距离的平方和等于 38 的点的轨迹方程是 ( )

( A) x 2 ? y 2 ? 10 (B) x 2 ? y 2 ? 10 (C) x 2 ? y 2 ? 38 (D) x 2 ? y 2 ? 38

8.若 a、b 是异面直线,b、c 是异面直线,则 a、c 的位置关系是(

A.相交、平行或异面

B.相交和平行

C.异面

D.平行或异面

9、圆 x2 ? y2 ? 2x ? 3 与直线 y ? ax ? 1 的交点的个数是



A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.随 a 值变化而变化

) )

10、正四棱锥V ? ABCD 的侧棱长与底面边长相等,E 是 VA 中点,O 是底面中心,

则异面直线 EO 与 BC 所成的角是

()

A. 30?

B. 45?

C. 60?

D. 90?

11.双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a >0,b >0)的两个焦点分别为 F1、F2 , 以 F1F2 为边作正 ?MF1F2 ,

若双曲线恰好平分该三角形的另两边,则双曲线的离心率为(



(A) 2 ?1

(B) 3 ?1

(C) 5

(D) 3

12.如图所示是水平放置的三角形的直观图, AB 与 y 轴平 行, AB ? OA , 则三角形 AOB 是 ( )
A 等边三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 等腰直角三角形

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)

二、填空题:(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的横线上)

13、椭圆 x2 ? y2 ? 1 上一点 M 到一个焦点的距离是 5,则它到另一个焦点的距离是 36 16

14. 已知 A?1, ?5?, B(?3, 0) ,则点 A 关于点 B 对称点的坐标

15.

椭圆 x2 ? 100

y2 64

? 1 的两焦点为 F1,

F2 , P 是椭圆上一点,满足 ?F1PF2 ? 60? ,则三

角形 F1PF2 的面积 16、圆 x2 ? y2 ?10x ?10 y ? 0 和圆 x2 ? y2 ? 6x ? 2 y ? 40 ? 0 的公共弦长是
三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分)
17.(满分 10 分)已知圆 C 的半径为 10 ,圆心在直线 y ? 2x 上,且被直线 x ? y ? 0 截得
的弦长为 4 2 ,求圆 C 的标准方程。

18.(满分 12 分)

如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 为棱 AD、AB 的中点

(Ⅰ)求证:EF∥平面 CB1D1;

(Ⅱ)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.

D1

A1

C1 B1

ED

A

F

C B

19.(满分

12

分)椭圆

C

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

? b ? 0? 的焦点分别为 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,且经过

定点 P(1, 2 ) (1)求椭圆 C 的方程; 2

(2)设直线 y ? 2 (x ? 1) 交椭圆 C 于 A, B 两点,求线段 AB 的长. 2
20.(满分 12 分)已知圆 C : x2 ? y2 - 4x -14 y ? 45 ? 0, 及点 Q(?2,3) . (1) P(a, a ?1) 在圆上,求直线 PQ 的斜率; (2)若 M 为圆 C 上任一点,求|MQ | 的最大值和最小值; (3)求 y - 3 的最大值和最小值.
x+2

21. (满 分 12 分 )如图, 在三棱 锥
中,PA ? AC ,PC ? BC ,M 为 PB 为 AB 的中点,且 ?AMB 为正三角形. (1)求证: BC ? 平面 PAC ; (2)若 BC ? 4 , PB ? 10 , 求点 B 到平面 DCM 的距离.

P ? ABC 的中点, D

22. ( 满 分 12 分 ) 已 知 双 曲 线

C:

x2 a2

?

y2 b2

?1 ( a >0, b

>0)的渐

? ? y ? ? 2x ,且过点 ? 2, 2 。

(1)求双曲线 C 的标准方程;

(2)斜率为 k 且过点 P(1, 2) 的直线 l 与

两个公共点,求 k 的取值范围;

(3)在(2)的条件下,试判断以 Q(1,1)

是否存在?若存在,求出其所在直线的 存在,说明理由。

近线方程为
双曲线 C 有 为中点的弦 方程;若不

开滦二中 2014-2015 学年第一学期高二年级 12 月月考考试 数学试题(文科)答案
一、选择 DCCBCD BACCBC

二、填空题:13.7 14. ??7,5?

