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安徽省池州市2017届高三数学4月联考试题 文 精品_图文


安徽省池州市 2017 届高三数学 4 月联考试题 文(扫描版)

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文科数学参考答案 题 号 答 案 1 D 2 C 3 C 4 D 5 B 6 A 7 B 8 C 9 A 10 C 11 A 12 B

1.D【解析】略 2.C【解析】略 3.C 【解析】因为 x ? (?

4 4 , 0) , tan x ? ? ,所以 sin x ? , 5 2 3 ? ? 4 cos(? x ? ) ? cos( x ? ) ? ? sin x ? ? . 2 2 5

?

1 4.D 【解析】 0 ? ( 1 ) 5 ? ( 1 )0 ? 1 ,即 0 ? a ? 1 ,同理 b ? 1,而 c ? 0 ,因此 b ? a ? c . 2 2

5.B 【解析】第一次循环,可得 p ? 1? 2 ? 2 ,第二次循环,可得 p ? 2 ? 3 ? 6 , 第三次循环,可得 p ? 6 ? 4 ? 24 ,退出循环体,输出 p ? 24 . 6.A 【解析】该几何体由一个三棱柱和一个正方体拼接而成,故所求几何体的表面积为

S ? 3? 3 ? 4 ? 3 2 ? 4 ? 4 ? 6 ? 105 ? 12 2 ,故选 A.
7. B 【解析】 f ( x) ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 2 cos(2 x ?

) 图象向左平移 t (t ? 0) 个单位得 6 ? ? ? 到 f ( x) ? 2 cos(2 x ? 2t ? ) 为奇函数,所以 2t 最小值 , t ? .选 B. 3 6 6
0 , b2 ? 4 8.C 【解析】 由分层抽样方法知抽样比例为 25 :1 , 故从高一、 高三抽取 40,24 4, 故a?4

?

,

∴直线 l1 : 40 x ? 24 y ? 8 ? 0 ,化简为 5 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,圆心

A(1, ?1) 到直线 l 的距离为

d?

5 ? 3 ?1 5 ?3
2 2

?

3 34 2 ? 3 34 , 所 求 的 半 径 为 R? , 所 求 的 圆 的 方 程 为 34 34

( x - 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ?

18 . 17
? x ? y ? 2≤0 表示的平面区域如图中 ? x ? 2 y ? 3≥0

9.A 【解析】不等式组 ?

直线 x ? 2y ? 3 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 所夹的点 A 的左边部 分,由于目标函数 z ? 2x ? 3y 的最大值是 2,作出直线
2x ? 3y ? 2 见图中虚线,可知点 C 是直线 x ? y ? 2 ? 0 与
? x ? y ? 2≤0 ? 2x ? 3y ? 2 的交点,从而知点 C 是不等式组 ? ax ? y≥4 ? x ? 2 y ? 3≥0 ?

表示的平面区域的最下方的一个点,直线 ax ? y ? 4 过定点 B(4,0) B 又过点 C(4,2) ,故 a ? .

1 2

5

1? ? a1 ?1 ? 6 ? 10. C 【解析】 依题意, 设第一天走了 a1 里路, 则 ? 2 ? ? 378 , 解得 a1 ? 192 , 故 a2 ? 96 , 1 1? 2

a3 ? 48 , a4 ? 24 , a5 ? 12 , a6 ? 6 ;因为

378 ? 7.875 ,故 C 错误,故选 C. 48

11.A 【 解 析 】 易 知 正 三 棱 锥 A ? BCD 中 对 棱 互 相 垂 直 , 则 有 A C ? B D, 因 为

AP CQ ? ? 5 ,所以 PQ / / AC ,而 DP ?PQ ,所以 DP ? AC ,所以 AC ? 平面 ABD , PB QB
又因为该三棱锥是正三棱锥,所以正三棱锥 A ? BCD 的三条侧棱相等且互相垂直,将正三 棱锥 A ? BCD 补成一个正方体,则正方体的体对角线就是其外接球直径,故 2 R ? 3 ,由

正方体的性质可知正方体的体对角线的三分之一即为该正三棱锥的高,所以高为

3 . 3

12. B 【解析】由①得 f ( x ) 在 [4,8] 上单调递增;由得② f ( x ? 8) ? ? f ( x ? 4) ? f ( x) ,故

f ( x) 是 周 期 为 8 的 的 周 期 函 数 , 所 以 c ? f (2017) ? f (252 ? 8 ? 1) ? f (1) , b ? f (11) ? f (3) ; 再 由 ③ 可 知 f ( x) 的 图 像 关 于 直 线 x ? 4 对 称 , 所 以 b ? f (11) ? f (3) ? f (5) , c ? f (1) ? f (7) . 结 合 f ( x) 在 [4,8] 上 单 调 递 增 可 知 , f (5) ? f (6) ? f (7) ,即 b ? a ? c .故选 B.
13. 14.

