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2014届高三数学一轮复习专讲专练:5.4 平面向量的应用


双基限时练?
巩固双基,提升能力 一、选择题 → → → → AC· AB BC· BA 1.(2013· 会昌中学月考)在△ABC 中, → =1, → =2,则 AB 边的长 |AB| |BA| 度为( A.1 C.5 ) B.3 D.9

→ → → → → → → → AC· AB BC· BA 解析: 由 → =1 得|AC|cosA=1, 由 → =2 得|BC|cosB=2, ∴|AB|=|AC |AB| |BA| → |cosA+|BC|cosB=3. 答案:B 2.(2013· 龙岩一中月考)设 x,y∈R,i,j 是直角坐标平面内 x,y 轴正方向 上的单位向量,若 a=xi+(y+3)j,b=xi+(y-3)j 且|a|+|b|=6,则点 M(x,y) 的轨迹是( )

A.椭圆 B.双曲线 C.线段 D.射线 解析:由 a=xi+(y+3)j,b=xi+(y-3)j 可得 a=(x,y+3),b=(x,y-3). ∵|a|+|b|=6,∴ x2+?y+3?2+ x2+?y-3?2=6,即点(x,y)到点(0,-3)、 (0,3)的距离和为 6,故轨迹为线段. 答案:C 3.(2013· 深圳月考)河水的流速为 2 m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向 10

m/s 的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为 ( A.10 m/s B.2 26 m/s C.46 m/s D.12 m/s

)

解析:河水的流速为 v1,小船在静水中的速度为 v2,船的实际速度为 v, 则|v1|=2,|v|=10,v⊥v1. ∴v2=v-v1,v· 1=0, v
2 ∴|v2|= v2-2v· 1+v1= 100-0+4= 104=2 26. v

答案:B → → → 4.(2013· 微山一中月考)若?k∈R,|BA-kBC|≥|CA|恒成立,则△ABC 的形 状一定是( )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 → → → → → → → → → → → 2 2 解析:∵BA -CA =(BA +CA )· -CA )=(BA +CB +BA )· +AC )= (BA (BA → → → 2BA· -BC2, BC → → → 故?k∈R,|BA-kBC|≥|CA|恒成立可以转化为: → → → → → → 2 ?k∈R,∴k BC -2kBA· +2BA· -BC2≥0 恒成立, BC BC
2

→ → → → → → 2 令 f(k)=k BC -2kBA· +2BA· -BC2,f(x)≥0 恒成立,则 Δ≤0. BC BC
2

→ → → → → → 2 ∴(BA· ) -BC2(2BA· -BC2)≤0, BC BC ∴a2c2cos2B-a2(2accosB-a2)≤0, 由余弦定理得:c2cos2B-c2+b2≤0, π 由正弦定理得:sin2C≥1,∴C=2.

答案:B 5.已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ,有下列四个命题 2π? ? p1:|a+b|>1?θ∈?0, 3 ?
? ? ? ? ? ? ?2π ? p2:|a+b|>1?θ∈? 3 ,π?
[

π? ? p3:|a-b|>1?θ∈?0,3?
? ? ?π ? p4:|a-b|>1?θ∈?3,π?

其中的真命题是(

)

A.p1,p4 B.p1,p3 C.p2,p3 D.p2,p4 解析:由|a+b|>1 可得:a2+2a· 2>1, b+b ∵|a|=1,|b|=1, 2π? ? 1 ∴a· b>-2,故 θ∈?0, 3 ?.
? ?

2π? ? 1 当 θ∈?0, 3 ?时,a· b>-2,|a+b|2=a2+2a· 2>1,即|a+b|>1;由|a b+b
? ?

-b|>1,可得:a2-2a· 2>1, b+b 1 ∵|a|=1,|b|=1,∴a· 2, b<
?π ? 故 θ∈?3,π?,反之也成立. ? ?

答案:A 1 1 6. 已知|a|=2|b|≠0, 且关于 x 的函数 f(x)=3x3+2|a|x2+a· 在 R 上有极值, bx 则 a 与 b 的夹角范围为( π? ? ?π ? A.?0,6? B.?6,π? ? ? ? ? )

?π ? ?π 2π? C.?3,π? D.?3, 3 ? ? ? ? ?

1 1 解析:f(x)=3x3+2|a|x2+a· 在 R 上有极值,即 f′(x)=x2+|a|x+a· bx b=0 有 1 两个不同的实数解,故 Δ=|a|2-4a· b>0?cos〈a, b〉<2.又〈a,b〉∈[0,π],
?π ? 所以〈a,b〉∈?3,π?. ? ?

