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【创新设计】2015高考数学(苏教理)一轮配套课件4-6正弦定理和余弦定理_图文


第6讲 正弦定理和余弦定理 知识梳理 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则 正弦定理 余弦定理 内容 a b c a2=b2+c2-2bccos A = = sin A sin B sin C b2=a2+c2-2accos B =2R(R 为△ABC 外 c2=a2+b2-2abcos C 接圆半径) 续表 正弦定理 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c= 2Rsin C; 常见 变形 余弦定理 b2+c2-a2 cos A= 2bc ; a b a2+c2-b2 (2)sin A=2R,sin B=2R,sin C= cos B= 2ac ; c 2R; (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C a2+b2-c2 cos C= 2ab 续表 正弦定理 (1)已知两角和任一边, 解决 求其他两边和一角; 的问 (2)已知两边和其中一边 题 的对角,求另一边和其他 两角 余弦定理 (1)已知三边,求三 个角; (2)已知两边和它们 的夹角,求第三边和 其他两角 2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况 A为锐角 A为钝角或 直角 图形 关系式 a=bsin A 解的个 数 一解 bsin A<a<b 两解 a≥b 一解 a>b 一解 3.三角形中常用的面积公式 1 (1)S=2ah(h 表示边 a 上的高). 1 1 1 (2)S=2bcsin A= 2absin C = 2acsin B . 1 (3)S=2r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径). 辨 析 感 悟 1.三角形中关系的判断 (1)在△ABC 中,sin A>sin B 的充分不必要条件是 A>B.(×) (2)(教材练习改编)在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° ,则 A=60° 或 120° . (√) 2.解三角形 1 (3)(2013· 北京卷改编)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A=3, 5 则 sin B=9. (√) 9 (4)(教材习题改编)在△ABC 中,a=5,c=4,cos A=16,则 b=6. (√) 3.三角形形状的判断 (5)在△ABC中,若sin Asin B<cos Acos B,则此三角形是钝 角三角形. (√) (6)在△ABC中,若b2+c2>a2,则此三角形是锐角三角形. (×) [感悟·提升] 一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的 正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ ABC 中, A >B?a>b?sin A>sin B,如(1). 判断三角形形状的两种途径 一是化边为角;二是化角为 边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 考点一 利用正弦、余弦定理解三角形 【例 1】 (1)(2013· 湖南卷改编)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对 的边长分别为 a,b.若 2asin B= 3b,则角 A 等于______. (2)(2014· 杭州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,c=4 2,B=45° ,则 sin C=________. 解析 (1)在△ABC 中,由正弦定理及已知得 2sin A· sin B= 3sin B, ∵B 为△ABC 的内角,∴sin B≠0. 3 ∴sin A= 2 .又∵△ABC 为锐角三角形, ? π? π ? ? ∴A∈ 0,2 ,∴A= . 3 ? ? 2 (2)由余弦定理,得 b =a +c -2accos B=1+32-8 2× 2 = 2 2 2 25,即 b=5. 2 4 2× 2 Csin B 4 ∴sin C= b = =5. 5 π 4 答案 (1)3 (2)5 规律方法 已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一 的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根 据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 【训练 1】 (1)在△ABC 中,a=2 3,c=2 2,A=60° ,则 C= ________. (2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2 -b2= 3bc,sin C=2 3sin B,则 A=________. 解析 2 3 2 2 (1)由正弦定理,得sin 60° =sin C, 2 解得:sin C= 2 ,又 c<a,所以 C<60° ,所以 C=45° . (2)∵sin C=2 3sin B,由正弦定理,得 c=2 3b, b2+c2-a2 - 3bc+c2 - 3bc+2 3bc 3 ∴cos A= 2bc = = = 2 ,又 A 2bc 2bc 为三角形的内角,∴A=30° . 答案 (1)45° (2)30° 考点二 判断三角形的形状 【例 2】 (2014· 临沂一模)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A, B,C 的对边,且 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状. 解 (1)由 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C, 得 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即 bc=b2+c2-a2, b2+c2-a2 1 ∴cos A= 2bc =2,∴A=60° . (2)∵A+B+C=180° ,∴B+C=180° -60° =120° . 由 sin B+sin C= 3,得 sin B+sin(120° -B)= 3, ∴sin B+sin 120° cos B-cos 120° sin B= 3. 3 3 ∴2sin B+ 2 cos B= 3,即 sin(B+30° )=1. ∵0° <B<120° ,∴30° <B+30° <150° .

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