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教育最新K122018年高考数学总复习8.3空间点直线平面之间的位置关系演练提升同步测评文新人教B版


小学+初中+高中

8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟) 1.在下列命题中,不是公理的是( )

A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【解析】 选项 A 是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明 的. 【答案】 A 2. (2017·安徽合肥一模)如图, 已知四边形 ABCD 为正方形, PD⊥平面 ABCD 且 PD=AD, 则下列结论中错误的是( )

A.过 BD 且与 PC 平行的平面交 PA 于点 M,则 M 为 PA 的中点 B.过 AC 且与 PB 垂直的平面交 PB 于点 N,则 N 为 PB 的中点 C.过 AD 且与 PC 垂直的平面交 PC 于点 H,则 H 为 PC 的中点 D.过 P,B,C 的平面与平面 PAD 的交线为直线 l,则 l∥AD 【解析】 设 AC∩BD=O,∵ABCD 是正方形,∴O 是 AC 的中点.

∵过 BD 且与 PC 平行的平面交 PA 于 M 点,∴OM∥PC,∴M 是 PA 的中点,故 A 正确. 设 N 为 PB 的中点,连接 AN,∵PA 与 AB 不相等,∴AN 与 PB 不垂直,∴过 AC 且与 PB 垂直的平面交 PB 于 N 点,则 N 一定不是 PB 的中点,故 B 错误. ∵四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD 且 PD=AD,∴PA=AC,PD=DC,∴过 AD 且与

PC 垂直的平面交 PC 于 H 点,则 H 为 PC 的中点,故 C 正确.
∵AD∥BC,平面 PAD 与平面 PCB 有公共点 P, 小学+初中+高中

小学+初中+高中 ∴l∥AD∥BC,故 D 正确.故选 B. 【答案】 B 3.(2016·浙江)已知互相垂直的平面 α ,β 交于直线 l,若直线 m,n 满足 m∥α ,n ⊥β ,则( A.m∥l C.n⊥l ) B.m∥n D.m⊥n

【解析】 由题意知,直线 m 与 l 以及直线 m 与 n 的位置关系不能确定,故 A,B,D 不 正确.又 n⊥β 且 l? β ,则 n⊥l.故选 C. 【答案】 C 4.(2017·江西南昌模拟)设 a,b 是平面 α 内两条不同的直线,l 是平面 α 外的一条 直线,则“l⊥a,l⊥b”是“l⊥α ”的( A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 a,b 是平面 α 内两条不同的直线,l 是平面 α 外的一条直线,l⊥a,l⊥b, 若 a∥b,l 可以与平面 α 斜交,推不出 l⊥α ;若 l⊥α ,a,b 是平面 α 内两条不同的直 线,由线面垂直的性质定理,得 l⊥a,l⊥b,∴“l⊥a,l⊥b”是“l⊥α ”的必要而不充 分条件.故选 C. 【答案】 C 5.(2017·湖南衡阳模拟)如图,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,M,N 分别是 BC1,CD1 的中 点,则下列说法错误的是( ) )

A.MN 与 CC1 垂直 B.MN 与 AC 垂直 C.MN 与 BD 平行 D.MN 与 A1B1 平行 【解析】 如图,连接 C1D,BD,AC,在三角形 C1DB 中,MN∥BD,故 C 正确;

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∵CC1⊥平面 ABCD,∴CC1⊥BD,∴MN 与 CC1 垂直,故 A 正确;∵AC⊥BD,MN∥BD,∴MN 与 AC 垂直,故 B 正确;∵A1B1 与 BD 不平行,MN∥BD,∴MN 与 A1B1 不平行,故 D 错误.故选 D. 【答案】 D 6.(2016·课标全国Ⅱ)α ,β 是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: ①如果 m⊥n,m⊥α ,n∥β ,那么 α ⊥β . ②如果 m⊥α ,n∥α ,那么 m⊥n. ③如果 α ∥β ,m? α ,那么 m∥β . ④如果 m∥n,α ∥β ,那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等. 其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号) 【解析】 ①不正确.由 m⊥n,m⊥α ,可知 n∥α 或 n? α . 又 n∥β ,∴α ∥β 或 α ∩β =l(但不一定垂直). ②正确.n∥α ,则存在 n′? α ,n∥n′,又 m⊥α ,则必有 m⊥n′, ∴m⊥n. ③正确.α ∥β ,则 α 内任一直线均与 β 平行,又 m? α ,∴m∥β . ④正确. m∥n,∴m,n 与 α 所成的角相等. 又 α ∥β , ∴n 与 α , β 所成的角相等. ∴

m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等.
故答案为②③④. 【答案】 ②③④ 7.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上,且 AB∥CD,则直线 EF 与 正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.

【解析】 EF 与正方体左、右两侧面均平行.所以与 EF 相交的侧面有 4 个. 【答案】 4 8.(2015·浙江)如图,三棱锥 A?BCD 中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点 M,N 分别是 AD,BC 的中点,则异面直线 AN,CM 所成的角的余弦值是________.

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【解析】 如图所示,连接 DN,取线段 DN 的中点 K,连接 MK,CK.