64 3 15. 3

16 . 4 10

三、解答题
17.解:因为所求圆的圆心 C 在直线 y ? 2x 上,所以设圆心为 C ?a, 2a? , 所以可设圆的方程为 ? x ? a?2 ? ? y ? 2a?2 ? 10 , -----------(3 分)
因为圆被直线 x ? y ? 0 截得的弦长为 4 2 ,则圆心 C ?a, 2a? 到直线 x ? y ? 0 的距离

2

d?

a ? 2a ?
12 ? ??1?2

10

?

? ???

4

2 2

? ???

,即 d ?

a ?
2

2 ,解得 a ? ?2 .---------(8 分)

所以圆的方程为 ? x ? 2?2 ? ? y ? 4?2 ? 10 或 ? x ? 2?2 ? ? y ? 4?2 ? 10 . ---------(10 分)

18. (本小题满分 12 分)
解:(Ⅰ)证明:连结 BD.

D1 A1

C1 B1

在正方体 AC1中,对角线 BD // B1D1 .

又因为 E、F 为棱 AD、AB 的中点,

所以 EF // BD . 所以 EF // B1D1

-----------------4 分

ED

A

F

又 B1D1 ? 平面 CB1D1 , EF ? 平面 CB1D1 ,

C B

所以 EF∥平面 CB1D1.

---------------------6 分

(Ⅱ)因为在长方体 AC1 中,AA1⊥平面 A1B1C1D1,而 B1D1 ? 平面 A1B1C1D1,

所以 AA1⊥B1D1. 又因为在正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥B1D1,
所以 B1D1⊥平面 CAA1C1.
又因为 B1D1 ? 平面 CB1D1,
所以平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.

------------------9 分 --------------------10 分 --------------------12 分

19.(1)由椭圆定义得 PF1 ? PF2 ? 2a ,

即 2a ? (?1 ?1)2 ? (0 ? 2 )2 ? (1 ?1)2 ? (0 ? 2 )2 ? 2 2 ,

2

2

∴ a ? 2 ,又 c ? 1, ∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? 1.

……4 分

故椭圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1. 2

?x2

(2)联立方程组

?? ?

2

?

y2

?1

,

? ??

y

?

2 (x ? 1) 2

消去 y 得, 2x 2 ? 2x ?1 ? 0 且 Δ ? 22 ? 4 ? 2 ? (?1) ? 0 ,

……5 分 ……8 分

设 A( x1, y1 ),B( x2, y2 ),

由韦达定理可知 x1

?

x2

?

?1, x1x2

?

?1 2



……10 分

由弦长公式可得 AB ?

1? 1 2

(x1 ? x2 )2

? 4x1x2

?

32 2



……12 分

20.解:(1)∵ 点 P(a,a+1)在圆上,

∴ a 2 ? (a ? 1)2 ? 4a ?14(a ? 1) ? 45 ? 0 , ∴ a ? 4 , P(4,5),

∴ KPQ= 3 ? 5 ? 1 , --------------------------------------------3 分
?2?4 3

(2)∵ 圆心坐标 C 为(2,7), r ? 2 2

∴ | QC |? (2 ? 2)2 ? (7 ? 3)2 ? 4 2 ,-----------------------6 分

∴ | MQ |max ? 4 2 ? 2 2 ? 6 2 ,-------------------------------7 分 | MQ | min ? 4 2 ? 2 2 ? 2 2 。----------------------------------------8 分

