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数学奥林匹克高中训练题(48)(精编)


数学奥林匹克高中训练题(48)
第 一 试 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1. 已知 an ? log n ? n ? 1? , 设
1023 n?2

? log

1
an

100

?

q , 其中 p、 q 为正整数, 且 ? p, q ? ? 1 , 则 p?q ? ( p

)

(A)3 (B)1023 (C)2000 (D)2001 2.已知 F1、F2为椭圆 E 的左、右焦点,抛物线 C 的 F1为顶点,F2为焦点,设 P 为椭圆 E 与抛物线 C 的一个交点,如果椭圆 E 的离心率 e 满足 PF1 ? e PF2 ,则 e 的值为 ( )

(A)

2 2

(B) 2 ? 3
6 5

(C)

3 3

(D) 2 ? 2

3.已知复数 z 满足 3 z ? 2iz ? 2 z ? 3i ? 0 ,则 z 的模 (

)

(A)大于1 (B)等于1 (C) 小于1 (D)不能确定 4.在棱长为 a 的正方体内有一个内切球,过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线,该直线 被球面截在球内的线段的长为 ( ) (A)

?

2 ?1 a

?

(B)

2 a 2
n

(C)
2n

a 4

(D)

a 2
)

5.对于任意的整数 n ? n ? 2 ? ,满足 a ? a ? 1, b (A) a ? b ? 1 (B) b ? a ? 1

? b ? 3a 的正数 a 与 b 的大小关系是(

(C) a ? 1, 0 ? b ? 1

(D) b ? 1, 0 ? a ? 1

6.首位数字是1,且恰有两个数字相同的四位数共有( ) (A)216个 (B)252个 (C)324个 (D)432个 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.正四面体的棱长为1,G 是底面△ABC 的重心,点 M 在线段 DG 上,且使得∠AMB=900,则 DM 的长为___________. 2.在△ABC 中,∠C=450,且
2 2

sin A ? sin B ? sin C ? 3 ,则最大内角的度数是_________. cos A ? cos B ? cos C

3.设 F1、F2是双曲线 x ? y ? 4 的两个焦点,P 是双曲线上任意一点,从 F1引∠F1PF2平分线的垂 线,垂足为 M,则点 M 的轨迹方程为____________. 4 .如果△ ABC 是钝角三角形,则 arccos ? sin A ? ? arccos ? sin B ? ? arccos ? sin C ? 的取值范围是 ___________. 5.如果 tan x1 tan x2 ? tan x2000 ? 1 ,那么 sin x1 sin x2 ? sin x2000 的最大值是__________. 6 . 已 知 f ? x? ?

1? x * , 对 于 n ? N 定 义 : f1 ? x ? ? f ? x ? , f n ?1 ? x ? ? f ? ? fn ? x ?? ? .如果 2? x

f13 ? x ? ? f 31 ? x ? ,那么 f16 ? x ? 的解析式是__________.
1

三、解答题(本题满分60分,每小题20分) 1. (本题满分20分)是否存在这样一组正数 a、b、c,使下列三个不等式同时成立?

?a ? b ? c ? d ? ?? a ? b ?? c ? d ? ? ab ? cd ? ?? a ? b ? cd ? ab ? c ? d ?
并证明你的结论.

2. (本题满分20分)设 p ? 0 ,当 p 变化时, CP : y ? 2 px 为一族抛物线,直线 l 过原点且交 CP 于原
2

点和点 AP,又 M 为 x 轴上异于原点的任一点,直线 MAP 交 CP 于点 AP 和 BP. 求证:所有的点 BP 在同一条直线上.

3. (本题满分20分)对于公差为 d ? d ? 0 ? 的等差数列 ?an ? . 求证:数列中不同两项之和仍是这个数列中一项的充要条件是存在整数 m ? ?1 ,使 a1 ? md .

2

第 二 试 一、(本题满分50分)如图,四边形 ABCD 内接于圆,AB、DC 延长线交于 E,AD、BC 延长线交于 F, P 为圆上任一点,PE、PF 分别交圆于 R、S.若对角线 AC 与 BD 相交于 T. 求证: R、T、S 三点共线.

E

B R C T A P D S

F

二、(本题满分50分)设 ? ? cos

?
5

? i sin

?
5

, f ? x ? ? ? x ? ? ? ? x ? ? 3 ?? x ? ? 7 ?? x ? ? 9 ? .

求证: f ? x ? 为一整系数多项式,且 f ? x ? 不能分解成两个至少为一次的整系数多项式之积

3

三、(本题满分50分)设 E ? ?1, 2,3, ? , 200? , G ? ?a1 , a2 , ? , a100 ? ? E ,且 G 具有下列两条性质: (1)对任何 1 ? i ? j ? 100 ,恒有 ai ? a j ? 201 ; (2) a1 ? a2 ? ? ? a100 ? 10080 . 试证明:G 中奇数的个数是 4 的倍数,且 G 中所有数的平方和为定值.

4


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