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《金识源专版》高中新人教A版必修1数学课件第三章函数的应用章末小结2_图文


第三章——
函数的应用

章末复习提升

1 知识网络 2 要点归纳 3 题型研修

系统盘点,提炼主干 整合要点,诠释疑点 突破重点,提升能力

要点归纳
整合要点,诠释疑点
1.对于函数y=f(x),x∈D,使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x),
x∈D的零点.
2.方程的根与函数的零点的关系:方程f(x)=0有实数根?函数y
=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点. 3.函数的零点的存在定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0.

(1)函数y=f(x)在区间[a,b]内若不连续,则f(a)·f(b)<0与函 数y=f(x)在区间(a,b)内的零点个数没有关系(即:零点存在 定理仅对连续函数适用). (2)连续函数y=f(x)若满足f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内至 少有一个零点;反过来,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点 不一定使f(a)·f(b)<0成立,若y=f(x)为单调函数,则一定有 f(a)·f(b)<0.

4.二分法只能求出连续函数变号零点,另外应注意初始区间的选 择,依据给出的精确度,计算时及时检验. 5.解决函数应用题关键在于理解题意,提高阅读能力.一方面要加 强对常见函数模型的理解,弄清其产生的实际背景,把数学问题 生活化;另一方面,要不断拓宽知识面.求解函数应用问题的思路 和方法,我们可以用示意图表示为:

题型研修

突破重点,提升能力

题型一 函数的零点与方程的根的关系及应用 根据函数零点的定义,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,判 断一个方程是否有零点,有几个零点,就是判断方程f(x)=0是否有 根,有几个根.从图形上说,函数的零点就是函数y=f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标,函数零点、方程的根、函数图象与x轴交点的 横坐标三者之间有着内在的本质联系,利用它们之间的关系,可 以解决很多函数、方程与不等式的问题.在高考中有许多问题涉及 三者的相互转化,应引起我们的重视.

例1 已知a是函数f(x)=2x-log 1 x的零点,若0<x0<a,
2
则f(x0)的值满足( )

A.f(x0)=0

B.f(x0)>0

C.f(x0)<0

D.f(x0)的符号不确定

*

解析 如图所示,是 y=2x 与 y=log 1 x 的图象,显然两个图象的交 2

点的横坐标为 a,于是在(0,a)区间上,y=2x 的图象在 y=log 1 x 2

的图象的下方,从而 2x0<log 1 x0,即 f(x0)=2x0-log 1 x0<0.

2

2

答案 C
*

跟踪演练 1 设函数 y=x3与 y=????12????x-2的图象的交点为(x0,y0),

则 x0 所在的区间是( )

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

解析 设g(x)=x3-22-x,则g(0)=-4,g(1)=-1,

g(2)=7,g(3)=26 21,g(4)=63 34,

*

显然g(1)·g(2)<0,于是函数g(x)的零点在(1,2)内,
即 y=x3 与 y=????12????x-2 的图象的交点在(1,2)内.
答案 B

题型二 函数模型及应用 针对一个实际问题,我们应该选择恰当的函数模型来刻画.这 当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质,熟练掌握基本 函数和常用函数的特点,并对一些重要的函数模型要有清晰的 认识.对于一个具体的应用题,原题中的数量间的关系,一般 是以文字和符号的形式给出,也有的是以图象的形式给出,此 时我们要分析数量变化的特点和规律,选择较为接近的函数模 型进行模拟,从而解决一些实际问题或预测一些结果.
*

例2 某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间 t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线段 上;该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的 部分数据如下表所示:
第t天 4 10 16 22 Q(万
36 30 24 18 股)
*

(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P(元)与 时间t(天)所满足的函数关系式;

解 由图象知,前 20 天满足的是递增的直线方程,且过两点(0,2), (20,6),容易求得直线方程为 P=15t+2; 从 20 天到 30 天满足递减的直线方程,且过两点(20,6),(30,5), 求得方程为 P=-110t+8,
故P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式为:
P=?????15-t+1102t,+08≤,t2≤0<20t,≤t3∈0,N,t∈N.
*

(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次 函数关系式; 解 由图表,易知Q与t满足一次函数关系, 即Q=-t+40,0≤t≤30,t∈N.

