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人教版高中数学必修1-3.1《方程的根与函数的零点》参考教案2


3.1.1 方程的根与函数的零点 一、内容和内容解析 本节课是在学生学习了《基本初等函数(Ⅰ)》的基础上,学习函数与方程 的第一课时,本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析,得到零点的概念,从 而进一步探索函数零点存在性的判定,这些活动就是想让学生在了解初等函数的 基础上,利用计算机描绘函数的图象,通过对函数与方程的探究,对函数有进一 步的认识,解决方程根的存在性问题,为下一节《用二分法求方程的近似解》做 准备. 从教材编写的顺序来看,《方程的根与函数的零点》是必修 1 第三章《函数 的应用》一章的开始,其目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法,从中 体会函数与方程之间的联系.利用函数模型解决问题,作为一条主线贯穿了全章 的始终,而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解,是在建立 和运用函数模型的大背景下展开的.方程的根与函数的零点的关系、用二分法求 方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”,建立和运用 函数模型中蕴含的“数学建模思想”,是本章渗透的主要数学思想. 从知识的应用价值来看,通过在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想 的意义和价值,体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,体会符号化、 模型化的思想,体验从系统的角度去思考局部问题的思想. 基于上述分析,确定本节的教学重点是:了解函数零点的概念,体会方程的 根与函数零点之间的联系,掌握函数零点存在性的判断. 二、目标和目标解析 1.通过对二次函数图象的描绘,了解函数零点的概念,渗透由具体到抽象 思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系, 2.零点知识是陈述性知识,关键不在于学生提出这个概念。而是理解提出 零点概念的作用,沟通函数与方程的关系。 3.通过对现实问题的分析,体会用函数系统的角度去思考方程的思想,使 学生理解动与静的辨证关系.掌握函数零点存在性的判断. 4.在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值,发 展学生对变量数学的认识,体会函数知识的核心作用. 三、教学问题诊断分析 1.零点概念的认识.零点的概念是在分析了众多图象的基础上,由图象与 轴 的位置关系得到的一个形象的概念,学生可能会设法画出图象找到所有任意函数 的可能存在的所有零点,但是并不是所有函数的图象都能具体的描绘出,所以在 概念的接受上有一点的障碍. 2.零点存在性的判断.正因为 f(a)·f(b)<0 且图象在区间[a,b]上连续不 断,是函数 f(x)在区间[a,b]上有零点的充分而非必要条件,容易引起思维的 混乱就是很自然的事了. 3.零点(或零点个数)的确定.学生会作二次函数的图象,但是要作出一般 的函数图象(或图象的交点)就比较困难,而在这一节课最重要的恰恰就是利用 函数图象来研究函数的零点问题.这样就在零点(或零点个数)的确定上给学生 带来一定的困难. 基于上述分析,确定本节课的教学难点是:准确认识零点的概念,在合情推 理中让学生体会到判定定理的充分非必要性,能利用适当的方法判断零点的存在 或确定零点. 四、教学支持条件分析 考虑到学生的知识水平和理解能力,教师可借助计算机工具和构建现实生活 中的模型,从激励学生探究入手,讲练结合,直观演示能使教学更富趣味性和生 动性. 通过让学生观察、讨论、辨析、画图,亲身实践,在函数与方程的联系中 体验数形结合思想、转化思想的意义和价值,发展学生对变量数学的认识,体 会函数知识的核心作用. 五、教学过程设计 (一)引入课题 问题引入:求方程 3x2+6 x-1=0 的实数根。 变式:解方程 3x5+6x-1=0 的实数根. (一次、二次、三次、四次方程的解 都可以通过系数的四则运算,乘方与开方等运算来表示,但高于四次的方程不能 用公式求解。大家课后去阅读本节后的“阅读与思考”,还有如 lnx+2x-6=0 的实 数根很难下手,我们寻求新的角度——函数来解决这个方程的问题。) 设计意图:从学生的认知冲突中,引发学生的好奇心和求知欲,推动问题进 一步的探究。通过简单的引导,让学生课后自己阅读相关内容,培养他的自学能 力和更广泛的兴趣。开门见山的提出函数思想解决方程根的问题,点明本节课的 目标。 (二)新知探究 1、零点的概念 问题 1 求方程 x2-2x-3=0 的实数根,并画出函数 y=x2-2x-3 的图象; 方程 x2-2x-3=0 的实数根为-1、3。函数 y=x2-2x-3 的图象如图所示。 问题 2 观察形式上函数 y=x2-2x-3 与相应方程 x2-2x-3=0 的联系。 函数 y=0 时的表达式就是方程 x2-2x-3=0。 问题 3 由于形式上的联系,则方程 x2-2x-3=0 的实数根在函数 y=x2-2x -3 的图象中如何体现? y=0 即为 x 轴,所以方程 x2-2x-3=0 的实数根就是 y=x2-2x-3 的图象 与 x 轴的交点横坐标。 设计意图:以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台,观察方程和函数形 式上的联系,从而得到方程实数根与函数图象之间的关系。理解零点是连接函数 与方程的结点。 初步提出零点的概念:-1、3 既是方程 x2-2x-3=0 的根,又是函数 y=x2 -2x-3 在 y=0 时 x 的值,也是函数图象与 x 轴交点的横坐标。-1、3 在方程中 称为实数根,在函数中称为零点。 问题 4 函数 y=x2-2x+1 和函数 y=x2-2x+3 零点分别是什么? 函数 y=x2-2x+1 的零点是-1。函数 y=x2-2x+3 不存在零点。 设计意图:应用定义,加深对概念的理解。 提出零点的定义:对于函数 的零点.(zero point) ,把使 成立的实数 叫做函数 2、函数零点的判定: 研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点,也就是研究函数的图象与 x 轴的交点情况。 问题 5 如果把函数比作一部电影,那么函数的零点就像是电影的一个瞬间, 一个镜头。有时我们会忽略一些镜头,但是我们仍然

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