3 3 3 a ?b ? m 1 【解析】 由 cos ? a, b ?? , 得c 从而解得 m ? 或 m ? ? (舍去) . o s ? ? , 2 3 3 | a || b | 3 2 m ?1 3

1 【解析】开机密码的可能有 (4, A),(4, a),(4, B),(4, b),(5, A),(5, a),(5, B),(5, b), , 12 (6, A), (6, a), (6, B), (6, b), , 共 12 种可能 , 所以小明输入一次密码能够成功登陆的概率是 1 . 12

15. (1, 2) 【解析】椭圆

x2 y 2 2b ? ? 1 的右焦点为 F ? 2,0? ,由条件可得 ? 3, 2 2 16 12 a ?b
2

2 2 2 即 4b ? 3c ,所以 4(c ? a ) ? 3c ,从而得 e ? 4 ,进而解得离心率的取值范围是 (1, 2) .
2 2

16. 2n ? 1 【解析】由题设, 2 ? an an?1 ? 1? ? tn ?1 ? an ? , 即 an an?1 ? 1 ? tSn ,可得

an?1an?2 ? 1 ? tSn?1 两式相减得 an?1 (an?2 ? an ) ? tan?1 ,由于 an?1 ? 0 ,所以 an?2 ? an ? t ,

6

由题设, a1 ? 1,2 ? a1a2 ?1? ? ta1 ,可得 a2 ? t ? 1 ,由 an?2 ? an ? t 知, a3 ? t ? 1. 因为 ?an ? 是等差数列, 所以令 2a2 ? a1 ? a3 , 解得 t ? 4 , 故 an? 2 ? an ? 4 ,由此可得 {a2 n?1} 是首项为 1,公差为 4 的等差数列, a2n?1 ? 4n ? 3 , {a2 n } 是首项为 3,公差为 4 的等差数列

a2n ? 4n ?1 ,所以 an ? 2n ? 1.
17. 【解析】 (Ⅰ)由正弦定理及 a sin A ? c sin C ? (a ? b)sin B 可得 a 2 ? b2 ? c2 ? ab , 又由余弦定理 c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ,得 cos C ?

1 ? ,所以 C ? ; ………………5 分 2 3

(Ⅱ)由正弦定理及 c ? b cos A ? a(4cos A ? cos B) 可得

sin C ? sin B cos A ? 4sin A cos A ? sin A cos B ,从而有 sin B cos A ? 2sin A cos A , ? ? 当 A ? 时, b ? 2 , S△ABC ? 2 3 ,当 A ? 时,有 b ? 2a , a ? 2, b ? 4 .
2 2
S△ABC ? 1 ab sin C ? 2 3 .综上, △ABC 的面积是 2 3 . ……………………………12 分 2

18.【解析】 (Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1,可知

(2a ? 0.020 ? 0.030 ? 0.040) ?10 ? 1 ,故 a ? 0.005 .

……………………………3 分

(Ⅱ) 由频率分布直方图知各小组依次是 [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] , 其中点分别为 55,65,75,85,95, 对应的频率分别为 0.05,0.30,0.40,0.20,0.05 , 故可估计平均分

x ? 55 ? 0.05 ? 65 ? 0.3 ? 75 ? 0.4 ? 85 ? 0.2 ? 95 ? 0.05 ? 74 (分) ………………7 分
(Ⅲ)由频率分布直方图知,晋级成功的频率为 0.20 ? 0.05 ? 0.25 , 故晋级成功的人数为 100 ? 0.25 ? 25 (人) ,故填表如下 晋级成功 男 女 16 9 晋级失败 34 41 75 合计 50 50 100

合计 25 假设“晋级成功”与性别无关, 根据上表数据代入公式可得 K ?
2

100 ? (16 ? 41 ? 34 ? 9)2 ? 2.613 ? 2.072 25 ? 75 ? 50 ? 50 ,

所以有超过 85%的把握认为“晋级成功”与性别有关 ………………………………12 分 19.(I) 【证明】∵已知 ABF-DCE 为三棱柱,且 AF ? 平面 ABCD , ∴ DE / / AF , ED ? 平面 ABCD ; ∵ BD ? 平面 ABCD ,∴ ED ? BD ;

7

又 ABCD 为平行四边形, ?ABC ? 120 ,故 ?BCD ? 60 ,
0

0

又 BC ? 2CD ,故 ?BDC ? 90 ,故 BD ? CD ;
0

∵ ED

CD ? D ,∴ BD ? 平面 ECD ;

∵ EC ? 平面 ECD ,故 BD ? EC ; ………………………………………………………8 分 (II)由 BC ? 2CD 得 AD ? 2 AB ;因为 AB ? 1 ,故 AD ? 2 ,作 BH ? AD 于 H,