(3)用y表示该股票日交易额(万元),写出y关于t的函数关系式, 并求在这30天中第几天日交易额最大,最大值是多少? 解 由以上两问,可知
y=???????????????-15t+1102t+?????-8????t?+-4t+0?,400?,≤2t≤0<20t,≤3t∈0,Nt∈N
*

=???????-11051?t?-t-6105?2?-2+4102,5,200<≤t≤t≤3200,,t∈t∈NN. ,
当0≤t≤20,t=15时,ymax=125, 当20≤t≤30,y随t的增大而减小. ∴在30天中的第15天,日交易额的最大值为125万元.
*

跟踪演练2 甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产 量)进行调查,提供了两个方面的信息如图所示. 甲调查表明:每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到 第六年2万只. 乙调查表明:甲鱼池个数由第一年30个减少到第六年10个,请你 根据提供的信息说明:
*

(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数; 解 由题图可知,直线y甲=kx+b,经过(1,1)和(6,2). 可求得k=0.2,b=0.8. ∴y甲=0.2(x+4). 故第二年甲鱼池的产量为1.2万只.
同理可得 y 乙=4(-x+127).
故第二年甲鱼池的个数为26个,全县出产甲鱼的总数为26×1.2 =31.2(万只).
*

(2)到第六年这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了 还是缩小了?说明理由; 解 规模缩小,原因是:第一年出产甲鱼总数30万只,而 第6年出产甲鱼总数为20万只.
*

(3)哪一年的规模最大?说明理由. 解 设第x年规模最大,
即求 y 甲·y 乙=0.2(x+4)·4(-x+127)
=-0.8x2+3.6x+27.2的最大值.
当 x=-2×?3-.60.8?=214≈2 时,
y甲·y乙=-0.8×4+3.6×2+27.2=31.2(万只)最大. 即第二年规模最大,甲鱼产量为31.2万只.
*

题型三 转化与化归思想 转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程; 化归是将待解决的问题通过某种转化的过程,归结为一类 已解决或比较容易解决的问题.在解决函数问题时,常进 行数与形或数与数的转化,从而达到解决问题的目的.
*

例3 已知关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,试问当a为 何值时,方程的两根都大于1. 解 设方程的两根为x1,x2,方程的两根都大于1, 则x1-1>0,x2-1>0,

???x1-1??x2-1?>0, ??x1x2-?x1+x2?+1>0,

故?

??

???x1-1?+?x2-1?>0 ??x1+x2>2

???a-a 1-2?aa+1?+1>0, ??
?2?a+1? ?? a >2

??a<0,

??

矛盾.

??a>0,

故不论a为何值,方程的两根不可能都大于1.

跟踪演练3 当a为何值时,函数y=7x2-(a+13)x+a2-a-2的 一个零点在区间(0,1)上,另一个零点在区间(1,2)上? 解 已知函数对应的方程为7x2-(a+13)x+a2-a-2=0, 函数的大致图象如图所示.根据方程的根与函数 的零点的关系,方程的根一个在(0,1)上,另一 个在(1,2)上,则:

??f?0?>0, ??f?1?<0, ? ??f?2?>0,

??a2-a-2>0, 即??a2-2a-8<0,
? ??a2-3a>0,

??a<-1或a>2, 解得??-2<a<4,
?
??a<0或a>3,
∴-2<a<-1或3<a<4.

课堂小结 1.对于零点性质要注意函数与方程的结合,借助零点的性质可研 究函数的图象、确定方程的根;对于连续函数,利用零点的存在 定理,可用来求参数的取值范围. 2.函数模型的应用实例的基本题型 (1)给定函数模型解决实际问题; (2)建立确定性的函数模型解决问题; (3)建立拟合函数模型解决实际问题.
*

3.函数建模的基本过程如图
*


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