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空间中的垂直关系


空间中的垂直关系
【学习目标】
1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理,并能运用它们进行论证和解决有关 的问题; 2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理,并能运用它们进行推理论证和解决 有关问题; 3、在研究垂直问题时,要善于应用“转化”和“降维”的思想,通过线线、线面、面面平行 与垂直关系的转化,从而使问题获得解决.

【命题走向】
近年来,立体几何高考命题形式比较稳定,题目难易适中,常常立足于棱柱、棱锥和正 方体,复习是要以多面体为依托,始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质 和判定作为考察重点.在难度上也始终以中等偏难为主,在新课标教材中将立体几何要求进行 了降低,重点在对图形及几何体的认识上,实现平面到空间的转化,示知识深化和拓展的重 点,因而在这部分知识点上命题,将是重中之重.

【要点精讲】
1.线线垂直 判断线线垂直的方法:所成的角是直角,两直线垂直;垂直于平行线中的一条,必垂直 于另一条. 三垂线定理: 在平面内的一条直线, 如果它和这个平面的一条斜线的射影 垂直,那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜 线垂直,那麽它也和这条斜线的射影垂直
O A

P

PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? ? A ? ? a ? AO . a ? ? , a ? AP ? ?

?

a

注意:⑴三垂线指 PA,PO,AO 都垂直 α 内的直线 a 其实质是:斜线和平面内一条直线 垂直的判定和性质定理⑵要考虑 a 的位置,并注意两定理交替使用. 2.线面垂直 定义:如果一条直线 l 和一个平面α 相交,并且和平面α 内的任意一条直线都垂直,我们 就说直线 l 和平面α 互相垂直其中直线 l 叫做平面的垂线,平面α 叫做直线 l 的垂面,直线与平 面的交点叫做垂足.直线 l 与平面α 垂直记作:l⊥α. 直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么 这条直线垂直于这个平面. 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 3.面面垂直
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两个平面垂直的定义:相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面. 两平面垂直的判定定理:(线面垂直 ? 面面垂直)
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 两平面垂直的性质定理: (面面垂直 ? 线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面 内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面. 一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直
判定 ??? ? ??? ? ??? 线面垂直 ??? 面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面 ? ? 性质 性质 判定

推出后面是判定定理,而从后面推出前面是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证 明问题.

【典例解析】
题型 1:线线垂直问题 例1 如图1所示,ABCD 为正方形, SA ⊥平面 ABCD,过 A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB,SC,SD 于 E,F,G .求证: AE ? SB , AG ? SD .

题型 2:线面垂直问题 例2 如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD, 作 BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥BE 于H.求证:AH⊥平面 BCD.

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题型 3:面面垂直问题 例3 如图3, AB 是圆O的直径,C是圆周上一点, PA ? 平面 ABC.若 AE⊥PC ,E 为垂足,F是 PB 上任意一点,求证:平面 AEF⊥平面 PBC.

【思维总结】
1.通过典型问题掌握基本解题方法,高考中立体几何解答题 本题型是: (Ⅰ)证明空间线面平行或垂直; (Ⅱ)求空间中线面的夹角或距离; (Ⅲ)求几何体的侧面积及体积. 证明空间线面平行或垂直需注意以下几点: ①由已知想性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合寻找证题思路. ②立体几何论证题的解答中,利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常 用方法之一. ③明确何时应用判定定理,何时应用性质定理,用定理时要先申明条件再由定理得出相 应结论. ④三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高,在证明线线垂直时应优先考虑.应 用时常需先认清所观察的平面及它的垂线,从而明确斜线、射影、面内直线的位置,再根据 定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直.另外通过计算证明线线垂直也是常用的方法之 一. 垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系: 平行转化:线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行; 垂直转化:线线垂直 ? 线面垂直 ? 面面垂直; 2. “升降维”思想 直线是一维的,平面是二维的,立体空间是三维的.运用降维的方法把立体空间问题转化 为平面或直线问题进行研究和解题,可以化难为易,化新为旧,化未知为已知,从而使问题 得到解决.2.反证法 反证法是立体几何中常用的间接证明方法. 其步骤是:①否定结论;②进行推理;③导出矛盾;④肯定结论.用反证法证题要注意: ①宜用此法否;②命题结论的反面情况有几种. 基

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