(3)设点(-2,3)的直线 l 的方程为: y ? 3 ? k(x ? 2),即kx ? y ? 2k ? 3 ? 0 ,

易知直线 l 与圆方程相切时,k 有最值,

∴ | ?2k ? 7 ? 2k ? 3 | ? 2 2 , 1? k2

∴ k ? ?2 ? 3

∴ k ? y ? 3 的最大值为 ? 2 ? 3 ,最小值为 ? 2 ? 3 .------12 分
x?2
21.(1)证明:在正 ?AMB 中, D 是 AB 的中点,所以 MD ? AB . 因为 M 是 PB 的中点, D 是 AB 的中点,所以 MD // PA ,故 PA ? AB . 又 PA ? AC , AB AC ? A , AB 、 AC ? 平面 ABC , 所以 PA ? 平面 ABC .-------------------------4 分 因为 BC ? 平面 ABC ,所以 PA ? BC , 又 PC ? BC , PA PC ? P , PA 、 PC ? 平面 PAC , 所以 BC ? 平面 PAC ;-------------------------6 分

(2)解法 1:设点 B 到平面 DCM 的距离为 h ,

因为 PB ? 10 , M 是 PB 的中点,所以 MB ? 5 ,

因为 ?AMB 为正三角形,所以 AB ? MB ? 5 ,

因为 BC ? 4 , BC ? AC ,所以 AC ? 3 ,

所以 S?BCD

?

1 2

S?ABC

?

1? 2

1 ? BC ? 2

AC

?

1? 2

1 ?4?3? 2

3,

因为 MD ? 52 ? ?? 5 ??2 ? 5 3 , ?2? 2

由(1)知 MD // PA ,所以 MD ? DC ,

在 ?ABC 中, CD ? 1 AB ? 5 ,

2

2

所以 S ?MCD

?

1 ? MD ? CD 2

?

1? 2

53 2

?

5 2

?

25 8

3

.-----------9



因为VM ?BCD

?

VB?

MCD

,所以

1 3

S

?BCD

? MD

?

1 3 S ?MCD

?h,

即 1 ? 3? 5 3 ? 1 ? 25 3 ? h ,所以 h ? 12 .

3

238

5

故点 B 到平面 DCM 的距离为 12 .------------------12 分 5

解法 2:过点 B 作直线 CD 的垂线,交 CD 于点 H ,

由(1)知, PA ? 平面 ABC , MD // PA ,

所以 MD ? 平面 ABC .

因为 BH ? 平面 ABC ,所以 MD ? BH .

因为 CD MD ? D ,所以 BH ? 平面 DCM .

所以 BH 为点 B 到平面 DCM 的距离.----------------9 分

求出 BH ? 12 .故点 B 到平面 DCM 的距离为 12 .-------------12 分

5

5

22.解:解:(1) x2 ? y2 ? 1----------------------------3 分 2

(2)直线 l 的方程为 y ? 2 ? k(x ?1) ,即 y ? kx ? 2 ? k.



?y ? ??2x 2

kx ? ? y2

2 ? k, ? 2.



(k

2

? 2)x 2 ? 2(k 2 ? 2k)x ? k 2

? 4k ? 6 ? 0.

----------------5 分

?直线 l 与 C 有两个公共点,

?得

??k 2 ? 2 ? 0,

? ?? ?

?

4(k

2

?

2k )2

?

4(k 2

?

2)(k

2

?

4k

?

6)

?

0.

解之得: k < 3 且 k ? ? 2. 2
? k 的取值范围是 (??,? 2) ? (? 2, 2) ? ( 2, 3). -----------------------------8 分 2

(3)设以 Q(1,1) 为中点的弦存在,该直线与双曲线交于 M(x1,y1),N(x2,y2)两点

??2 x12

? ??2

x22

? ?

y12 y22

? ?

2 2 得 kMN

?

2 --------------------------------------------------11 分

由(2)可知, k ? 2 时,直线 l 与 C 没有两个公共点,

?设以 Q(1,1) 为中点的弦不存在.

----------------------------12 分


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