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18学年高中数学第三章三角恒等变形3第1课时倍角公式及其应用教学案北师大版必修4


第 1 课时 倍角公式及其应用 [核心必知] 二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式) 记法 S2α 公式 sin 2α =2sin_α cos_α cos 2α =cos α -sin α C2α cos 2α =1-2sin α cos 2α =2cos α -1 T2α 2tan α tan 2α = 2 1-tan α 2 2 2 2 推导方法 令α =β Sα +β ― ― → S2α 令α =β Cα +β ― ― → C2α 利用 sin α +cos α =1 消去 sin α 或 cos α 令α +β Tα +β ― ― → T2α 2 2 2 2 [问题思考] 1.倍角公式成立的条件是什么? π kπ 提示:在公式 S2α ,C2α 中,角 α 为任意角,在 T2α 中,只有当 α ≠kπ + (k∈Z)及 α ≠ 2 2 π + (k∈Z)时,才成立. 4 2.在什么条件下,sin 2α =2sin α 成立? 提示:一般情况下,sin 2α ≠2sin α ,只有当 α =2kπ (k∈Z)时,sin 2α =2sin α 才成 立. -1- ?讲一讲 1.求下列各式的值: 1 2tan 150° 2π (1)sin 75°cos 75°;(2) -sin ;(3) ; 2 2 8 1-tan 150° 1 3 (4) - . sin 10° cos 10° 1 [尝试解答] (1)原式= (2sin 75°cos 75°) 2 1 1 1 1 = sin 150°= ? = . 2 2 2 4 1 1 π 1 2 2 2π (2)原式= (1-2sin )= cos = ? = . 2 8 2 4 2 2 4 (3)原式=tan(2?150°)=tan 300°=tan(360°-60°)=-tan 60°=- 3. cos 10°- 3sin 10° (4)原式= sin 10°cos 10° 1 3 2( cos 10°- sin 10°) 2 2 = sin 10°cos 10° = = 4(sin 30°cos 10°-cos 30°sin 10°) 2sin 10°cos 10° 4sin 20° =4. sin 20° 二倍角公式的“三用”: (1)公式正用 从题设条件出发, 顺着问题的线索, 正用三角公式, 运用已知条件和推算手段逐步达到目的. (2)公式逆用 1 要求对公式特点有一个整体感知. 主要形式有 2sin α cos α =sin 2α , sin α cos α = sin 2 sin 2α 2tan α 2 2 2α ,cos α = ,cos α -sin α =cos 2α , =tan 2α . 2 2sin α 1-tan α (3)公式的变形用 主要形式有 1±sin 2α =sin α +cos α ±2sin α cos α =(sin α ±cos α ) ,1+cos 2 α =2cos α ,1-cos 2α =2sin α (升幂公式),cos α = 2 2 2 2 2 2 1+cos 2α 1-cos 2α 2 ,sin α = (降 2 2 -2- 幂公式). ?练一练 1.求值: (1)sin π π π π π cos cos cos cos =________; 64 64 32 16 8 2sin 50°+cos 10°(1+ 3tan 10°) (2) =________. 1+cos 10° 1 π π π π 解析:(1)原式= sin cos cos cos 2 32 32 16 8 1 π π π 1 π π = sin cos cos = sin cos 4 16 16 8 8 8 8 = 1 π 2 sin = . 16 4 32 3sin 10° 2sin 50°+cos 10°(1+ ) cos 10° (2)原式= 2 2cos 5° = 2sin 50°+cos 10°+ 3sin 10° 2cos 5° 1 3 2sin 50°+2( cos 10°+ sin 10°) 2 2 = 2cos 5° 2sin 50°+2sin 40° 2sin 50°+2cos 50° = = 2cos 5° 2cos 5° 2 2( = 2 2 sin 50°+ cos 50°) 2 2 2cos 5° 2 2sin 95° 2cos 5° 2 32 =2. = 答案:(1) (2)2 ?讲一讲 π sin(α + ) 4 5 2.已知 α 是第一象限角,且 cos α = ,求 的值. 13 cos(2α +4π ) -3- 5 [尝试解答] ∵α 为第一象限角,且 cos α = , 13 12 ∴sin α = . 13 2 (sin α +cos α ) 2 2 sin α +cos α 原式= = ? 2 2 cos 2α 2 cos α -sin α = 2 1 2 1 13 2 ? = ? =- . 2 cos α -sin α 2 5 12 14 - 13 13 当待求值的函数式较复杂时,一般需要利用诱导公式,倍角公式以及和差公式进行化简,与 已知条件取得联系,从而达到化简求值的目的. ?练一练 3π 1 2.已知 <α <π ,tan α + 4 tan (1)求 tan α 的值; α α 2α 2α 5sin +8sin cos +11cos -8 2 2 2 2 (2)求 的值. π 2sin(α - ) 4 解: (1)∵tan α + =-3. ∵ 3π <α <π , 4 1 10 1 2 =- , ∴3tan α +10tan α +3=0.解得 tan α =- 或 tan α tan α 3 3 α 10 =- . 3 ∴-1<tan α <0, 1 ∴tan α =- . 3 1 (2)∵tan α =- , 3 5sin

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