AF ? 平面ABCD, ? BH ? 平面ADEF ,又 ?ABC ? 120o ,? BH ? 3 2 ,

1 3 2 3 . ?VB ? ADEF ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 3 2 3


………………………………………………… 12

1 1 20.(I) 【解析】由题意可知动点 P 到点 ( , 0) 的距离与它到直线 x ? ? 的距离相等,显然 2 2
动点 P 的轨迹是抛物线,设其方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,易知 所以动点 P 的轨迹方程为 y 2 ? 2 x .

p 1 ? , 2 2

………………………………………………4 分

( II ) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) , 由 题 意 可 知 直 线 AB 的 方 程 为

y ? k1 ( x ? 2) ,代入抛物线 y 2 ? 2x 中,得 y 2 ?
则 y1 ? y2 ?

2y ?4?0, k1

2 ,y1 y2 ? ?4 . k1

…………………………………………………………6 分

由直线 AC,BD 过点 Q(1,0) ,同理可得 y1 y3 ? y2 y4 ? ?2 , 所以 y3 ? ?

2 2 , y4 ? ? , y1 y2

……………………………………………………………8 分

于是 k2 ?

y4 ? y3 2( y4 ? y3 ) yy 2 1 ?4 ? 2 ? ? ?? 1 2 ?? ? 2k1 , 2 1 1 2 x4 ? x3 y4 ? y3 y4 ? y3 ?( ? ) y1 ? y2 y1 y2 k1
………………………………………………12 分



k2 k ? 2 ,故 2 为定值 2,命题得证 k1 k1

x ?1 x ?1 21.【解析】 (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? e ? x ,则 f ?(x) ?e ?1 ,所以 f ?(1) ? 1 ? 1 ? 0 ,

8

又 f (1) ? 1 ? 1 ? 0 ,所以曲线 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? 0 . ……………………4 分 (Ⅱ)易知 f ?( x) ? ex?1 ? 2ax ? 2 a ? 1, f ??( x) ? e x?1 ? 2a . ……………………………… 5 分 若 f ??( x) ? e x?1 ? 2a ? 0 ,即 a ?

e x ?1 1 ,即 a ? 时, f ?( x) ? ex?1 ? 2ax ? 2a ?1 在 [1, ??) 2 2

ex ? ax2 ? (2 a ? 1) x ? a 在 [1, ??) 上单 上单调递增,所以 f ?( x) ? f ?(1) ? 0 ,于是 f ( x) ? e
调递增,所以 f ( x) ? f (1) ? 0 ,符合题意 故a ? …………………………………………8 分

1 是原不等式成立的充分条件,下证明其必要性. 2 1 当 a ? 时,令 f ??( x) ? e x?1 ? 2a ? 0 ,得 x ? ln(2 a )? 1,所以当 x ? (1,ln(2a) ? 1) 时, 2

f '' ( x) ? ex? 1 ? 2 a ? 0,故 f ?( x ) 在 x ? (1,ln(2a) ? 1) 上单调递减,故 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 ,从
而当 x ? (1,ln(2a) ? 1) 时, f ( x ) 单调递减,故 f ( x) ? f (1) ? 0 ,与题设矛盾,不合题意. 综上, a 的取值范围是 (??, ]

1 2

……………………………………………………12 分

22.【解析】 (Ⅰ)∵ ? ? 4 cos(? ?

?
4

) ? 2 2 cos ? ? 2 2 sin ? ,

∴ ? 2 ? 2 2? cos? ? 2 2? sin ? , ∴圆 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 2x ? 2 2 y ? 0 ,即 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ∴圆心的直角坐标为 ( 2, ? 2) . ……………………………………………………………5 分 (Ⅱ)直线 l 上的点向圆 C 引切线,则切线长为

(

2 2 t ? 2)2 ? ( t ? 2 ? 4 2)2 ? 4 ? t 2 ? 8t ? 48 ? (t ? 4)2 ? 32 ? 4 2 , 2 2
…………………………………… 10

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值为 4 2 .

分 23.【解析】 (Ⅰ)由 | 2 x ? a | ?a ? 6 得, | 2 x ? a |? 6 ? a ,………………………………1 分 ∴ a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a ,即 a ? 3 ? x ? 3 ,∴ a ? 3 ? ?2 ,∴ a ? 1 ………………………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ?| 2 x ? 1| ?1 ,令 ? (n) ? f (n) ? f (?n) , ………………………7 分

9

1 ? ?2 ? 4n, n ? 2 ? 则 1 1 ,∴ ? ( n) 的最小值为 4 , ……………………9 分 ? ? (n) ?| 2n ? 1| ? | 2n ? 1| ?2 ? ?4, ? ? n ? 2 2 ? 1 ? ?2 ? 4n, n ? 2 ?

∴实数 m 的取值范围是 [4, ??) .……………………………………………………………10 分
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