∵M 为 AD 的中点, ∴MK∥AN, ∴∠KMC 为异面直线 AN,CM 所成的角. ∵AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,

N 为 BC 的中点,
由勾股定理求得 AN=DN=CM=2 2, ∴MK= 2. 在 Rt△CKN 中,CK= ( 2) +1 = 3. 在△CKM 中,由余弦定理,得 ( 2) +(2 2) -( 3) 7 cos∠KMC= = . 8 2× 2×2 2 【答案】 7 8
2 2 2 2 2

9.(2015·四川高考改编)如图,四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互 相垂直,则异面直线 AP 与 BD 所成的角为________.

【解析】 如图,将原图补成正方体 ABCD?QGHP,

连接 GP,则 GP∥BD,所以∠APG 为异面直线 AP 与 BD 所成的角,在△AGP 中 AG=GP=

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AP,所以∠APG= .
【答案】 π 3

π 3

10.如图,空间四边形 ABCD 中,E,F,G 分别在 AB,BC,CD 上,且满足 AE∶EB=CF∶

FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过 E,F,G 的平面交 AD 于点 H.

(1)求 AH∶HD; (2)求证:EH,FG,BD 三线共点. 【解析】 (1)∵ = =2,∴EF∥AC, ∴EF∥平面 ACD,而 EF? 平面 EFGH, 平面 EFGH∩平面 ACD=GH, ∴EF∥GH,∴AC∥GH. ∴

AE CF EB FB

AH CG = =3,∴AH∶HD=3∶1. HD GD

EF 1 GH 1 (2)证明 ∵EF∥GH,且 = , = , AC 3 AC 4
∴EF≠GH,∴四边形 EFGH 为梯形. 令 EH∩FG=P,则 P∈EH,而 EH? 平面 ABD, 又 P∈FG,FG? 平面 BCD, 平面 ABD∩平面 BCD=BD, ∴P∈BD.∴EH,FG,BD 三线共点. B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 11.(2016·上海闵行区期末调研)已知 A,B,C,D 是空间四点,命题甲:A,B,C,D 四点不共面,命题乙:直线 AC 和 BD 不相交,则甲是乙成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 若 A,B,C,D 四点不共面,则直线 AC 和 BD 不共面,所以 AC 和 BD 不相交; )

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小学+初中+高中 若直线 AC 和 BD 不相交,若直线 AC 和 BD 平行时,A,B,C,D 四点共面,所以甲是乙成立 的充分不必要条件. 【答案】 A 12.(2017·郑州第二次质量预测)如图,矩形 ABCD 中,AB=2AD,E 为边 AB 的中点, 将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A1DE.若 M 为线段 A1C 的中点, 则在△ADE 翻折过程中, 下面四个 命题中不正确的是( )

A.|BM|是定值 B.点 M 在某个球面上运动 C.存在某个位置,使 DE⊥A1C D.存在某个位置,使 MB∥平面 A1DE 1 【解析】 取 DC 中点 F,连接 MF,BF,MF∥A1D 且 MF= A1D,FB∥ED 且 FB=ED,所以∠ 2

MFB=∠A1DE.由余弦定理可得 MB2=MF2+FB2-2MF·FB·cos∠MFB 是定值,所以 M 是在以 B
为圆心,MB 为半径的球上,可得 A、B 正确.由 MF∥A1D 与 FB∥ED 可得平面 MBF∥平面 A1DE, 可得 D 正确;A1C 在平面 ABCD 中的射影与 AC 重合,AC 与 DE 不垂直,可得 C 不正确.

【答案】 C 13.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图,G,H,M,N 分别为 DE,BE,

EF,EC 的中点,在这个正四面体中,

①GH 与 EF 平行; ②BD 与 MN 为异面直线; ③GH 与 MN 成 60°角; ④DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 【解析】 还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线,BD 与 MN 为异面直线,GH 与 MN 成 60°角,DE⊥MN. 小学+初中+高中

小学+初中+高中 【答案】 ②③④ 14.已知 A 是△BCD 所在平面外的一点,E,F 分别是 BC,AD 的中点. (1)求证:直线 EF 与 BD 是异面直线; (2)若 AC⊥BD,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角. 【解析】 (1)证明 假设 EF 与 BD 不是异面直线,则 EF 与 BD 共面,从而 DF 与 BE 共面, 即 AD 与 BC 共面,所以 A,B,C,D 在同一平面内,这与 A 是△BCD 所在平面外的一点相矛 盾.故直线 EF 与 BD 是异面直线.

(2)取 CD 的中点 G,连接 EG,FG,则 EG∥BD,所以相交直线 EF 与 EG 所成的角,即为 异面直线 EF 与 BD 所成的角. 1 在 Rt△EGF 中 ,由 EG=FG= AC,求得∠FEG=45°, 2 即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45°. π 15.如图,在三棱锥 P?ABC 中,PA⊥底面 ABC,D 是 PC 的中点.已知∠BAC= ,AB=2, 2

AC=2 3,PA=2.求:

(1)三棱锥 P?ABC 的体积; (2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值. 1 1 1 【解析】 (1)S△ABC= ×2×2 3=2 3,三棱锥 P?ABC 的体积为 V= S△ABC·PA= ×2 3 2 3 3 4 3 ×2= . 3

(2)如图,取 PB 的中点 E,连接 DE,AE,则 ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线

BC 与 AD 所成的角.
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小学+初中+高中 在△ADE 中,DE=2,AE= 2,AD=2, 2 +2 -2 3 cos∠ADE= = . 2×2×2 4 3 故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 . 4
2 2

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