答案:C 二、填空题 7.(2012· 江苏)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中 → → → → 点,点 F 在边 CD 上,若AB· = 2,则AE· 的值是__________. AF BF

解析:以 A 点为原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴,建立平 → → → 面直角坐标系 xOy,则AB=( 2,0),AE=( 2,1),设 F(t,2)(0≤t≤ 2),AF= → → → → (t,2),∵AB· = 2t= 2,∴t=1,所以AE· =( 2,1)· AF BF (1- 2, 2)= 2. 答案: 2 π 8.(2012· 上海)在平行四边形 ABCD 中,∠A=3,边 AB、AD 的长分别为 2、

→ → → → |BM| |CN| 1.若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点,且满足 → = → ,则AM· 的取值范围 AN |BC| |CD| 是__________. → |BM| 解析:如图,令 → =t,则 0≤t≤1, |BC|

→ → → → → AM=AB+BM=AB+tAD, → → → → → AN=AD+DN=AD+(1-t)AB, → → → → → → → → 2 2 2 ∴AM· =AB· +t|AD| +(1-t)|AB| +(t-t )AB· =1+t+4(1-t)+t- AN AD AD t2=5-2t-t2=6-(t+1)2. → → ∵0≤t≤1,∴2≤AM· ≤5. AN 答案:[2,5] 9.已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为切点,那么 → → PA· 的最小值为__________. PB 解析:如图所示,设 PA=PB=x(x>0),∠APO=α,

→ → → → 1 2 则∠APB=2α,PO= 1+x ,sinα= PB |PB 2 ,PA · =|PA |· |cos2α=x (1 1+x
2

x2?x2-1? x4-x2 -2sin α)= 2 = 2 . x +1 x +1
2

→ → x4-x2 令PA· =y,则 y= 2 PB ,即 x4-(1+y)x2-y=0. x +1 ∵x2 是实数, ∴Δ=[-(1+y)]2-4×1×(-y)≥0, 2+6y+1≥0, y 解得 y≤-3-2 2或 y≥ -3+2 2. → → ∴(PA· )min=-3+2 2.此时 x= PB 答案:-3+2 2 三、解答题 → → → → 10.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.若AB· =CA· = AC CB k(k∈R). (1)判断△ABC 的形状; (2)若 k=2,求 b 的值. 2-1.

→ → → → 解析:(1)∵AB· =cbcosA,CA· =bacosC, AC CB ∴bccosA=abcosC, 根据正弦定理,得 sinCcosA=sinAcosC,即 sinAcosC-cosAsinC=0,sin(A -C)=0, ∴∠A=∠C,即 a=c,则△ABC 为等腰三角形. → → b2+c2-a2 b2 → → (2)由(1)知 a=c, 由余弦定理, 得AB· =bccosA=bc· 2bc = 2 , · AC AB AC b2 =k=2,即 2 =2,解得 b=2.
? 3 ? 11.(2013· 资阳一中月考)已知向量 a=(x,-1),b=(1,2),c=?-5,x?,其 ? ?

中 x∈R. (1)若(a-2b)∥c,求 x 的值; (2)设 p:x2+a· b<0,q:(x-m)[x-(m+1)]>0(m∈R),若 p 是 q 的充分非 必要条件,求实数 m 的范围.
? 3 ? 解析:(1)∵a-2b=(x-2,-5),c=?-5,x?, ? ?

∵(a-2b)∥c,
? 3? ∴x(x-2)=-5×?-5?=3,即 x2-2x-3=0, ? ?

∴x=-1 或 3. (2)由 x2+a· b<0 得 x2+x-2<0,解得-2<x<1, 故 p:-2<x<1. 由(x-m)[x-(m+1)]>0,得 q:x<m 或 x>m+1, 由 p 是 q 的充分非必要条件,得 m≥1 或 m+1≤-2,即 m≥1 或 m≤-3, 故实数 m 的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).

3θ 3θ? θ θ? π? ? ? ? 12.已知向量 a=?cos 2 ,sin 2 ?,b=?cos2,-sin2?,θ∈?0,3?.
? ? ? ? ? ?

a· b (1)求 的最大值和最小值; |a+b| (2)若|ka+b|= 3|a-kb|(k∈R),求 k 的取值范围. 3 θ 3θ θ 解析:(1)a· b=cos2θcos2-sin 2 sin2=cos2θ. |a+b|2=a2+b2+2a· b=2+2cos2θ=4cos2θ, π? ? ∴|a+b|=2cosθ,θ∈?0,3?,
? ?
2 cos2θ 2cos θ-1 a· b ∴ = = 2cosθ . |a+b| 2cosθ

?1 ? 令 t=cosθ,t∈?2,1?, ? ?

2t2-1 ?1 ? 1 a· b 则 y= = 2t =t-2t,t∈?2,1?, ? ? |a+b| 1 1 ?1 ? y′=1+2t2>0,∴y=t-2t在?2,1?上单调递增. ? ? 1 1 1 1 1 ∴ymax=1- =2,ymin=2- 1=-2. 2×1 2×2 (2)由|ka+b|= 3|a-kb|有(ka+b)2=3(a-kb)2, 即 k2a2+b2+2ka· b=3(a2-2ka· 2b2), b+k 又|a|=|b|=1, 1+k2 ∴k +1+2ka· b=3(1+k -2ka· b),∴a· b= 4k .
2 2

π? ? 1 由 a· b=cos2θ,θ∈?0,3?,有-2≤a· b≤1,
? ?

1 1+k ∴-2≤ 4k ≤1.

2

? ∴? 1+k ? 4k -1≤0,
1+k2 1 4k +2≥0,
2

? ∴? k -4k+1 ? 4k ≤0,
2

?k+1?2 4k ≥0,

?k=-1或k>0, ? 可知? ?k<0或2- 3≤k≤2+ 3, ?

即 k=-1 或 2- 3≤k≤2+ 3. 综上所述,k 的取值范围为{k|k=-1 或 2- 3≤k≤2+ 3}.


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