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(教学思想典型题专讲)2014届高三数学一轮复习 函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用


函数 y=Asin( ω x+φ )的图象及三角函数模型的简单应用
一、选择题 1.(2013 北京东城区综合练习)将函数 y=sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变),再把所得各点向右平行移动 个单位长度,所得图象的函数解析式是( B )

(A)y=sin

(B)y=sin

(C)y=sin

(D)y=sin

解析:将函数 y=sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得 到 y=sin x, 再 把 所 得 各 点 向 右 平 行 移 动 个 单 位 长 度 , 所 得 图 象 的 函 数 解 析 式 是 y=sin

=sin

.故选 B.

2.(2013 三明模拟 )如图是函数 y=Asin(ω x+φ )在一个周期内的图象,

此函数的解析式可为( (A)y=2sin

B )

(B)y=2sin

(C)y=2sin

(D)y=2sin

解析:由题图可知 A=2, = ∴T=π ,ω =2,

=,

1

∴f(x)=2sin(2x+φ ), 又f =2,

即 2sin

=2,

∴φ = +2kπ (k∈Z), 结合选项知选 B. 3.(2013 潍坊模拟)如图所示,为了研究钟表与三角函数的关系 ,建立如图所示的坐标系,设 秒针针尖位置 P(x,y).若初始位置为 P0( , ),当秒针从 P0(注此时 t=0)正常开始走时,那 么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为( C )

(A)y=sin

(B)y=sin

(C)y=sin

(D)y=sin

解析:由题意知,∠P0Ox= ,即初相为 .

又函数周期为 60,∴T= 因为秒针按顺时针旋转, ∴ω =- ,

,∴|ω |= .

∴y=sin

.故选 C.

4.(2013 北 大 附 中 河 南 分 校 月 考 ) 定 义 行 列 式 运 算

=a1a4-a2a3. 将 函 数

2

f(x)= ( B ) (A) (B)

的图象向左平移 个单位长度 , 以下是所得函数图象的一个对称中心是

(C)

(D)

解析:根据行列式的定义可知 f(x )=sin 2xcos 2x=2sin(2x- ),

向左平移 个单位长度得到 g(x)=2 sin[2(x+ )- ]=2sin 2x,所以 g =0, 所以 是函数的一个对称中心.故选 B.

=2sin

=2sin π

5.(2013 福建福州模拟)函数 f(x)=2cos(ω x+φ )(ω >0,0<φ <π )为奇函数,该函数的部分图 象如图所示,点 A、 B 分别为该部分图象的最高点与最低点,且这两点间的距离为 4 f(x)图象的一条对称轴的方程为( D ) ,则函数

(A)x= (B)x=

(C)x=4

(D)x=2

解析:由题意知|AB|=4 即最值之差为 4, 故 =4,T=8,

,

所以 f(x)=2cos

(0<φ <π ),

又 f(x)=2cos

(0<φ <π )为奇函数,

故φ = ,

3

令 x+ =kπ ,k∈Z, 得 x=-2+4k,k∈Z, 故 x=2 是一条对称轴. 故选 D. 6.(2013 山西四校联考)将函数 f(x)=1+cos 2x-2sin 所得图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值为( (A) (B) (C) (D) A )
2

的图象向左平移 m(m>0)个单位后

解析:依题意得 f(x)=cos 2x +cos 2

=

cos 2x+cos

=

cos

.

把函数 y=f(x)的图象向左平移 m 个单位后得到 y= cos 的图象,

要使其图象关于 y 轴对称, 则有 cos =± ,

2m- =kπ ,

即 m= + ,其中 k∈Z. 因为 m>0, 所以 m 的最小值为 .故选 A. 二、填空题 7.(2013 年高考江苏卷)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A、 ω、 φ 为常数,A>0,ω >0)的部分图象如 图所示,则 f(0)的值是 .

4

解析:由题图知 A= = - = ,T=π ,

,

5

∴ω =2, ∴f(x)= sin(2x+φ ),将 代入得

π ×2+φ = ,

∴φ = .∴f(x)=

sin

,

∴f(0)=

sin = .

答案: 8. 如图所示,点 P 是半径为 r cm 的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置 P0 开始,按逆时针 方向以角速度ω rad/s 做圆周运动,则点 P 的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系式为 , 该点的运动周期为 .

解析:当质点 P 从点 P0 转到点 P 位置时,点 P 转过的角度为ω t,则∠POx=ω t+φ .由任意角的 三角函数 得点 P 的纵坐标为 y=rsin(ω t+φ ),故点 P 的运动周期为 T= .

答案:y=rsin(ω t+φ ) 9.(2013 衡阳六校联考)给出下列命题: ①函数 f(x)=4cos 的一个对称中心为 ;②若α ,β 为第一象限角,且α >β ,则

tan α >tan β ;③函数 y=sin

的最小正周期为 5π ;④函数 y=cos

是奇函数;

⑤函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位长度,得到 y=sin 其中正确命题的序号是 (把你认为正确的序号都填上).

的图象.

6

解析:①f

=4cos

=

4cos

=0.

∴点

是函数 f(x)=4cos

的一个对称中心.故① 正确.

②令α =

,β = ,

则α >β ,但 tan α = ,tan β =

,tan α <tan β ,故②不正确.

③函数的周期为 T=

=

=5π ,

故最小正周期为 5π ,故③正确. ④y=cos =cos =sin x.

∴函数为奇函数,故④正确. ⑤函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位长度得到 y=sin 答案 :①③④ 三、解答题 10.已知函数 f(x)= sin +1. 的图象,故⑤不正确.

(1)求它的振幅、最小正周期、初相; (2)画出函数 y=f(x)在 上的图象.

7

解:(1)振幅为

,最小正周期 T=π ,初相为- .

(2)图象如图所示.

11.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )

的部分图象如图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)令 g(x)=f ,判断函数 g(x)的奇偶性,并说明理由.

解:(1)由题图知 A=2,f(x)的最小正周期 T=4× =π ,

故ω = =2,

将点

代入 f(x)的解析式并整理得

sin

=1,

又|φ |< ,∴φ = ,

8

故函数 f (x)的解析式为 f(x)=2sin (2)g(x)为偶函数,理由如下: g(x)=f

(x∈R).

=2sin

=2sin =2cos 2x(x∈R). ∴g(-x)=g(x),故 g(x)为偶函数. 12.函数 f(x)=Acos(ω x+φ ) (其中 A>0,ω >0,-π <φ <π )在 x= 处取得最大值 2,其图象中相 邻的两个最低点之间的距离为π . (1)求 f(x)的解析式; (2)求函数 f 的单调递减区间和对 称中 心.

解:(1)由题意知 f(x)的最小正周期 T= =π , 所以ω =2. 因为 f(x)在 x= 处取得最大值 2,

所以 A=2,且 2cos

=2,

所以 cos 即 sin φ =-1, 因为-π <φ <π , 所以φ =- ,

=1,

所以 f(x)=2cos

=2sin 2x.

9

(2)由(1)得 f =2sin =2sin ,

由 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z 得

kπ + ≤x≤kπ + ,k∈Z,

所以函数 f

的单调递减区间为

,k∈Z.

由 2x+ =kπ 得 x= - ,k∈Z,

所以函数 f

的对称中心为

,k∈Z.

10


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